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1、1第四节第四节固体的能带固体的能带一、一、 电子共有化电子共有化 对于只有一个价电子的简单情对于只有一个价电子的简单情况：电子在离子实电场中运动，况：电子在离子实电场中运动，单个原子的势能曲线表示为：单个原子的势能曲线表示为：当两个原子靠得很近时，每当两个原子靠得很近时，每个价电子将同时受到两个离个价电子将同时受到两个离子子实实电场的作用，这时的势电场的作用，这时的势能曲线表示为：能曲线表示为：2当大量原子形成晶体时，晶体内形成了周期性势场，当大量原子形成晶体时，晶体内形成了周期性势场，周期性势场的势能曲线具有和晶格相同的周期性周期性势场的势能曲线具有和晶格相同的周期性! !即即:在在N 个离
2、子实的范围内，个离子实的范围内，U 是以晶格间距是以晶格间距d 为周为周期的函数。实际的晶体是三维点阵，势场也具有三维期的函数。实际的晶体是三维点阵，势场也具有三维周期性。周期性。3能量为能量为E1的电子，由于的电子，由于E1小，势能曲线是一种小，势能曲线是一种势阱势阱。因势垒较宽，电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍因势垒较宽，电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍可看成是束缚态的电子，在各自的原子核周围运动；可看成是束缚态的电子，在各自的原子核周围运动；具有较大能量具有较大能量E3的电子，能量超过了势垒高度，电子的电子，能量超过了势垒高度，电子可以在晶体中自由运动；可以在晶体中自由运动；能量能量
3、E2接近势垒高度的电子，将会因接近势垒高度的电子，将会因隧道效应隧道效应而穿越而穿越势垒进入另一个原子中。势垒进入另一个原子中。这样在晶体内部就出现了一批属于整个晶体原子所这样在晶体内部就出现了一批属于整个晶体原子所共有的电子，称为共有的电子，称为电子共有化电子共有化。价电子受母原子的。价电子受母原子的束缚最弱，共有化成度最为显著！内层电子的共有束缚最弱，共有化成度最为显著！内层电子的共有化程度小，与孤立原子的情况相近！化程度小，与孤立原子的情况相近！4势阱势阱:该空间区域的势能比附近的势能都低该空间区域的势能比附近的势能都低;势垒势垒:该空间区域的势能比附近的势能都高。基本上就该空间区域的势
4、能比附近的势能都高。基本上就是极值点附近的一小片区域。是极值点附近的一小片区域。通常在势阱中的物体（粒子），没有足够的动能想要通常在势阱中的物体（粒子），没有足够的动能想要离开势阱的概率是比较小的。离开势阱的概率是比较小的。假设空间中的势能处处给定，势阱或势垒理解成特假设空间中的势能处处给定，势阱或势垒理解成特定的空间区域定的空间区域: :5晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近很近. .以硅为例以硅为例: :每立方厘米的体积内有每立方厘米的体积内有5105102222个原子，原个原子，原子之间的最短距离为子之间的最短距离为0.235nm
5、0.235nm 致使离原子核较致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的种现象称为电子的共有化共有化。6二、二、 能带的形成能带的形成晶体中晶体中电子共有化电子共有化的结果，使得晶体内电子的能量的结果，使得晶体内电子的能量状态不同于孤立原子中的电子：状态不同于孤立原子中的电子：晶体内电子的能量可以处于一些允许的范围之内，晶体内电子的能量可以处
