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1、泊松过程主讲教师主讲教师 段禅伦段禅伦20082008年秋季学期年秋季学期硕士研究生学位课程硕士研究生学位课程应用数学基础应用数学基础( (演示文稿演示文稿) )(Poisson process)(Poisson process)第三章第三章 泊松过程泊松过程泊松过程是一类较为简单的时间连续泊松过程是一类较为简单的时间连续, ,状态离散的随机状态离散的随机 过程过程. .泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天 文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用. .3.1 3.1 泊松过程的定义和例泊松过程
2、的定义和例定义定义3.13.1 称随机过程称随机过程N(t),t0N(t),t0为为计数过程计数过程, , 若若N(tN(t) )表表 示到时刻示到时刻t t为止已发生的为止已发生的事件事件A A的总数的总数, ,且且N(tN(t) )满足下列满足下列 条件条件: : (1)(1) N(t)0; N(t)0; (2)(2) N(tN(t) )取正整数值取正整数值; ; (3)(3) 若若s st,t,则则N(s)N(tN(s)N(t);); (4)(4) 当当s st t时时, , N(t)-N(sN(t)-N(s) )等于区间等于区间( (s,ts,t 中发生的中发生的事事 件件A A的次数
3、的次数. .泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例如果计数过程如果计数过程N(tN(t) )在不相重叠的时间间隔内在不相重叠的时间间隔内, , 事件事件A A发发 生的次数是相互独立的生的次数是相互独立的, ,即若即若 t t1 1t t2 2tt3 3t t4 4 则在区间则在区间(t(t1 1,t,t2 2 内内事件事件A A发生的次数发生的次数N(tN(t2 2)-N(t)-N(t1 1),),与在与在 (t(t3 3,t,t4 4 内内事件事件A A发生的次数发生的次数N(tN(t4 4)-N(t)-N(t3 3) )相互独立相互独立, ,那么那么 此时的计数过程此时的计数过程N(tN(
4、t) )是是独立增量过程独立增量过程. .如果计数过程如果计数过程N(tN(t) )在在( (t,t+s(st,t+s(s0)0)内内, ,事件事件A A发生的次发生的次 数数N(tN(t+s+s)-N(t)-N(t),),仅与时间差仅与时间差s s有关有关, ,而与时刻而与时刻t t无关无关, , 则则 计数过程计数过程N(tN(t) )是是平稳增量过程平稳增量过程. .泊松过程是计数过程的最重要的类型之一泊松过程是计数过程的最重要的类型之一, ,其定义是其定义是: :定义定义3.23.2 称计数过程称计数过程X(t),t0,X(t),t0,为具有参数为具有参数0 0的的泊泊 松过程松过程,
5、 ,如果如果X(t),t0X(t),t0满足下列条件满足下列条件: :泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 (1)(1) X(0)=0; X(0)=0; (2)(2) X(tX(t) )是独立增量过程是独立增量过程; ; (3)(3) 在任一长度为在任一长度为t t的区间中的区间中, , 事件事件A A发生的次数服从发生的次数服从 参数参数0 0的泊松分布的泊松分布, ,即对任意即对任意s,t0,s,t0,有有 PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2,. ,n=0,1,2,.从条件从条件(3)(3)知知, ,泊松过程是泊松过程是平稳增量过程
6、平稳增量过程且且EX(tEX(t)=)=tt. . 由于由于: =: =EX(t)/tEX(t)/t表示单位时间内表示单位时间内事件事件A A发生的平均发生的平均 个数个数, ,故称故称为泊松过程的为泊松过程的速率速率或或强度强度. .从从定义定义3.23.2, ,我们看到我们看到: :为了判断一个计数过程是泊松过为了判断一个计数过程是泊松过 程程, ,必须证明它满足条件必须证明它满足条件(1)(1), ,(2)(2)和和(3)(3). .条件条件(1)(1)只是说只是说 明明事件事件A A的计数是从的计数是从t=0t=0时开始的时开始的; ; 条件条件(2)(2)通常可从我通常可从我泊松过程
7、的定义和例泊松过程的定义和例 们对过程了解的情况去验证们对过程了解的情况去验证; ; 然而条件然而条件(3)(3)的验证是非的验证是非 常困难的常困难的. . 为了方便应用为了方便应用, ,以下我们再给出泊松过程的以下我们再给出泊松过程的 另一个定义另一个定义. .定义定义3.33.3 称计数过程称计数过程X(t),t0,X(t),t0,为具有参数为具有参数0 0的的泊泊 松过程松过程, ,如果如果X(t),t0X(t),t0满足下列条件满足下列条件: : (1) (1) X(0)=0; X(0)=0; (2)(2) X(tX(t) )是独立、平稳增量过程是独立、平稳增量过程; ; (3)(3
8、) X(tX(t) )满足下列两式满足下列两式: : PX(t+h)-X(tPX(t+h)-X(t)=1=)=1=h+o(hh+o(h);); PX(t+h)-X(t)2= PX(t+h)-X(t)2=o(ho(h).).定义定义3.33.3中中的条件的条件(3)(3)要求要求: : 在充分小的时间间隔内在充分小的时间间隔内, ,最最 多有多有1 1个事件发生个事件发生, , 而不能有而不能有2 2个或个或2 2个以上事件同时发个以上事件同时发泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 生生. . 这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足. .例例3.1 3.
9、1 考虑某电话交换台在某段时间接到的考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫呼叫. . 令令X(tX(t) ) 表示电话交换台在表示电话交换台在(0,t(0,t时间段内收到的时间段内收到的呼叫呼叫次数次数, , 则则 X(t)X(t), ,t0t0满足满足定义定义3.33.3中的各个条件中的各个条件, ,故故X(t)X(t), ,t0t0 是一个是一个泊松过程泊松过程. . 其实对于任意的其实对于任意的0t0t1 1t t2 2t tn n, ,随机变量随机变量X(tX(t2 2)-)- X(t X(t1 1),X(t),X(t3 3)-X(t)-X(t2 2),X(t),X(tn n)-X(t)
10、-X(tn-1n-1) )分别表示分别表示, ,在时间在时间 段段(t(t1 1,t,t2 2,(t,(t2 2,t,t3 3,(t,(tn-1n-1,t,tn n 内内, ,电话交换台接到的电话交换台接到的 呼叫呼叫次数次数, ,它们是相互独立的它们是相互独立的, ,所以随机过所以随机过X(t),t0X(t),t0 是一个是一个独立增量过程独立增量过程. . 而且对于任意的而且对于任意的s st,t,随机变量随机变量X(t)-X(sX(t)-X(s) )的分布可以的分布可以 认为仅与认为仅与t-st-s有关有关, ,故故X(t),t0X(t),t0是是平稳独立增量过程平稳独立增量过程. .泊
11、松过程的定义和例泊松过程的定义和例例例3.23.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客. .如果如果 记记X(tX(t) )为在时间为在时间(0,t(0,t内到达售票窗口的旅客数内到达售票窗口的旅客数, , 则计则计 数过程数过程X(t),t0X(t),t0满足满足定义定义3.33.3中的各个条件中的各个条件, ,故是一故是一 个个泊松过程泊松过程. .例例3.33.3 考虑机器在考虑机器在( (t,t+ht,t+h) )时间段内发生故障的事件时间段内发生故障的事件. . 若若 机器发生故障机器发生故障, ,立即修理后继续工作立即修理后继续工作, ,则
12、在则在( (t,t+ht,t+h) )时间时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数段内机器发生故障而停止工作的事件数, ,构成一个随机构成一个随机 点过程点过程, ,该过程可以用泊松过程进行描述该过程可以用泊松过程进行描述. .定理定理3.13.1 泊松过程的两种定义泊松过程的两种定义, ,即即定义定义3.23.2与与定义定义3.33.3是等是等 价的价的. .证明证明: : 首先证明首先证明定义定义3.23.2蕴涵蕴涵定义定义3.33.3. . 比较两条定义比较两条定义, ,由于由于定义定义3.23.2的条件的条件(3)(3)中蕴涵中蕴涵X(tX(t) )为平为平泊松过程的定义和例泊松过程的
13、定义和例 稳增量过程稳增量过程, ,所以只需证明由所以只需证明由定义定义3.23.2的条件的条件(3)(3)可以推可以推 出出定义定义3.33.3的条件的条件(3)(3). .由式由式 PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2,.,n=0,1,2,. 对对充分小的充分小的h h, ,有有 PX(t+h)-X(tPX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1(X(h)=X(0+h)=1=PX(h)-X(0)=1(X(h)=X(0+h) = =e e-h-h = =hh =h1-h+o(h) =h1-h+o(h) = =h+o(hh+o(
14、h);); PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2 = = = =o(ho(h).).泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 以下证明以下证明定义定义3.33.3蕴涵蕴涵定义定义3.23.2. . 经比较经比较, ,只需证明由只需证明由 定义定义3.33.3中后两式可以推出中后两式可以推出定义定义3.23.2的的(3)(3)式式. .为此令为此令 P Pn n(t(t)=)=PX(tPX(t)=n=PX(t)-X(0)=n.)=n=PX(t)-X(0)=n. 根据根据定义定义3.33.3的的(2)(2)与与(3)(3), ,有有 P