6、于一些允许的范围之内，这些允许的范围称为这些允许的范围称为能带能带不能处于两个能带之间的区域，此区域称为不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带禁带7关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的相互影响来说明：相互影响来说明：能能 级级：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子，且电子具有分列，每一壳层容纳一定数量的电子，且电子具有分立的能量值立的能量值 也就是电子按能级分布。也就是电子按能级分布。 孤立的原子孤立的原子，其轨道电子的能量由一，其轨道电子的能量由一系列
7、分立的能级所表征；系列分立的能级所表征；原子结合成固体时原子结合成固体时，使本来处于同一使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的与此相对应的能级扩展为能带能级扩展为能带。 8在单个原子中，电子具有分离在单个原子中，电子具有分离的能级如的能级如1s,2s,2p等，如果晶等，如果晶体内含有体内含有N 个相同的原子，个相同的原子，那么原先每个原子中具有相同那么原先每个原子中具有相同能量的所有价电子，现在处于能量的所有价电子，现在处于共有化状态。这些被共有化共有化状态。这些被共有化的外层电子，的外层电子，由于泡利不相容原理的限制，不能再处由于泡利不
8、相容原理的限制，不能再处于相同的能级上于相同的能级上，这就使得原来相同的能级分裂成这就使得原来相同的能级分裂成N 个和原能级相近的新能级个和原能级相近的新能级。9由于由于N 很大，新能级中相邻两能级的能量差仅很大，新能级中相邻两能级的能量差仅为为10-22eV，几乎可以看成是连续的，几乎可以看成是连续的，N 个新能个新能级具有一定的能量范围，通常称为能带。级具有一定的能量范围，通常称为能带。通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如通常采用与原子能级相同的符号来表示能带，如1s 带，带，2p带等！带等！即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的即：使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异
9、，与此相对应的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带能级扩展为能带。10三、能带结构三、能带结构1、能带、能带n:带指标带指标，用来标志不同的能带，用来标志不同的能带对每一个给定的对每一个给定的n，本征能量包含着由不同，本征能量包含着由不同k 取取值所对应的许多值所对应的许多能级能级，这些由许多能级组成的带，这些由许多能级组成的带称为称为能带能带能带结构能带结构：在能带理论中，能量本征值的总体称为：在能带理论中，能量本征值的总体称为晶体的能带结构晶体的能带结构11满足电子能量满足电子能量 E 与波数与波数 k 之关系方程的能量区域称之关系方程的能量区域称作作能带能带或或允带允带 电子允许具有的能
10、量范围。电子允许具有的能量范围。相邻两个能带之间可能出现电子不允许有的能量间相邻两个能带之间可能出现电子不允许有的能量间隙隙能隙能隙或称为或称为禁带禁带电电子子能能量量导带导带价带价带禁带禁带122 2、固体的导电机制、固体的导电机制不同的晶体有不同的导电性，这与晶体内不同的晶体有不同的导电性，这与晶体内的的电子在能带中的填充和运动情况有关电子在能带中的填充和运动情况有关！原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。占据能量更高的外面一层的允许带。晶体中的电子在能带中各个能级的填充方式，服从晶体中的电子在能带中各个
11、能级的填充方式，服从费费密狄拉克分布密狄拉克分布、泡利不相容原理泡利不相容原理，还要服从，还要服从最小能最小能量原理量原理，电子从能量较低的能级依次到达较高的能级。，电子从能量较低的能级依次到达较高的能级。按充填电子的情况，能带可以分成：按充填电子的情况，能带可以分成：满带，价带（导带），空带，禁带满带，价带（导带），空带，禁带 13满带满带：晶体中最低能带的各个能级都被电子填满，这：晶体中最低能带的各个能级都被电子填满，这样的能带称为满带。样的能带称为满带。当满带中的电子从它原来占据当满带中的电子从它原来占据的能级转移到同一能带中其它的能级转移到同一能带中其它能级时，因受泡利不相容原理能级时