15、 P0 0(t+h)=(t+h)=PX(t+hPX(t+h)=0=PX(t+h)-X(0)=0)=0=PX(t+h)-X(0)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0 =P =P0 0(t)1-h+o(h),(t)1-h+o(h), 所以所以 =-P=-P0 0(t)+ .(t)+ . 令令h0h0取极限得取极限得 PP0 0(t)=-P(t)=-P0 0(t) (t) 或或 =-.=-.泊松过程的定义和例泊
16、松过程的定义和例 积分得积分得 lnPlnP0 0(t)=-(t)=-t+Ct+C 即即 P P0 0(t)=(t)=keke-t-t. . 由于由于P P0 0(0)=PX(0)=1, (0)=PX(0)=1, 代入前式得代入前式得 P P0 0(t)=(t)=e e-t-t. . 类似地类似地, ,对于对于n1,n1,有有 P Pn n(t+h(t+h)=)=PX(t+hPX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n)=n=PX(t+h)-X(0)=n =PX(t)-X(0)= =PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(tn,X(t+h)-X(t)=0+)=0+ PX(t)-X(0)
17、=n-1,X(t+h)-X(t)=1+ PX(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1+ PX(t)-X(0)= PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(tn-j,X(t+h)-X(t)=j.)=j. 根据根据定义定义3.33.3的的(2)(2)与与(3)(3), ,得得 P Pn n(t+h(t+h)=P)=Pn n(t)P(t)P0 0(h)+P(h)+Pn-1n-1(t)P(t)P1 1(h)+o(h)(h)+o(h) =(1-h)P =(1-h)Pn n(t)+hP(t)+hPn-1n-1(t)+o(h)(t)+o(h) 于是于是, ,有有泊松过程的定义和例泊松过程的
18、定义和例 =-P=-Pn n(t)+P(t)+Pn-1n-1(t)+ .(t)+ . 令令h0h0取极限得取极限得 PPn n(t(t)=-P)=-Pn n(t)+P(t)+Pn-1n-1(t),(t), 所以所以 e ettPPn n(t)+P(t)+Pn n(t(t)=e)=ettP Pn-1n-1(t),(t), 因此因此 e ettP Pn n(t(t)=e)=ettP Pn-1n-1(t).(t). 当当n=1n=1时时, ,得得 eettP P1 1(t)=e(t)=ettP P0 0(t)=(t)=eette e-t-t=,=, P P1 1(t)=(t)=(t+c)et+c)e
19、-t-t. .泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 由于由于P P1 1(0)=0, (0)=0, 代入上式得代入上式得 c=0, Pc=0, P1 1(t)=(t)=tete-t-t. . 以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明: : P Pn n(t(t)= )= e e-t-t成立成立. . 假设假设n-1n-1时有结论时有结论, ,证对证对n n有有: : PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2,. ,n=0,1,2,. 根据根据 e ettP Pn n(t(t)=e)=ettP Pn-1n-1(t)(t) 式式, ,有有 e e
20、ttP Pn n(t(t)=)=eett e e-t-t= ,= , 积分得积分得 e ettP Pn n(t(t)= +c)= +c . .泊松过程的定义和例泊松过程的定义和例 由于由于P Pn n(0)=PX(0)=n=0, (0)=PX(0)=n=0, 因而因而c=0, c=0, 所以所以 P Pn n(t(t)=)=e e-t-t . . 由条件由条件(2)(2)X(t)X(t)是独立、平稳增量过程是独立、平稳增量过程, ,故有故有 PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t , n=0,1,2, , n=0,1,2, 故故定义定义3.33.3蕴涵蕴涵定
21、义定义3.23.2. .3.2 3.2 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质1.1.数字特征数字特征 根据泊松过程的定义根据泊松过程的定义, ,可以导出泊松过程的几个常用的可以导出泊松过程的几个常用的数字特征数字特征. . 设设X(t),t0X(t),t0是泊松过程是泊松过程, ,对任意对任意t,s0,)t,s0,)及及s st t泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 从从定义定义3.23.2的的(3)(3) 得得 EX(t)-X(sEX(t)-X(s)=)=DX(t)-X(sDX(t)-X(s)=)=(t-s(t-s).). 由于由于X(0)=0,X(0)=0,故故 m mX X(t(t)=
22、)=EX(tEX(t)=EX(t)-X(0)=)=EX(t)-X(0)=tt; ; 2 2X X(t)=(t)=DX(tDX(t)=DX(t)-X(0)=)=DX(t)-X(0)=tt; ; R RX X(s,t(s,t)=)=EX(s)X(tEX(s)X(t) = =EX(s)X(t)-X(s)+X(sEX(s)X(t)-X(s)+X(s) =EX(s)-X(0)X(t)-X(s)+EX(s) =EX(s)-X(0)X(t)-X(s)+EX(s)2 2 =EX(s)-X(0)EX(t)-X(s)+DX(s)+EX(s) =EX(s)-X(0)EX(t)-X(s)+DX(s)+EX(s)2 2
23、 =s(t-s)+s+(s) =s(t-s)+s+(s)2 2=s(t+1);=s(t+1);PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=n=)=n=e e-t-t ,n=0,1,2, ,n=0,1,2,泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 B BX X(s,t(s,t)=)=R RX X(s,t)-m(s,t)-mX X(s)m(s)mX X(t(t)=)=ss; ; 一般地一般地, ,泊松过程的协方差函数可以表示为泊松过程的协方差函数可以表示为 B BX X(s,t(s,t)=)=min(s,tmin(s,t).). 泊松过程的特征函数是泊松过程的特征函数是 g gX X(t(t)=)
24、=EeEeiuX(tiuX(t) )= .= .2.2.泊松过程的时间间隔与等待时间的分布泊松过程的时间间隔与等待时间的分布 如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数, ,那那 么么, ,顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时 间等分布问题都需要进行研究间等分布问题都需要进行研究. .以下讨论泊松过程与时以下讨论泊松过程与时 间有关的分布间有关的分布. . 设设X(t),t0X(t),t0是泊松过程是泊松过程, , 令令X(tX(t) )表示表示t t时刻事件时刻事件A A发发泊松过程的基本性质泊
25、松过程的基本性质 生生( (顾客出现顾客出现) )的次数的次数,W,W1 1,W,W2 2,分别表示第一次分别表示第一次, ,第二次第二次 事件事件A A发生的时间发生的时间, T, Tn n(n1)(n1)表示从第表示从第(n-1)(n-1)次事件次事件A A 发生到第发生到第n n次事件次事件A A发生的时间间隔发生的时间间隔( (如下图所示如下图所示) ) 通常称通常称W Wn n为第为第n n次事次事 件件A A出现的时刻或第出现的时刻或第 n n次次 事件事件A A的等待时间的等待时间, , T Tn n是是 第第n n个时间间隔个时间间隔, ,它们都是随机变量它们都是随机变量. .
26、如何如何利用泊松过程中事件利用泊松过程中事件A A发生所对应的时间间隔关系发生所对应的时间间隔关系 研究研究各次事件间的各次事件间的时间间隔分布时间间隔分布呢呢? ?定理定理3.23.2 设设X(t),t0X(t),t0是具有参数是具有参数的泊松分布的泊松分布,T Tn n,n,n 1 1是对应的时间间隔序列是对应的时间间隔序列, ,则随机变量则随机变量T Tn n(n(n=1,2,)=1,2,) 是独立同分布的均值为是独立同分布的均值为1/1/的指数分布的指数分布. .W1W2W3Wn-1WnOT1T2T3Tn泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质证明证明: : 首先首先, ,由于事件由于事件
27、TT1 1tt发生发生 泊松过程在区间泊松过程在区间0,0, t t内没有事件发生内没有事件发生, ,因而因而 PTPT1 1t=t=PX(tPX(t)=0=)=0=e e-t-t,(,(因此时为因此时为 ) ) (t)=PT (t)=PT1 1t=1-PTt=1-PT1 1t=1-et=1-e-t-t,(,(求导得密度求导得密度) ) 所以所以T T1 1是服从均值为是服从均值为1/1/的指数分布的指数分布.(.(导数为导数为ee-t-t) ) 利用泊松过程的独立、平稳增量性质利用泊松过程的独立、平稳增量性质, ,有有 PTPT2 2t|Tt|T1 1=s=P=s=P在在( (s,s+ts,
28、s+t 内没有事件发生内没有事件发生|T|T1 1=s=s =P =P在在( (s,s+ts,s+t 内没有事件发生内没有事件发生 = =PX(t+s)-X(sPX(t+s)-X(s)=0)=0 =PX(t)-X(0)=0= =PX(t)-X(0)=0=e e-t-t, , 即即 (t)=PT(t)=PT2 2t=1-PTt=1-PT2 2t=1-et=1-e-t-t, , 故故T T2 2也是服从均值为也是服从均值为1/1/的指数分布的指数分布. .泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 对于任意对于任意n1n1和和t,st,s1 1,s,s2 2,s,sn-1n-10,0,有有 PTPTn
29、nt|Tt|T1 1=s=s1 1,T,Tn-1n-1=s=sn-1n-1 =PX(t+s =PX(t+s1 1+s+sn-1n-1)-X(s)-X(s1 1+s+s2 2+s+sn-1n-1)=0)=0 =PX(t)-X(0)=0= =PX(t)-X(0)=0=e e-t-t, , 即即 (t)=(t)=PTPTn ntt=1-PT=1-PTn nt=1-et=1-e-t-t, , 可见对任意可见对任意T Tn n(n1),(n1),其分布是均值为其分布是均值为1/1/的指数分布的指数分布. .定理定理3.23.2说明说明, ,对于任意对于任意n=1,2,n=1,2,事件事件A A相继到达的
30、时间相继到达的时间 间隔间隔T Tn n的分布为的分布为 (t)=(t)=PTPTn ntt= ,= , 其概率密度为其概率密度为 (t)= .(t)= .(均值为均值为1/1/, ,方差为方差为1/1/2 2) )1-e1-e-t-t,t0,t00, t0, t0 0ee-t-t,t0,t00 0, , t t0 0泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质定理定理3.23.2的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得 到的到的, ,该假设的概率意义是指该假设的概率意义是指: : 过程在任何时刻都从头过程在任何时刻都从头 开始开始, ,即从任何时刻起即从任何时
31、刻起, , 过程独立于先前已发生的一切过程独立于先前已发生的一切 ( (独立增量独立增量),),且有与原过程完全一样的分布且有与原过程完全一样的分布( (平稳增量平稳增量).). 其实其实, ,由由指数分布无记忆性指数分布无记忆性的特征的特征, ,时间间隔的指数分时间间隔的指数分 布应该是在预料之中的布应该是在预料之中的. .另一个感兴趣的问题另一个感兴趣的问题是是: :等待时间等待时间W Wn n的分布的分布, ,即第即第n n次事次事 件件A A到达的时间分布到达的时间分布. . 因因 W Wn n= T= Ti i, n1, , n1, 由由定理定理3.23.2知知, ,W Wn n是是
32、n n个相互独立的指数分布随机变量和个相互独立的指数分布随机变量和, , 故用特征函数方法故用特征函数方法, ,可得如下结论可得如下结论: :泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质定理定理3.33.3 设设WWn n,n1,n1是与泊松过程是与泊松过程X(t),t0X(t),t0对应的对应的 一个等待时间序列一个等待时间序列, ,则则W Wn n服从参数为服从参数为n n和和的的分布分布, ,其其 概率密度为概率密度为定理定理3.33.3可用以下方法导出可用以下方法导出: : 注意到第注意到第n n个事件在时刻个事件在时刻t t或之前发生或之前发生 到时间到时间t t已发生已发生 的事件数目至少
33、是的事件数目至少是n,n,即即X(t)nX(t)n W Wn ntt. . 因此因此 PWPWn ntt=PX(t)nPX(t)n= .= . 对该式求导对该式求导, ,得得W Wn n的密度函数的密度函数: : (t)=- (t)=- ee-t-t + + ee-t-t = =ee-t-t . . 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质W Wn n服从参数为服从参数为n n和和的的分布的密度函数式分布的密度函数式, ,亦称亦称爱尔爱尔 兰分布兰分布, , 它是它是n n个相互独立且服从指数分布的随机变量个相互独立且服从指数分布的随机变量 之和的概率密度之和的概率密度. .“电话电话呼叫呼叫”是
34、一个泊松过程是一个泊松过程. .相继出现的第相继出现的第i-1i-1次和次和第第 i i次电话呼叫的间距距离次电话呼叫的间距距离T Ti i=W=Wi i-W-Wi-1i-1(i=1,2(i=1,2,) )是一个连是一个连 续型随机变量续型随机变量, ,它们都服从参数为它们都服从参数为的指数分布的指数分布, , 其概其概 率密度为率密度为 其等待时间其等待时间W Wn n也都是连续型随机变量也都是连续型随机变量, ,服从服从分布分布, , 其其 密度函数称密度函数称爱尔兰分布爱尔兰分布: :泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质又如又如若若X(tX(t) )表示在时间区间表示在时间区间0,t)0
35、,t)内来到某商店的顾客内来到某商店的顾客数数, ,X(tX(t) )是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程, , 每个来到商店的顾客购每个来到商店的顾客购买某些货物的概率为买某些货物的概率为p, p, 不买东西就离去的概率是不买东西就离去的概率是1-p=q,1-p=q,且每个顾客是否购买货物是相互独立的且每个顾客是否购买货物是相互独立的, , 令令Y(tY(t) )为为0,t)0,t)内购买货物的顾客数内购买货物的顾客数, ,则则Y(t),t0Y(t),t0是参数为是参数为pp的泊松的泊松过程过程. .由于由于 PX(tPX(t)=n= , )=n= , 而而 PY(tPY(t)=m= )=m
36、= PX(tPX(t)=)=nPY(tnPY(t)=)=m|X(tm|X(t)=n)=n = = = = (t)t)m m e e-qt-qt 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 = = .= = .PoissonPoisson过程过程与与均匀分布均匀分布的关系的关系. . 设设X(t),t0X(t),t0是强度为是强度为的泊松过程的泊松过程, ,若在时间区间若在时间区间0,t)0,t)内仅有内仅有1 1个随机质点到来个随机质点到来, ,记记为质点到达时间为质点到达时间, , 则则当当s st t时时, ,有有Ps|X(tPs|X(t)=1)=1 =(te =(te-t-t) )-1-1Ps
37、,X(t)=1Ps,X(t)=1 =(te =(te-t-t) )-1-1PX(s)=1,X(t)-X(s)=0PX(s)=1,X(t)-X(s)=0 = = = =s/ts/t. .可见可见, ,随机变量随机变量服从均匀分布服从均匀分布. .条件概率条件概率:P(B|A)=P(AB)/P(A);:P(B|A)=P(AB)/P(A);当当P P123123公式中的公式中的n=1,n=0n=1,n=0时的概时的概率率; ;以及以及X(t)-X(sX(t)-X(s)=)=X(t-sX(t-s)=0.)=0.对照均匀分布的分布函数对照均匀分布的分布函数. .泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质3.3
38、.到达时间的条件分布到达时间的条件分布 假设在假设在0,t0,t内事件内事件A A已经发生一次已经发生一次, ,如何确定这一事件如何确定这一事件到达时间到达时间W W1 1的分布呢的分布呢? ? 由于泊松过程有平稳独立增量由于泊松过程有平稳独立增量, , 所以可以认为所以可以认为0,t0,t内内长度相等的区间包含事件长度相等的区间包含事件A A的概率相同的概率相同, , 即该事件的到达即该事件的到达时间在时间在0,t0,t上服从均匀分布上服从均匀分布. . 事实上事实上, ,对对s st t有有 PWPW1 1s|X(t)=1=s|X(t)=1= = = = = = . = = = .泊松过程
39、的基本性质泊松过程的基本性质 于是得分布函数于是得分布函数 (s)=(s)= 及分布密度函数及分布密度函数 (s)=(s)= 此结果可推广到一般的情况此结果可推广到一般的情况: :定理定理3.43.4 设设X(t),t0X(t),t0是泊松过程是泊松过程, ,已知在已知在0,t0,t内事件内事件 A A发生发生n n次次, ,则这则这n n次到达时间次到达时间W W1 1W W2 2W Wn n与相应于与相应于n n 个个0,t0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布同的分布. .证明证明: : 令令0t0t1 1t t2 2t tn+1
40、n+1=t,=t,且取且取h hi i充分小充分小, ,使得对使得对i i其它其它. .泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 =1,2,n=1,2,n有有t ti i+h+hi it ti+1i+1, ,则在给定则在给定X(tX(t)=n)=n的条件下的条件下, ,有有 PtPt1 1WW1 1tt1 1+h+h1 1,t tn nWWn nttn n+h+hn n|X(t|X(t)=n)=n= = = = Pt Pt1 1WW1 1tt1 1+h+h1 1,t tn nWWn nttn n+h+hn n|X(t|X(t)=n)=n= . = . 令令h hi i0,0,便得便得W W1 1,
41、W Wn n在已知在已知X(tX(t)=n)=n的条件下的的条件下的条件联合概率密度条件联合概率密度f(tf(t1 1,t tn n)=)=因此因此h h1 1h hn n其它其它. .泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例例3.43.4 设在设在0,t0,t内事件内事件A A已经发生已经发生n n次且次且0 0s st,t,对于对于0 0 k kn,n,求求PX(sPX(s)=)=k|X(tk|X(t)=n.)=n.解解: :利用条件概率和泊松分布得利用条件概率和泊松分布得 PX(sPX(s)=)=k|X(tk|X(t)=n=)=n= = = = = = . = .这是一个参数为这是一个参数
42、为n n和和s/ts/t的二项分布的二项分布. .泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例例3.53.5 设在设在0,t0,t内事件内事件A A已经发生已经发生n n次次, ,求第求第k(kk(kn)n)次事次事 件件A A发生的时间发生的时间W Wk k的条件概率密度函数的条件概率密度函数. .解解: :先求条件概率先求条件概率PsPsW Wk ks+h|X(ts+h|X(t)=n,)=n,然后关于然后关于s s求导求导. . 当当h h充分小时充分小时, ,有有 PsPsW Wk ks+h|X(ts+h|X(t)=n)=n = =PsPsW Wk ks+h,X(t)-X(s+hs+h,X(t