12、，因受泡利不相容原理的限制，必有另一个电子作相的限制，必有另一个电子作相反转移，总效果与没有电子转反转移，总效果与没有电子转移一样移一样 外电场不能改变外电场不能改变电子在满带中的分布，所以满电子在满带中的分布，所以满带中的电子不能起导电作用！带中的电子不能起导电作用！满带满带：被电子占满的允许带被电子占满的允许带满带满带导带导带导体导体14空带空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入， 这样的能带称为空带。这样的能带称为空带。空带空带：每一个能级上都没有每一个能级上都没有电子的能带电子的能带与各原子的激发态能级相对应与各原子的激发态能级相对应的能
13、带，在未被激发的正常情况的能带，在未被激发的正常情况下就是空带；下就是空带；空带中若有被激发的电子进入，空带中若有被激发的电子进入，则空带就变成了导带。则空带就变成了导带。带隙带隙空带空带非导体非导体15禁带禁带：两个相邻能带间的间隔：两个相邻能带间的间隔禁带中不存在电子的定态；禁带中不存在电子的定态；禁带的宽度对晶体的导电性起着禁带的宽度对晶体的导电性起着重要的作用。重要的作用。带隙带隙空带空带非导体非导体16价带价带：由由价电子价电子能级分裂而形成的能带。能级分裂而形成的能带。在在绝缘体绝缘体中，中，价价电子刚好填满电子刚好填满最低的一系列能带，最上边的最低的一系列能带，最上边的满带满带价
14、带价带带隙带隙空带空带绝缘体绝缘体再高的各能带全部都是空的再高的各能带全部都是空的空带空带价带价带通常情况下，价带为能量最高的通常情况下，价带为能量最高的 能带；能带；价带可能被电子填满，成为满带；价带可能被电子填满，成为满带；也可能未被电子填满，形成不满也可能未被电子填满，形成不满 带或半满带。带或半满带。17导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能导体中，一部分价电子存在于不满带中，这种能带称为带称为导带导带满带满带导带导带导体导体18导带导带：由价电子所占据的较高能带一般没有被电子完由价电子所占据的较高能带一般没有被电子完全填满的能带全填满的能带导带导带：部分能级为电子所填充的能带部分
15、能级为电子所填充的能带导带中电子的转移导带中电子的转移满带满带导带导带导体导体在外电场的作用下，导带中的电子可以进入同一能带在外电场的作用下，导带中的电子可以进入同一能带中未被填充的稍高的能级，这个转移过程没有反向的中未被填充的稍高的能级，这个转移过程没有反向的电子转移与之抵消。所以导带中的电子具有导电作用。电子转移与之抵消。所以导带中的电子具有导电作用。193 3、导体、半导体和绝缘体的能带结构、导体、半导体和绝缘体的能带结构电阻率为电阻率为10-8m以下的物体为导体以下的物体为导体电阻率为电阻率为108m以上的物体为绝缘体以上的物体为绝缘体电阻率介乎上面两者之间的为半导体电阻率介乎上面两者
16、之间的为半导体引子：引子：孤立的原子孤立的原子，其轨道电子的能量由一系列分立的，其轨道电子的能量由一系列分立的能级所表征；能级所表征；原子结合成固体时原子结合成固体时，这些原子的能级变扩展而形，这些原子的能级变扩展而形成能带；成能带；因为在原子内层能级上充满电子，所以相应的因为在原子内层能级上充满电子，所以相应的内内层能带是满带层能带是满带不参与导电；不参与导电；一个固体是否导电取决于同价电子能级相对应的一个固体是否导电取决于同价电子能级相对应的能带能带价带是否被电子填满价带是否被电子填满20（1）导体导体：能带结构有三种形式能带结构有三种形式形式形式1：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用
17、：价带中只填充了部分电子，在外加电场作用下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较下，这些电子很容易在该能带中从低能级跃迁到较高能级高能级从而形成电流从而形成电流导带中电子的转移导带中电子的转移21例如：例如：金属金属Li电子排布电子排布1s22s1每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能每个原子只有一个价电子，整个晶体中的价电子只能添满半个价带添满半个价带实际参与导电的是不满带中的实际参与导电的是不满带中的电子电子电子导电型导体电子导电型导体满带满带导带导带价带未充满价带未充满22形式形式2：二价元素：二价元素Bi,As,Mg，Zn（半金属半金属）金属金属Mg电子排布电子排布1s22
18、s22p63s2价带被电子填满，成为满带价带被电子填满，成为满带晶体结构特点，价带与空带发生交叠晶体结构特点，价带与空带发生交叠形成更宽形成更宽的能带的能带价带价带空带空带这个新的、更宽的能带可这个新的、更宽的能带可包含几个布里渊区包含几个布里渊区使可添使可添充的电子数目充的电子数目大于大于2N使使能带不完全被电子充满能带不完全被电子充满23由于能带少量重叠，由于能带少量重叠，出现电子和空穴同时参与导电出现电子和空穴同时参与导电又又电子和空穴分属于不同的能带，它们具有不同的电子和空穴分属于不同的能带，它们具有不同的有效质量和速度有效质量和速度它们对电流的贡献不同它们对电流的贡献不同当空穴对电流
19、的贡献起主要作用当空穴对电流的贡献起主要作用空穴导电型导体空穴导电型导体当电子对电流的贡献起主要作用当电子对电流的贡献起主要作用电子导电型导体电子导电型导体价带价带空带空带导带导带24形式形式3：Na,K,Cu,Al,Ag金属的价带本来就没有被电子填满，同时价带又同金属的价带本来就没有被电子填满，同时价带又同邻近的空带重叠邻近的空带重叠形成一个更宽的导带形成一个更宽的导带实际参与导电的是那些未被填满的价带中的电子实际参与导电的是那些未被填满的价带中的电子电子导电型导体电子导电型导体导带导带空带空带25例如例如:当当Na原子结合成晶体时，原子结合成晶体时，3s能带只填满了一半电子，能带只填满了一
20、半电子，而而3p能带与能带与3s能带相交错。这样在被电子填满的能能带相交错。这样在被电子填满的能级上面有很多空着的能级，所以电场很容易将价电子级上面有很多空着的能级，所以电场很容易将价电子激发到较高的能级上，因此激发到较高的能级上，因此Na是良导体是良导体26绝缘体绝缘体具有充满电子的满带和很宽具有充满电子的满带和很宽的禁带，禁带宽的禁带，禁带宽Eg约约36eV；一般温度下，满带中的电子在外电场一般温度下，满带中的电子在外电场作用下很难激发（越过禁带）到空带作用下很难激发（越过禁带）到空带参与导电；参与导电；大多数离子晶体是绝缘体。大多数离子晶体是绝缘体。（2）绝缘体）绝缘体27例如：例如：N
21、aCl晶体，它的能带是由晶体，它的能带是由Na+和和Cl-离子的能级构离子的能级构成的，成的，Na+的最外壳层的最外壳层2p和和Cl-的最外壳层的最外壳层3p，都，都已被电子填满，且这最高满带与空带之间存在着很已被电子填满，且这最高满带与空带之间存在着很宽的禁带，所以宽的禁带，所以NaCl是绝缘体。是绝缘体。28跃迁跃迁：少数电子受光或热的激发从满少数电子受光或热的激发从满带的顶部跃迁到邻近的空带中。带的顶部跃迁到邻近的空带中。原来的满带就会变成近满带。原来的满带就会变成近满带。空带空带变成变成未满带未满带。绝缘体绝缘体：电子刚好填满最低的一系列能带（最上边：电子刚好填满最低的一系列能带（最上