43、)-X(s+h)=)=n-k/PX(tn-k/PX(t)=n)=n = =PsPsW Wk ks+h,X(t)-X(s+hs+h,X(t)-X(s+h)=)=n-ken-kett(t)(t)-n-nn n! ! = =PsPsW Wk ks+hPX(t)-X(s+hs+hPX(t)-X(s+h)=)=n-ken-kett(t)(t)-n-nn n! ! 将上式两边除以将上式两边除以h,h,并令并令h0h0取极限取极限, ,得得 = = PX(t)-X(s+hPX(t)-X(s+h)=)=n-ken-kett(t)(t)-n-nn n! !泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 由定理由定理3.3
44、,3.3, = , = ,及定义及定义 PX(t)-X(sPX(t)-X(s)=)=n-kn-k= 得得 = .= . 条件概率密度条件概率密度 是一个是一个BataBata分布分布. .例例3.63.6 设设XX1 1(t),t0(t),t0和和XX2 2(t),t0(t),t0是两个独立的泊是两个独立的泊 松过程松过程, , 它们在单位时间内平均出现的事件数它们在单位时间内平均出现的事件数, ,分别为分别为 1 1和和2 2. .记记 为过程为过程X X1 1(t)(t)的第的第k k次事件到达时间次事件到达时间, , 为过程为过程X X2 2(t)(t)的第的第1 1次事件到达时间次事件
45、到达时间, ,求求P P , ,即即 第一个泊松过程的第第一个泊松过程的第k k次事件发生比第二个泊松过程的次事件发生比第二个泊松过程的 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 第第1 1次事件发生早的概率次事件发生早的概率. .解解: : 设设 的取值为的取值为x, x, 的取值为的取值为y,y,由泊松过程等待时由泊松过程等待时 间的分布密度间的分布密度 以及以及 和和X X1 1(t)(t)与与X X2 2(t)(t)的相互独立性的相互独立性: :f(x,yf(x,y)= )= 知知 . .xyy=xoDD D:y:yx,x0x,x0关于全关于全( (条件条件) )期望公式期望公式全全( (
46、条件条件) )期望公式期望公式 对任意的随机变量对任意的随机变量X,Y,X,Y,有有EEX|Y=EXEEX|Y=EX. . 当当(X,Y)(X,Y)为为离散型随机向量时离散型随机向量时, ,全期望公式的离散形式为全期望公式的离散形式为 (1)E(X)= (1)E(X)= EX|yEX|yj jPYPY= =y yj j;当当(X,Y)(X,Y)为连续型随机向量时为连续型随机向量时, ,全期望公式的连续形式为全期望公式的连续形式为 (2)E(X)= .(2)E(X)= .证明证明: :(1)(1) (2) = (2) = =. . .= =泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质例例3.7 3.7
47、仪器受到震动而引起损伤仪器受到震动而引起损伤, ,若震动是按强度为若震动是按强度为的的 泊松过程发生泊松过程发生, ,第第k k次震动引起的损伤为次震动引起的损伤为D Dk k,D,D1 1、D D2 2 、 是独立同分布的随机变量列且与是独立同分布的随机变量列且与N(t),t0N(t),t0独立独立. . 其其 中中N(tN(t) )表示表示0,t0,t时间段仪器受到震动次数时间段仪器受到震动次数. . 假设仪器假设仪器 受到震动而引起的损伤随时间按指数减小受到震动而引起的损伤随时间按指数减小, ,即如果震动即如果震动 的初始损伤为的初始损伤为D,D,则震动之后经过时间则震动之后经过时间t
48、t减小为减小为DeDe- -tt( 0).0).假设损伤是可叠加的假设损伤是可叠加的, ,即在时刻即在时刻t t的损伤可表示为的损伤可表示为 D(tD(t)= ,)= ,其中其中k k为仪器受到第为仪器受到第k k次震动的时次震动的时 刻刻, ,求求ED(tED(t).).解解: : ED(tED(t)=E =EE )=E =EE | |N(tN(t),),全期望公式全期望公式泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质 由于由于 = .= . 由由定理定理3.43.4知知, ,在在N(tN(t)=n)=n的条件下的条件下k k(k(k=1,2,n)=1,2,n)是是0,0, t t上相互独立的均匀随
49、机变量上相互独立的均匀随机变量U(k),kU(k),k=1,2,n=1,2,n的顺序的顺序 统计量统计量, ,故故 = .= . 所以所以 . . 于是得于是得 . .关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题设设顾客按强度为顾客按强度为的泊松过程到达的泊松过程到达, , N(tN(t) )表示在表示在(0,t)(0,t)中到达的第中到达的第i i类类(i=1,2)(i=1,2)顾客顾客. . 设设时刻时刻s s到达的顾客与其他到达的顾客与其他顾客是独立的顾客是独立的. . 属于第属于第1 1类的概率为类的概率为P(sP(s),),属于第属于第2 2类的概类的概率为率为P(1-s). P(1-s
50、). 问问N N1 1(t)(t)与与N N2 2(t)(t)各是什么分布的随机变量各是什么分布的随机变量? ?求求PNPN1 1(t)=n,N(t)=n,N2 2(t)=(t)=m|N(tm|N(t)=)=n+mn+m.解解: : 由时刻由时刻s s到达的顾客与其他顾客的独立性知到达的顾客与其他顾客的独立性知,N,N1 1(t)(t)与与 N N2 2(t)(t)相互独立相互独立, , 且分别是均值为且分别是均值为tptp和和t(1-p)t(1-p)的泊的泊 松分布松分布, ,式中的式中的p= p= P(s)dsP(s)ds: : 鉴于时刻鉴于时刻s s服从服从(0,t)(0,t)上上 的均
51、匀分布的均匀分布, ,所以将该条件加到时间所以将该条件加到时间s s上有上有p= p= P(s)dsP(s)ds. . 从事件从事件N N1 1(t)=n(t)=n与与N N2 2(t)=m(t)=m的独立性的独立性, ,知知 PNPN1 1(t)=n,N(t)=n,N2 2(t)=(t)=m|N(tm|N(t)=)=n+mn+m 恰是恰是n+mn+m重贝努利试验中第重贝努利试验中第1 1类顾客出现类顾客出现n n次的概率次的概率, ,故故关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 PNPN1 1(t)=n,N(t)=n,N2 2(t)=m (t)=m =PN =PN1 1(t)=n,N(t)=
52、n,N2 2(t)=(t)=m|N(tm|N(t)=)=n+mPN(tn+mPN(t)=)=n+mn+m = p = pn n(1-p)(1-p)m me e-t-t = =e e-tp-tp ee-t(1-p) -t(1-p) . .M/G/M/G/表示一个随机服务系统表示一个随机服务系统, M, M表示顾客到达是强度表示顾客到达是强度为为的泊松过程的泊松过程;G;G表示服务时间表示服务时间Y Y是独立同分布的随机变是独立同分布的随机变量量, ,分布函数是分布函数是G(tG(t););表示服务人员数表示服务人员数, ,说明顾客到达后说明顾客到达后无须等待无须等待. .确定服务系统的效率确定服
53、务系统的效率. .解解: : 以以N N1 1(t)(t)记到时刻记到时刻t t已服务完的顾客数已服务完的顾客数, ,N N2 2(t)(t)记到时刻记到时刻 t t未服务完的顾客数未服务完的顾客数. .确定服务系统的效率确定服务系统的效率, ,即计算到时即计算到时 刻刻t t已服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布已服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题以及以及N N1 1(t)(t)和和N N2 2(t)(t)的均值函数的均值函数. . 设顾客在时刻设顾客在时刻s s到达到达, ,stst, ,到时刻到时刻t t已服务完已服务完, ,即服务时
54、即服务时间间Yt-sYt-s, ,因而其概率为因而其概率为G(t-sG(t-s),),即即P(sP(s).).于是于是 ENEN1 1(t)=(t)=tptp= = G(t-s)dsG(t-s)ds= = G(y)dyG(y)dy; ; EN EN2 2(t)=t(1-p)(t)=t(1-p) = 1-G(y)dy= = 1-G(y)dy=t-t- G(y)dyG(y)dy. .某机构某机构从上午从上午8 8时开始有无穷多人排队等候服务时开始有无穷多人排队等候服务. . 设只设只有有1 1名工作人员名工作人员, , 每人接受服务的时间是独立的且服从均每人接受服务的时间是独立的且服从均值位值位2
55、020分钟的指数分布分钟的指数分布. .问问(1)(1)到中午到中午1212时时, ,平均有多少人平均有多少人离去离去? ? (2)(2)有有9 9人接受服务的概率是多少人接受服务的概率是多少? ?解解: : 既然时间间隔是服从均值为既然时间间隔是服从均值为1/31/3小时小时(20(20分钟分钟) )的指数的指数 关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题分布分布, ,那离去人数那离去人数N(tN(t) )就是强度为就是强度为3(3(以时计以时计) )的泊松过程的泊松过程. . 若以若以8 8时为零时刻时为零时刻, ,则到则到1212时离去的人数平均是时离去的人数平均是1212名名, ,故故
56、(1)(1) PN(4)-N(0)=n=e PN(4)-N(0)=n=e-12-12 ; ; (2)(2) 有有9 9人接受服务的概率人接受服务的概率 PN(4)-N(0)=9=ePN(4)-N(0)=9=e-12-12 . .乘客乘客以强度为以强度为A A的泊松过程到达飞机的泊松过程到达飞机A(A(从从t=0t=0开始开始) ), ,当当飞机有飞机有N NA A个乘客时就起飞个乘客时就起飞, ,与此独立的是乘客以强度为与此独立的是乘客以强度为B B的泊松过程到达飞机的泊松过程到达飞机B(B(从从t=0t=0开始开始) ), , 当飞机有当飞机有N NB B个乘客时个乘客时起飞起飞. . (1