22、边 的满带叫价带），再高的各能带全部都是的满带叫价带），再高的各能带全部都是 空的（即为空带），由于没有未满带，禁空的（即为空带），由于没有未满带，禁 带宽度比较大，不能导电。带宽度比较大，不能导电。带隙带隙空带空带非导体非导体29（3）半导体：）半导体：在温度在温度 T=0K 时时，能带结构与绝缘体相似，只是，能带结构与绝缘体相似，只是禁带禁带宽度宽度Eg很窄很窄，约，约0.11.5eV；空带空带（导带）（导带）半导体半导体满带满带（价带）（价带）在在温度温度 T 0K 时时，电子，电子热激发热激发能从满带跃迁到空带，使空带能从满带跃迁到空带，使空带成为导带，同时在满带中产生成为导带，同时在
23、满带中产生空穴；空穴；外加电场后，电子和空穴从低外加电场后，电子和空穴从低能级跃迁到高能级，而形成电能级跃迁到高能级，而形成电流，因此半导体具有导电性。流，因此半导体具有导电性。30例如：硅、硒、锗、硼等元素，硒、碲、硫的化合物，例如：硅、硒、锗、硼等元素，硒、碲、硫的化合物，各种金属氧化物等物质都是半导体。各种金属氧化物等物质都是半导体。不同固体的能带填充情况不同固体的能带填充情况(a)导体；导体；(b)绝缘体；绝缘体；(c)半导体；半导体；(d)半金属半金属31四、能带性质四、能带性质（1）对于第）对于第n个能带，其能量与波函数个能带，其能量与波函数k 在空间均在空间均具有对称性，可表示为
24、：具有对称性，可表示为：（2）能量与波函数都是）能量与波函数都是k 的周期性函数，在倒易空间的周期性函数，在倒易空间具有倒格子的周期性，即相差一个倒格矢的两具有倒格子的周期性，即相差一个倒格矢的两个状态是等价的状态，可表示为个状态是等价的状态，可表示为:32（3）考虑晶体弱周期场的微扰，近自由电子能谱，）考虑晶体弱周期场的微扰，近自由电子能谱，在布里渊区边界（即在布里渊区边界（即k=/a,2/a,3/a,处发生能量跳变，产生宽度分别为处发生能量跳变，产生宽度分别为2|V1|,2|V2|,2|V3|的禁带的禁带近自由电子能谱和能带近自由电子能谱和能带2|V1|2|V2|33五五、布里渊区和能带、
25、布里渊区和能带属于一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布属于一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布里渊区对应于不同的能带，每个能带包含有里渊区对应于不同的能带，每个能带包含有2N个电个电子态！子态！说明说明：不同能带在能量上不一定分隔开，可能发生：不同能带在能量上不一定分隔开，可能发生能带之间的交迭！能带之间的交迭！B点点:是第二布里渊区的能量最低点是第二布里渊区的能量最低点A点点:是在是在k 方向与方向与B点相邻而在第一布里渊区内的点点相邻而在第一布里渊区内的点C点点:是第一布里渊区内能量最高点是第一布里渊区内能量最高点能带间的交迭能带间的交迭A BCkkkkEAEBEC表示表示k 方向
26、电子能谱，方向电子能谱，A，B间是断开的！间是断开的！表示表示k 方向电子能谱，分两中情况讨论：方向电子能谱，分两中情况讨论：ECEB,两个能带发生交迭；两个能带发生交迭；EBECEA，两个能带不发生交迭，两个能带不发生交迭34ACkykx二维简单正方点阵，试证明第一布里渊区角隅上的点二维简单正方点阵，试证明第一布里渊区角隅上的点的自由电子动能为区边中心点的自由电子动能为区边中心点的二倍的二倍35kykxkz0 0对于三维简立方点阵，试证明第一布里渊区角隅上的对于三维简立方点阵，试证明第一布里渊区角隅上的点点 的自由电子动能为区面中心点的自由电子动能为区面中心点 的的三倍？三倍？ 简单立方点阵
27、第一布里渊区角隅上的点简单立方点阵第一布里渊区角隅上的点 ，其，其 自由电子动能为自由电子动能为 ， 区面中心点，区面中心点， 其自由电子动能为其自由电子动能为36紧束缚近似紧束缚近似紧束缚近似的出发点紧束缚近似的出发点：当电子：当电子在一个原子附近时，将主要受在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其他原到该原子场的作用，把其他原子场的作用看成是微扰作用。子场的作用看成是微扰作用。紧束缚近似下晶体中紧束缚近似下晶体中单电子单电子k 态时，能量态时，能量本征值的一级近似：本征值的一级近似：某某原子原子能级能级37简单举例：简单举例：一、简单立方晶格中由原子一、简单立方晶格中由原子s态形成