57、)(1)写出飞机写出飞机A A在飞机在飞机B B之后起飞的概率式之后起飞的概率式; ; (2)(2)对对N NA A=N=NB B和和A A= =B B的情形的情形, ,计算计算(1)(1)中的概率中的概率. .关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题解解: :(1)(1)以以T TA A记飞机记飞机A A的第的第N NA A个乘客到达的时刻个乘客到达的时刻, , T TB B记飞机记飞机B B 的第的第N NB B个乘客到达的时刻个乘客到达的时刻, ,则飞机则飞机A A在飞机在飞机B B之后起飞的之后起飞的 概率为概率为PTPTA AT TB B. . 泊松过程泊松过程X(tX(t) )到达
58、时间的概率密度到达时间的概率密度 函数为函数为 (t)=(t)= (t)= (t)= (t)= (t)= 由独立性由独立性, ,得得 PTPTA AT TB B=ee-t-t , (t0) , (t0)0, (t0, (t0)0)A ,(t0) ,(t0)0, (t0, (t0)0)B ,(t0) ,(t0)0, (t0, (t0)0)关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 = .= . (2)(2)中条件即中条件即 , ,此时由对称性此时由对称性, ,有有 PTPTA AT TB B=1/2.=1/2.设乘客设乘客按强度为按强度为的泊松过程来到某火车站的泊松过程来到某火车站, ,火车在时火
59、车在时刻刻t t起程起程, ,计算在时间计算在时间(0,t)(0,t)内到达的乘客候车时间总和的内到达的乘客候车时间总和的期望值期望值, ,即求即求E (t-TE (t-Ti i), ,其中其中T Ti i是第是第i i个乘客到达的时刻个乘客到达的时刻. .解解: : 对对N(tN(t) )取条件取条件n,n,有有 E (E (t-Tt-Ti i)|N(t)|N(t)=n=E ()=n=E (t-Tt-Ti i)|N(t)|N(t)=n)=n = =ntnt-E -E T Ti i|N(t|N(t)=n.)=n. 以以U U1 1,U,U2 2,U,Un n记在记在(0,t)(0,t)上上n
60、n个均匀分布个均匀分布, ,且相互独立的且相互独立的关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 随机变量随机变量, ,则则 E E T Ti i|N(t|N(t)=n=E )=n=E U Ui i= .= . 所以所以 E (E (t ti i-T-Ti i)|N(t)|N(t)=n=)=n=ntnt- = .- = . 从而从而 E (t-TE (t-Ti i)=EE ()=EE (t-Tt-Ti i)|N(t)|N(t)=n)=n = = EN(tEN(t)= .)= .设顾客设顾客到某商场的过程是泊松过程到某商场的过程是泊松过程, ,已知平均每小时有已知平均每小时有3030人到达人到达,
61、,求所给事件的概率求所给事件的概率: : 两个顾客相继到达的时间两个顾客相继到达的时间间隔间隔(1)(1)超过超过2 2分钟分钟; ;(2)(2)短于短于4 4分钟分钟; ;(3)(3)在在1 1分到分到3 3分钟之间分钟之间. .解解: :由题意由题意, ,顾客到达数顾客到达数N(tN(t) )是强度为是强度为的泊松过程的泊松过程, ,因而因而关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题顾客到达的时间间隔顾客到达的时间间隔XXn n,n1,n1服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布: : f fX X(t(t)=30e)=30e-30x-30x,x0.,x0.故有故有(1) (1) PXPX2
62、/60= 30e2/60= 30e-30x-30xdx0.368;dx0.368; (2) (2) PXPX4/60= 30e4/60= 30e-30x-30xdx0.865;dx0.865; (3) (3) P1/60P1/60X X3/60= 30e3/60= 30e-30x-30xdx0.384.dx0.384.设顾客设顾客以每分钟以每分钟2 2人的速率到达某商场人的速率到达某商场, , 且顾客流为泊且顾客流为泊松流松流. .求在求在2 2分钟内到达的顾客人数不超过分钟内到达的顾客人数不超过3 3人的概率人的概率. .解解: : 记记N(t),t0N(t),t0为每分钟到达商场的顾客人数
63、的泊松为每分钟到达商场的顾客人数的泊松 过程过程, ,据题意据题意=2.=2.由由 PN(tPN(t)=k=)=k=e e-t-t . . 将将t=2,=2t=2,=2代入上式得代入上式得: PN(2)=k=e: PN(2)=k=e-4-4 . .关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题于是于是, PN(2)3=PN(2)=0+PN(2)=1+PN(2)=2+ , PN(2)3=PN(2)=0+PN(2)=1+PN(2)=2+ PN(2)=3 PN(2)=3 =e =e-4-4+4e+4e-4-4+8e+8e-4-4+ e+ e-4-4= = e e-4-4. .设设X(tX(t) )与与Y(
64、t)(t0)Y(t)(t0)是强度分别为是强度分别为X X和和Y Y的泊松过程的泊松过程. .证明证明: :在在X(tX(t) )的任意两个相邻事件之间的时间间隔内的任意两个相邻事件之间的时间间隔内, ,Y(tY(t) )恰好有恰好有k k个事件发生的概率个事件发生的概率 p= , k=0,1,2, .p= , k=0,1,2, .证明证明: : 设设X(tX(t) )的两个相邻事件的时间间隔为的两个相邻事件的时间间隔为,由独立平由独立平 稳增量性得稳增量性得 PY(t+)-Y(tPY(t+)-Y(t)=k= .)=k= . X(tX(t) )的时间间隔为的时间间隔为的概率密度是的概率密度是:
65、 :关于泊松过程的练习题关于泊松过程的练习题 X X ,(0) ,(0) 0, ( 0, (其它其它) ) 由于由于X(tX(t) )是泊松过程是泊松过程, , 所以所以Y(tY(t) )恰好有恰好有k k个事件发生的个事件发生的 概率概率 p= p= X X dd = = k k dd = = = . = .f fX X()=)=非齐次泊松过程非齐次泊松过程3.3 3.3 非齐次泊松过程非齐次泊松过程 非齐次泊松过程是推广的泊松过程非齐次泊松过程是推广的泊松过程, ,这种过程允许时刻这种过程允许时刻t t的来到强度的来到强度( (或速率或速率) )是是t t的函数的函数. .定义定义3.43
66、.4 称计数过程称计数过程X(t),t0X(t),t0为具有跳跃强度函数为具有跳跃强度函数 (t) (t)的的非齐次泊松过程非齐次泊松过程, ,如果满足条件如果满足条件: : (1)(1) X(0)=0; X(0)=0; (2)(2) X(tX(t) )是独立增量过程是独立增量过程; ; (3)(3) PX(t+h)-X(tPX(t+h)-X(t)=1=)=1=(t)h+o(h(t)h+o(h),), PX(t+h)-X(t)2= PX(t+h)-X(t)2=o(ho(h).).非齐次泊松过程的均值函数为非齐次泊松过程的均值函数为m mX X(t(t)= .)= .以下定理描述了非齐次泊松过程
67、的概率分布以下定理描述了非齐次泊松过程的概率分布: :定理定理3.53.5 设设X(t),t0X(t),t0是具有均值函数是具有均值函数m mX X(t(t)= )= 的的非齐次泊松过程非齐次泊松过程 非齐次泊松过程非齐次泊松过程, ,则有则有 PX(t+s)-X(tPX(t+s)-X(t)=n)=n = ,n0 = ,n0 或或 PX(tPX(t)=n= ,n0 .)=n= ,n0 .证明证明: :对固定对固定t t定义定义 P Pn n(s(s)=)=PX(t+s)-X(tPX(t+s)-X(t)=n)=n 则有则有 P P0 0(s+h)=(s+h)=PX(t+s+h)-X(tPX(t+
68、s+h)-X(t)=0)=0 =P =P在在( (t,t+st,t+s 中没事件中没事件, ,在在( (t+s,t+s+ht+s,t+s+h 中没事件中没事件 =P =P在在( (t,t+st,t+s 中没事件中没事件PP在在( (t+s,t+s+ht+s,t+s+h 中没事件中没事件 ( (由由定义定义3.43.4的的(2)(2) )非齐次泊松过程非齐次泊松过程 =P=P0 0(s)1-(t+s)h+o(h) (s)1-(t+s)h+o(h) (由由定理定理3.43.4的的(3)(3) ) 于是于是, ,有有 令令h0h0取极限取极限, ,得得 或或 , , 或或 . . 同理同理 P Pn
69、 n(s+h(s+h)=)=PX(t+s+h)-X(tPX(t+s+h)-X(t)=n)=n = =P(t,t+sP(t,t+s 中有中有n n个事件个事件,(,(t+s,t+s+ht+s,t+s+h 中没事件中没事件 + +P(t,t+sP(t,t+s 中有中有n-1n-1个事件个事件,(,(t+s,t+s+ht+s,t+s+h 中有中有1 1个事件个事件 . ., ,非齐次泊松过程非齐次泊松过程 + +P(t,t+sP(t,t+s 中有中有n-2n-2个事件个事件,(,(t+s,t+s+ht+s,t+s+h 中有中有2 2个事件个事件 + +P(t,t+sP(t,t+s 中没有事件中没有事
70、件,(,(t+s,t+s+ht+s,t+s+h 中有中有n n个事件个事件 =P =Pn n(s)1-(t+s)h+o(h)+P(s)1-(t+s)h+o(h)+Pn-1n-1(s)(t+s)h+o(h)(s)(t+s)h+o(h) 因此有因此有 =-(t+s)P=-(t+s)Pn n(s)+(t+s)P(s)+(t+s)Pn-1n-1(s)+(s)+ 令令h0h0取极限取极限, ,得得 =-(t+s)P=-(t+s)Pn n(s)+(t+s)P(s)+(t+s)Pn-1n-1(s).(s). 当当n=1n=1时时, ,有有 =-(t+s)P=-(t+s)P1 1(s)+(t+s)P(s)+(