28、的能带态形成的能带任选一原子作为任选一原子作为Rn，并把坐标原点选在，并把坐标原点选在Rn上（上（Rn=0）最近邻最近邻6个原子位置矢量个原子位置矢量Rm的坐标是：的坐标是：(a,00),(0,a,0),(0,0,a)s态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同38能带的极小值出现在布里渊区中心能带的极小值出现在布里渊区中心k=0处，其能量为：处，其能量为：能带的极大值在能带的极大值在k=（a,a,a）处，其能量为：处，其能量为：39电子的准经典运动电子的准经典运动一、晶体中电子的平均速度一、晶体中电子的平均速度在外力作用下，单位时间内外力在外力作用下
29、，单位时间内外力所做的功等于电子能量的改变量所做的功等于电子能量的改变量二、加速度和有效质量二、加速度和有效质量外力作用下，电子的运动方程外力作用下，电子的运动方程外力作用下，电子的运动方程外力作用下，电子的运动方程40电子的平均加速度，可如下式求出：电子的平均加速度，可如下式求出：对于一维情况：对于一维情况：41上式与牛顿第二定律上式与牛顿第二定律f = ma 比较比较晶体电子的有效质量晶体电子的有效质量有效质量与惯性质量不同：首先，由于有效质量是张量，所以有效质量与惯性质量不同：首先，由于有效质量是张量，所以电子的加速度一般与外力方向不一致。这是因为除了电子的加速度一般与外力方向不一致。这
30、是因为除了外场力作外场力作用外，电子还受到晶格周期场的作用用外，电子还受到晶格周期场的作用，这个作用由有效质量所，这个作用由有效质量所概括。其次，有效质量与电子的状态有关，而且可以是正值，概括。其次，有效质量与电子的状态有关，而且可以是正值，也可以是负值。也可以是负值。42有效质量和真实质量区别有效质量和真实质量区别：晶体中的电子除受外场力作用外，电子还受到晶晶体中的电子除受外场力作用外，电子还受到晶格周期场的作用。设外场力为格周期场的作用。设外场力为F,晶格对电子的作晶格对电子的作用力为用力为Fl,电子的加速度为：电子的加速度为：具体形式难以确定具体形式难以确定晶格对电子的作用越弱，有效质量
31、晶格对电子的作用越弱，有效质量m* 与真实质量与真实质量m 的差别就越小；的差别就越小；晶格对电子的作用越强，有效质量晶格对电子的作用越强，有效质量m* 与真实质量与真实质量m的差别就越大。的差别就越大。43计算一维紧束缚近似下电子的有效质量：计算一维紧束缚近似下电子的有效质量：一维情况下的能谱为：一维情况下的能谱为：在能带底部，即在能带底部，即k=0时时(能带取最小值能带取最小值)有效质量：有效质量：在能带顶部在能带顶部(能带取最大值能带取最大值)，即，即k=/a 时，有效质量：时，有效质量：44 已知一维晶格中电子的能带可写成：已知一维晶格中电子的能带可写成： 式中是式中是 a 晶格常数，
32、晶格常数，m 是电子的质量，是电子的质量， 求：求：1 1、能带宽度；、能带宽度；2 2、电子的平均速度；、电子的平均速度；1.能带宽度能带宽度，由极值条件由极值条件其唯一解其唯一解其解为其解为当当k = 0时，时，Emin=0当当k = a/时，时，能带宽度：能带宽度：452 2、电子的平均速度、电子的平均速度46带隙带隙满带满带导带导带空带空带导体导体非导体非导体47若某一物理量若某一物理量A的算符的算符A作用于某一状态函数作用于某一状态函数$,等等于某一常数于某一常数a乘以乘以$,即即A$=a$(1)。对对$所描述的这个微观体系的状态，物理量所描述的这个微观体系的状态，物理量A具有确具有确定的数值定的数值a，a称为物理量算符称为物理量算符A的本征值，的本征值，$称为称为A的本征态或本征波函数。（的本征态或本征波函数。（1）式称为）式称为A的本征的本征方程。方程。本征波函数本征波函数48