71、t+s)P0 0(s)(s) =-(t+s)P =-(t+s)P1 1(s)+(t+s) .(s)+(t+s) .非齐次泊松过程非齐次泊松过程 前式是关于前式是关于P P1 1(s)(s)的一阶线性微分方程的一阶线性微分方程, , 利用初始条件利用初始条件 P P1 1(0)=0,(0)=0,解得解得 P P1 1(s)=(s)=m mX X(t+s)-m(t+s)-mX X(t(t) .) . 再运用归纳法再运用归纳法, ,即可证得定理结论即可证得定理结论. .例例3.83.8 设设X(t),t0X(t),t0是具有跳跃强度是具有跳跃强度(t(t)=)= 的非齐次泊松过程的非齐次泊松过程(0
72、),(0),求求EX(tEX(t)和和DX(tDX(t).).解解: : 由由定理定理3.53.5及泊松过程期望与方差相等及泊松过程期望与方差相等, ,知知 EX(tEX(t)=)=m mX X(t(t)= =)= =DX(tDX(t).).例例3.93.9 设某路公共汽车从早晨设某路公共汽车从早晨5 5时到晚上时到晚上9 9时有车发出时有车发出. .乘乘 客流量是客流量是:5:5时按平均乘客时按平均乘客200200人人/ /时计算时计算;5;5时至时至8 8时乘客时乘客 平均到达率线性增加平均到达率线性增加,8,8时到达率为时到达率为14001400人人/ /时时;8;8时至时至1818非齐
73、次泊松过程非齐次泊松过程 时保持平均到达率不变时保持平均到达率不变; 18; 18时到时到2121时从到达率时从到达率14001400人人/ / 时按线性下降时按线性下降, ,到到2121时为时为200200人人/ /时时. . 假定乘客数在不相假定乘客数在不相 重叠时间间隔内是相互独立的重叠时间间隔内是相互独立的, ,求求1212时至时至1414时有时有20002000人人 来站乘车的概率来站乘车的概率, ,并求这两小时内来站乘车人数的数学并求这两小时内来站乘车人数的数学 期望期望. .解解: : 将时间将时间5 5时至时至2121时平移为时平移为0 0到到1616时时, ,依题意得乘客到达
74、依题意得乘客到达 率为率为 (t(t)=)= 乘客到达率与时间关系如右上图所示乘客到达率与时间关系如右上图所示. . 由题意由题意, ,乘客数的变化可用非齐次泊松过程描述乘客数的变化可用非齐次泊松过程描述. . 从从 m mX X(9)-m(9)-mX X(7)= =2800,(7)= =2800,200+400t, 0t3,200+400t, 0t3,1400, 31400, 3t13,t13,1400-400(t-13),131400-400(t-13),13t16.t16.(t(t) )t t140014002002003 31313 1616o o非齐次泊松过程非齐次泊松过程 知知,
75、,在在1212时至时至1414时有时有20002000名乘客到达的概率名乘客到达的概率 PX(9)-X(7)=2000= .PX(9)-X(7)=2000= . 12 12时至时至1414时有时有20002000名乘客的数学期望是名乘客的数学期望是 m mX X(9)-m(9)-mX X(7)=2800(7)=2800(人人).).非齐次泊松过程与泊松过程有何不同非齐次泊松过程与泊松过程有何不同? ?又有何联系又有何联系? ? 非齐次泊松过程与泊松过程的不同是非齐次泊松过程与泊松过程的不同是: :非齐次泊松过程非齐次泊松过程的强度的强度不再是常数不再是常数, ,它与它与t t有关有关, ,因而
76、非齐次泊松过程不因而非齐次泊松过程不具有平稳增量性具有平稳增量性. .非齐次泊松过程反映了一类其变化与时非齐次泊松过程反映了一类其变化与时间有关的过程间有关的过程. . 例如设备的故障率与使用年限有关例如设备的故障率与使用年限有关; ;放射放射性物质的衰变速度与衰变时间有关等性物质的衰变速度与衰变时间有关等. . 利用下述定理利用下述定理, ,可将非齐次泊松过程问题转化到泊松过可将非齐次泊松过程问题转化到泊松过复合泊松过程复合泊松过程程中进行讨论程中进行讨论: :设设N(t),t0N(t),t0是强度为是强度为(t(t) )的非齐次泊的非齐次泊松过程松过程, ,对任意对任意t0t0, ,令令N
77、 N* *(t)=N(t)=N-1-1(t)(t), ,则则NN* *(t)(t), ,t0t0是强度为是强度为1 1的泊松过程的泊松过程, ,这里这里(t(t)= )= (u)du(u)du. .反过来反过来, ,当当强度强度(t(t) )有界时有界时, , 也可以由强度为也可以由强度为的泊松过程构造出的泊松过程构造出一个强度函数为一个强度函数为(t(t) )的非齐次泊松过程的非齐次泊松过程. .3.4 3.4 复合泊松过程复合泊松过程定义定义3.53.5 设设N(t),t0N(t),t0是强度为是强度为的泊松过程的泊松过程,Y Yk k,k,k=1,=1, 2, 2,是一列独立同分布随机变
78、量是一列独立同分布随机变量, ,且与且与N(t),t0N(t),t0独独 立立, ,令令 X(tX(t)= ,t0,)= ,t0, 则称则称X(t),t0X(t),t0为复合泊松过程为复合泊松过程. .复合泊松过程复合泊松过程例例3.10 3.10 设设N(tN(t) )是在时间段是在时间段(0,t(0,t内到某商店的顾客人数内到某商店的顾客人数, , N(t),t0 N(t),t0是泊松过程是泊松过程. .若若Y Yk k是第是第k k个顾客在商店所花个顾客在商店所花 的钱数的钱数, ,则则 Y Yk k,k,k=1,2,=1,2,是独立同分布随机变量序列是独立同分布随机变量序列, , 且与
79、且与N(t),t0N(t),t0独立独立. .记记X(tX(t) )为该商店在为该商店在(0,t(0,t时间段时间段 内的营业额内的营业额, ,则则 X(tX(t)= ,t0)= ,t0 是一个复合泊松过程是一个复合泊松过程. .定理定理3.63.6 设设X(tX(t)= ,t0)= ,t0是复合泊松过程是复合泊松过程, ,则则 (1)(1)X(t),t0X(t),t0是独立增量过程是独立增量过程; ; (2)(2)X(t)X(t)的特征函数为的特征函数为g gX(t)X(t)(u(u)= ,)= ,式中式中g gY Y(u(u) ) 是随机变量是随机变量Y Y1 1的特征函数的特征函数,是事
80、件的到达率是事件的到达率. .复合泊松过程复合泊松过程 (3)(3)若若E E , ,则则EX(tEX(t)=tEY)=tEY1 1, ,DX(t)=DX(t)=tEtE( ( ) ). .证明证明: :(1)(1)令令0t0t0 0t t1 1t tm m , ,则则 X(tX(tk k)-X(t)-X(tk-1k-1)= ,k=1,2,m.)= ,k=1,2,m. 由于由于 Y Yk k,k,k=1,2,=1,2,是一列独立同分布随机变量是一列独立同分布随机变量, , 所所 以以X(tX(t) )具有独立增量性具有独立增量性. . (2)(2)因为因为 g gX(tX(t) )=E = E
81、 |=E = E |N(tN(t)=)=nPN(tnPN(t)=n)=n = E | = E |N(tN(t)=n)=n = E = E 复合泊松过程复合泊松过程 = = g gY Y(u)(u)n n = .= . (3)(3)由全期望公式由全期望公式EX(tEX(t)=)=EEX(t)|N(tEEX(t)|N(t)及假设及假设 知知EX(t)|N(tEX(t)|N(t)=n=E )=n=E Y Yi i|N(t|N(t)=n=E )=n=E Y Yi i|N(t|N(t)=n)=n =E Y =E Yi i=nE(Y=nE(Y1 1),), 所以所以, ,EX(tEX(t)=)=EEX(t
82、)|N(tEEX(t)|N(t)=EN(t)E(Y)=EN(t)E(Y1 1) ) =tE(Y =tE(Y1 1).). 利用特征函数性质利用特征函数性质(5)(5), ,即特征函数与矩的关系即特征函数与矩的关系, ,知知 特征函数在特征函数在0 0点的值点的值g gX X(0)=E(e(0)=E(ei0Xi0X)=E(1)=1;)=E(1)=1; EX EX2 2(t)=- = (t)=- = 复合泊松过程复合泊松过程 = = =(t) =(t)2 2E E2 2YY1 1+tEY+tEY1 12 2. DX(tDX(t)=EX)=EX2 2(t)-E(t)-E2 2X(t)X(t) =(t
83、) =(t)2 2E E2 2YY1 1+tEY+tEY1 12 2-tE(Y-tE(Y1 1)2 2 =tEY =tEY1 12 2.复合泊松过程复合泊松过程由一列随机变量由一列随机变量 Y Yn n 的和而构成的和而构成, , 当当Y Yn n 1 1时时, ,X(tX(t)=)=N(t),X(tN(t),X(t) )即为通常的泊松过程即为通常的泊松过程. . 复合泊松过程的定义要求复合泊松过程的定义要求, ,分析具体问题时分析具体问题时, ,首先要首先要 确定一个泊松过程与一个随机变量序列确定一个泊松过程与一个随机变量序列, ,然后要验证随然后要验证随 机变量序列以及随机变量序列与泊松过
84、程的独立性机变量序列以及随机变量序列与泊松过程的独立性. .只只 有在这些条件都具备后有在这些条件都具备后, ,方可对该问题进行处理或计算方可对该问题进行处理或计算. .复合泊松过程复合泊松过程例例3.113.11设移民到某地定居的户数是一泊松过程设移民到某地定居的户数是一泊松过程, ,已知平均已知平均 每周有每周有2 2户定居户定居. .设每户的人口数是一随机变量设每户的人口数是一随机变量, ,而且一而且一 户有户有4 4人的概率为人的概率为1/6,1/6,有有3 3人的概率是人的概率是1/3,1/3,有有2 2人的概率人的概率 为为1/3,1/3,有有1 1人的概率是人的概率是1/6.1/
85、6.且知各户的人口数相互独立且知各户的人口数相互独立. . 求求0,t0,t周内到该地定居的移民人数的数学期望与方差周内到该地定居的移民人数的数学期望与方差. .解解: : 记记Y Yi i为第为第i i户的人口数户的人口数,Y,Yi i 相互独立相互独立, ,移民总人数移民总人数 X(tX(t)= Y)= Yi i 是一复合泊松过程是一复合泊松过程. . 依题意依题意,=2.,=2. EY EY1 1=41/6+31/3+21/3+11/6=5/2;=41/6+31/3+21/3+11/6=5/2; EY EY1 12 2=4=42 21/6+31/6+32 21/3+21/3+22 21/
86、3+11/3+12 21/6=43/6;1/6=43/6; 所以所以, , EX(tEX(t)=tEY)=tEY1 1=2t5/2=5t;=2t5/2=5t; DX(tDX(t)=tEY)=tEY1 12 2=2t43/6=43t/3.=2t43/6=43t/3.条件泊松过程条件泊松过程3.5 3.5 条件泊松过程条件泊松过程 设设是具有分布是具有分布G G的正值随机变量的正值随机变量,N(t),t0,N(t),t0是一计是一计数过程数过程, ,如果在已知如果在已知=的条件下的条件下N(t),t0N(t),t0是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程, ,则称则称N(t),t0N(t),t0为为条
87、件泊松过程条件泊松过程. . 若若的分布是的分布是G,G,则随机选择一个个体在长度为则随机选择一个个体在长度为t t的时间的时间区间内发生区间内发生n n次的概率是次的概率是 PN(t+s)-N(sPN(t+s)-N(s)=n= )=n= e e-t-t dG(dG().).设设N(t),t0N(t),t0是条件泊松过程是条件泊松过程, ,且且E(E(2 2) ), ,则则 EN(tEN(t)=)=tEtE, , DN(tDN(t)=)=tD+tEtD+tE.在在N(tN(t)=n)=n的条件下的条件下,的分布的分布 Px|N(tPx|N(t)=n= )=n= e e-t-t dG(dG()/
88、 )/ e e-t-t dG(dG().).条件泊松过程条件泊松过程 这是因为这是因为P(,+d)|N(tP(,+d)|N(t)=n()=n(对很小的对很小的dd) ) = = = =e e-t-t dG(dG()/ )/ e e-t-t dG(dG().). 于是于是Px|N(tPx|N(t)=n)=n便有上页最后一行的分布表示式便有上页最后一行的分布表示式. .条件泊松分布有什么特点呢条件泊松分布有什么特点呢? ? 条件泊松分布条件泊松分布, ,描述的是一个有着描述的是一个有着“风险风险”参数参数的个的个体体发生某一事件的概率发生某一事件的概率. . 例如有一个总体例如有一个总体, ,它的
89、个体存在某它的个体存在某种差异种差异( (如参加人寿保险的人发生事故的倾向性不同如参加人寿保险的人发生事故的倾向性不同),),此此时时, ,可以将概率式可以将概率式 PN(t+s)-N(sPN(t+s)-N(s)=n=)=n=e e-t-t , n=0,1,2, . , n=0,1,2, .解释为给定解释为给定时时, ,N(tN(t) )的条件分布的条件分布P Pn|n|(t(t).).条件泊松过程条件泊松过程 在风险理论中在风险理论中, ,常用条件泊松过程作为意外事件出现的常用条件泊松过程作为意外事件出现的模型模型, ,其强度参数其强度参数未知未知( (用随机变量用随机变量表示表示), ),
90、 但经过一但经过一段时间后段时间后, ,即可用事件发生的概率来表示即可用事件发生的概率来表示, , 就有了确定的就有了确定的参数参数. .例例3.123.12 设某地区在某季节地震发生的平均强度是随机变设某地区在某季节地震发生的平均强度是随机变 量量,P=,P=1 1=p,Pp,P=2 2=1-p. =1-p. 到到t t时为止的地震时为止的地震 次数是一个条件泊松过程次数是一个条件泊松过程. . 求该地区该季节在求该地区该季节在(0,t)(0,t)时时 间内出现间内出现n n次地震的条件下地震强度为次地震的条件下地震强度为1 1的概率的概率, ,并求并求 在在N(tN(t)=n)=n的条件下
91、的条件下, , 从从t t开始到下一个地震出现的条件开始到下一个地震出现的条件 分布分布. .解解: : 该过程是条件泊松过程该过程是条件泊松过程. .因为因为是离散型是离散型, ,故故 P=P=1 1|N(t)=n|N(t)=n过滤的泊松过程过滤的泊松过程 =p (=p (1 1t)t)n n/p (/p (1 1t)t)n n+(1-p) (+(1-p) (2 2t)t)n n, P P从从t t开始带下次地震出现时间开始带下次地震出现时间x|N(tx|N(t)=n)=n = . = .3.6 3.6 过滤的泊松过程过滤的泊松过程 设有一泊松分布的冲激脉冲串设有一泊松分布的冲激脉冲串, ,
92、经过一线性时不变滤波经过一线性时不变滤波器器, ,则滤波器的输出是一随机过程则滤波器的输出是一随机过程X(t),t0:X(t),t0: X(tX(t)= )= h(t-Uh(t-Ui i) () () )式中式中h(th(t) )代表线性时不变滤波器代表线性时不变滤波器( (即系统即系统) )的冲激响应的冲激响应; ;U Ui i代表第代表第i i个冲激脉冲出现的时间个冲激脉冲出现的时间( (即在时间区间即在时间区间(0,t)(0,t)内发内发生的事件的无序到达时刻生的事件的无序到达时刻),),是随机变量是随机变量; ; N(tN(t) )表示表示(0,t)(0,t)内进入滤波器输入端冲激脉冲
93、的个数内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数, ,它服从泊松分布它服从泊松分布: :过滤的泊松过程过滤的泊松过程 PN(tPN(t)=k= )=k= e e-t-t (k=0,1,2,) (k=0,1,2,)N(tN(t) )服从泊松分布服从泊松分布, , 在在(0,t)(0,t)内进入滤波器输入端的内进入滤波器输入端的( (N(tN(t) )=)k=)k个脉冲出现的时间均为独立同分布的随机变量个脉冲出现的时间均为独立同分布的随机变量, , 该随该随机变量均匀分布于机变量均匀分布于(0,t)(0,t)内内, ,即即 (u)=(u)=则称则称( () )式的随机过程式的随机过程X(t),t0X(t),
94、t0为为过滤的泊松过程过滤的泊松过程. .用用温度限制的二极管温度限制的二极管为例为例, ,说明说明过滤的泊松过程过滤的泊松过程: : (1)(1)在在(0,t)(0,t)内从阴极发射的电子数内从阴极发射的电子数符合泊松分布符合泊松分布; ; (2)(2)假定二极管为平板型二极管假定二极管为平板型二极管, ,极极间距离为间距离为d,d,板极对阴极的电位差为板极对阴极的电位差为v v0 0. . ,(0u,(0ut)t)0, (0, (其它其它u u值值) )xdxBOV0阴极阴极阳极阳极过滤的泊松过程过滤的泊松过程研究在没有空间电荷的条件下研究在没有空间电荷的条件下, ,一个发射电子从阴极发射
95、一个发射电子从阴极发射后后至至到达板极前到达板极前, , 在电路内引起的电流脉冲在电路内引起的电流脉冲i(ti(t) )的波流的波流, ,可得可得 i(ti(t)=)=其中电子从阴极出发到达板极的渡越时间其中电子从阴极出发到达板极的渡越时间n n= ,= ,q q0 0为电子电荷为电子电荷,m,m为电子质量为电子质量. . (3)(3)因而因而温度限制二极管的板流温度限制二极管的板流( (霰弹噪声霰弹噪声) ) I(tI(t)= )= i(t-Ui(t-Ui i) )其中其中i(ti(t) )如上所给如上所给, ,U Ui i为第为第i i个电子的发射时刻个电子的发射时刻, ,是在是在(0,t
96、)(0,t)内服从均匀分布的随机变量内服从均匀分布的随机变量. . 对照定义知对照定义知, ,温度限制二极管的板流温度限制二极管的板流I(tI(t) )是一是一过滤的泊过滤的泊松过程松过程. .2q2q0 0 ,(0t ,(0t0 0) )0, (0, (其它其它) )过滤的泊松过程过滤的泊松过程例例3.133.13 设设X(t),t0,X(t),t0,并有并有X(tX(t)= )= h(t-Uh(t-Ui i),),其中在其中在 时刻时刻U Ui i发生的事件发生的事件, ,在时刻在时刻t t的输出为的输出为h(t-Uh(t-Ui i););在时间间在时间间 隔隔(0,t)(0,t)内发生的
97、事件数内发生的事件数, ,由泊松随机变量由泊松随机变量N(tN(t) )描述描述, ,U Ui i 是在是在(0,t)(0,t)内发生事件的无序到达时刻内发生事件的无序到达时刻. .这个过程是这个过程是滤波滤波 泊松过程泊松过程, ,求其特征函数求其特征函数g gX(t)X(t)(v(v).).解解: : 由由EY=EEY|XEY=EEY|X及特征函数定义及特征函数定义, ,有有 g gX(t)X(t)(v(v)=)=EeEeivX(tivX(t) )=EEeEEeivX(t)ivX(t)|N(t|N(t) = = EeEeivX(t)ivX(t)|N(t|N(t)=)=kPN(tkPN(t)
98、=k)=k 而而 EeEeivX(t)ivX(t)|N(t|N(t)=)=kEkE , , 因为因为U Ui i是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量, ,故有故有 EeEeivX(t)ivX(t)|N(t|N(t)=k= E =(E )=k= E =(E )k k. .过滤的泊松过程过滤的泊松过程 又在又在(0,)(0,)内的均匀分布内的均匀分布, ,得得 E = duE = dui i = = dudu. . 将结果代入将结果代入g gX(t)X(t)(v(v) )得得 g gX(t)X(t)(v(v)= )= duduk k e e-t-t = =e e-t-t = . = .一般
99、一般, ,过滤的泊松过程的特征函数过滤的泊松过程的特征函数 g gX(t)X(t)(v(v)= . )= . 过滤的泊松过程过滤的泊松过程例例3.143.14 求温度限制二极管的霰弹噪声求温度限制二极管的霰弹噪声I(tI(t) )的平均值、相的平均值、相 关函数、协方差函数和方差关函数、协方差函数和方差. .解解: : 温度限制二极管的霰弹噪声温度限制二极管的霰弹噪声I(tI(t),),即温度限制二极管即温度限制二极管 的板流的板流, ,它是一个过滤的泊松过程它是一个过滤的泊松过程, ,有有 EI(tEI(t)= )= i(t)dti(t)dt= 2q= 2q0 0 dtdt=q=q0 0 ,
100、 , 其中其中是单位时间内发射的平均电子数是单位时间内发射的平均电子数,q,q0 0是电子电荷是电子电荷, , EI(tEI(t)代表电流的平均值代表电流的平均值. .一般一般, ,过滤的泊松过程的期望过滤的泊松过程的期望( (均值均值) )函数函数 EX(tEX(t)= )= h(u)duh(u)du. . I(tI(t) )的相关函数的相关函数 R RI I(t,t+(t,t+)= i(t)i(t+)dt+)= i(t)i(t+)dt+2 2 h(t)dt h(t)dt2 2过滤的泊松过程过滤的泊松过程 = i(t)i(t+)dt+(q= i(t)i(t+)dt+(q0 0) )2 2.
101、.一般一般, ,过滤的泊松过程的相关函数过滤的泊松过程的相关函数 R RX X(t,t+(t,t+)= h(u)h(u+)du+)= h(u)h(u+)du+2 2 h(u)du h(u)du2 2. . I(tI(t) )的协方差函数的协方差函数 B BI I(t,t+(t,t+)= )= i(t)i(t+)dti(t)i(t+)dt. .一般一般, ,过滤的泊松过程的协方差函数过滤的泊松过程的协方差函数 B BX X(t,t+(t,t+)= )= h(u)h(u+)duh(u)h(u+)du. . I(tI(t) )的方差函数的方差函数 DI(tDI(t)= i)= i2 2(t)dt.(
102、t)dt.一般一般, ,过滤的泊松过程的方差函数过滤的泊松过程的方差函数 DX(tDX(t)= h)= h2 2(u)du.(u)du.维纳过程维纳过程3.7 3.7 维纳过程维纳过程 维纳维纳( (N N. .WienerWiener) )过程过程是布朗运动的数学模型是布朗运动的数学模型, ,在随机过在随机过程理论及其应用中起着重要的作用程理论及其应用中起着重要的作用. 1827. 1827年年, ,英国植物学英国植物学家家R.BrownR.Brown在显微镜下在显微镜下, , 观测漂浮在平静的液面上的微小观测漂浮在平静的液面上的微小粒子粒子, , 发现它们不断进行着杂乱无章的运动发现它们不
103、断进行着杂乱无章的运动, ,这种现象后这种现象后来称之为布朗运动来称之为布朗运动. 1923. 1923年年, ,美国数学家美国数学家N.WienerN.Wiener开始把开始把布朗运动作为作为随机过程来研究布朗运动作为作为随机过程来研究. . 以以W(tW(t) )表示运动中一微粒表示运动中一微粒( (质点质点) )从时刻从时刻t=0t=0到时刻到时刻t t0 0的位移的横坐标的位移的横坐标( (同样也可以讨论纵坐标同样也可以讨论纵坐标) )且设且设W(0)=0.W(0)=0.根根据据爱因斯坦爱因斯坦( ( EnistenEnisten)1905)1905年提出的理论年提出的理论, ,微粒的
104、这种运微粒的这种运动动, ,是由于受到大量的随机的、相互独立的分子碰撞的结是由于受到大量的随机的、相互独立的分子碰撞的结果果. . 于是于是, ,粒子在时段粒子在时段 s,ts,t(与相继两次碰撞的时间间隔与相继两次碰撞的时间间隔相比是很大的量相比是很大的量) )上的位移可看作是许多微小位移的代数上的位移可看作是许多微小位移的代数维纳过程维纳过程和和. . 依中心极限定理依中心极限定理, , W(t)-W(sW(t)-W(s) )服从正态分布服从正态分布. .而且而且, ,由由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞所引起于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞所引起, ,因因而在不相重叠的时
105、间间隔内而在不相重叠的时间间隔内, ,碰撞的次数、大小和方向可碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的假定是相互独立的. .其次其次, ,液面处于平衡状态液面处于平衡状态, ,所以粒子在所以粒子在一时段上位移的概率分布一时段上位移的概率分布, ,可以认为只依赖于这时段的长可以认为只依赖于这时段的长度度, ,而与观测的起始时刻无关而与观测的起始时刻无关, ,即即W(tW(t) )具有平稳增量具有平稳增量. .综上所述综上所述, ,便得维纳过程的数学模型便得维纳过程的数学模型: : 给定给定二阶矩过程二阶矩过程W(t),t0,W(t),t0,如果它满足如果它满足 1.1.具有平稳的独立增量具有平稳
106、的独立增量; ; 2.2.对任意的对任意的t ts0,W(t)-W(s)s0,W(t)-W(s)服从正态分布服从正态分布; ; 3.3.对任意的对任意的t0,EW(t)=0,t0,EW(t)=0, 则则称此过程为称此过程为维纳过程维纳过程. .维纳过程维纳过程 右下图展示了维纳过程右下图展示了维纳过程W(t),t0W(t),t0的一条样本曲线的一条样本曲线. . 由由1.1.可知可知, ,维纳过程是齐次的独立增量过程维纳过程是齐次的独立增量过程. . 而且它还而且它还是正态过程是正态过程. .因为因为, ,对任意正整数对任意正整数n n和任意时刻和任意时刻t t1 1,t,t2 2,t tn
107、n(t(t1 1t t2 2t tn n)0,),)0,),以及任意实数以及任意实数u u1 1,u,u2 2, ,u,un n, ,当当记记U Uk k= = 时时, ,有有 根据根据1.1.和和2.2.知该式是独立正态变知该式是独立正态变量之和量之和, ,所以它也是正态变量所以它也是正态变量. . 由正态变量的线性变换不由正态变量的线性变换不变性变性( (即即:n:n维随机变量维随机变量(X(X1 1,X,X2 2, , ,X Xn n) )服从服从n n维正态分布维正态分布= =X X1 1,X,X2 2, , ,X Xn n的任意线性组合的任意线性组合t t1 1X X1 1+t+t2
108、 2X X2 2+ + +t tn nX Xn n服从一维正服从一维正tW(t)O维纳过程维纳过程态分布态分布) )推知推知:(W(t:(W(t1 1),W(t),W(t2 2),),W(tW(tn n)是是n n维正态变量维正态变量, ,亦亦即即W(t),t0W(t),t0是正态过程是正态过程. . W(t),t0 W(t),t0是正态过程是正态过程, , 其分布完全由均值函数和相其分布完全由均值函数和相关函数关函数( (或协方差函数或协方差函数) )确定确定. . 根据条件根据条件3.3.,EW(t)=0.,EW(t)=0.另另外可以证明外可以证明( (E.Parzen,ModernE.P
109、arzen,Modern Probability Theory and Probability Theory andApplication,NewApplication,New York(1960):D York(1960):DW W(t)=EW(t)=EW2 2(T)=(T)=2 2t(t(其其中中2 2称为维纳过程的参数称为维纳过程的参数, ,可通过实验观测值加以估计可通过实验观测值加以估计).). 由于独立增量过程的协方差函数可用方差函数表示为由于独立增量过程的协方差函数可用方差函数表示为: :B BX X(s,t(s,t)=)=D DX X(min(s,t(min(s,t). ). 所
110、以维纳过程的协方差函数所以维纳过程的协方差函数( (相相关函数关函数) )是是: : B BW W(s,t(s,t)=)=R RW W(s,t(s,t)=)=2 2min(s,t).min(s,t). 参数参数为为2 2的维纳过程的维纳过程W(t),t0,W(t),t0,满足对任意的满足对任意的t t0,0,W(tW(t) )N(0,N(0,2 2t). t). 除了除了布朗运动布朗运动外外, ,电子元器件在恒温下电子元器件在恒温下的的热噪声热噪声也也可归结可归结为为维纳过程维纳过程. .LaplaceLaplace变换变换在在处理只取非负值的随机变量时处理只取非负值的随机变量时, ,使用拉普
111、拉斯变换比使用拉普拉斯变换比起特征函数来起特征函数来, ,有时更为方便有时更为方便. .分布分布F F的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换定义定义为为 (s)= (s)= e e-sx-sxdF(xdF(x),),式中复数式中复数s=a+ib,a0.s=a+ib,a0.正如特征函数一样正如特征函数一样, ,拉普拉斯变换惟一确定分布拉普拉斯变换惟一确定分布. .我们也可以对任意函数定义拉氏变换我们也可以对任意函数定义拉氏变换: : 函数函数f(tf(t) )的拉普拉斯变换定义为的拉普拉斯变换定义为 L(sL(s)=)=L Lf(tf(t)= )= e e-st-stf(t)dtf(t)dt, ,复数复数
112、s=s=a+iba+ib. .倘若此积分存在倘若此积分存在, ,可证明可证明L(sL(s) )能够确定能够确定f(tf(t),),只差一常数只差一常数. .拉普拉斯变换的反演公式拉普拉斯变换的反演公式 f(tf(t)=)=L L -1-1L(s)= L(s)eL(s)= L(s)eststds(t0,a0).ds(t0,a0).当当实变量复值函数实变量复值函数f(tf(t) )和和f(tf(t) )在在t0t0上除外有限的第上除外有限的第一一类间断点外连续类间断点外连续;t;t0,f(t)=0;f(t)0,f(t)=0;f(t)是有限阶时是有限阶时f(tf(t) )存在存在. .更新过程更新过
113、程3.8 3.8 更新过程更新过程 前面的讨论前面的讨论, ,说明了泊松过程是一种计数过程说明了泊松过程是一种计数过程, , 在这类在这类过程中两个连续出现事件间的时间间隔过程中两个连续出现事件间的时间间隔, ,是独立且同为指是独立且同为指数分布的随机变量数分布的随机变量. .一种自然的推广是它的相邻两个连续一种自然的推广是它的相邻两个连续出现事件间的时间间隔是一个独立同分布的随机变量出现事件间的时间间隔是一个独立同分布的随机变量, ,其其概率密度为概率密度为f(tf(t),),分布函数为分布函数为F(tF(t), ), 则称这类计数过程为则称这类计数过程为更新过程更新过程. . 设设N(t)
114、,t0N(t),t0是一个计数过程是一个计数过程, ,x xn n表示第表示第n-1n-1次事件和次事件和第第n n次事件间的时间间隔次事件间的时间间隔(n1).(n1).定义定义3.63.6 设设xx1 1,x,x2 2,为一非负、独立、同分布的随机变为一非负、独立、同分布的随机变 量序列量序列, ,则称计数过程则称计数过程N(t),t0N(t),t0为为更新过程更新过程. .例如例如假如我们能无限地提供同类型灯泡假如我们能无限地提供同类型灯泡, ,其寿命是彼此独其寿命是彼此独更新过程更新过程立、同分布的随机变量立、同分布的随机变量. . 若每次使用一个灯泡若每次使用一个灯泡, ,当该灯泡当
115、该灯泡损坏后立即换上一个新的损坏后立即换上一个新的, , 则在时间则在时间0,t0,t内损坏的灯泡内损坏的灯泡数是一个更新过程数是一个更新过程N(t),t0.N(t),t0.其中其中N(tN(t) )表示在表示在0,t0,t时时间内损坏的灯泡数间内损坏的灯泡数. . 我们将通用我们将通用事件事件与与更新更新这两个词这两个词, ,因而可说第因而可说第n n次更新次更新在时刻在时刻S Sn n发生。由于间隔是独立同分布的发生。由于间隔是独立同分布的, ,所以在各个更所以在各个更新时刻此过程在概率意义上重新开始新时刻此过程在概率意义上重新开始. . 我们将要回答的第一个问题是我们将要回答的第一个问题
116、是: :在有限时间内是否会有在有限时间内是否会有无限多次更新发生无限多次更新发生? ?1.1.在有限的时间内只能出现有限次更新在有限的时间内只能出现有限次更新 设设S Sn n= x= xi i(n1),(n1),则则 S S0 0=0,=0,代表过程的起始点代表过程的起始点; ; 更新过程更新过程 S S1 1=x=x1 1, ,代表过程中第一次更新时刻代表过程中第一次更新时刻; ; S S2 2=x=x1 1+x+x2 2, ,代表过程中第二次更新时刻代表过程中第二次更新时刻; ; S Sn n= x= xi i, ,代表过程中第代表过程中第n n次更新时刻次更新时刻. . 设设x x1
117、1,x,x2 2,x xn n,的分布函数为的分布函数为F(tF(t),),概率密度为概率密度为f(tf(t),),则随机变量则随机变量S Sn n的概率密度为的概率密度为f(tf(t) )的的n n次卷积次卷积. . 记记 =ExExn n,n,n=1,2, .=1,2, .由于由于x xn n为非负随机变量为非负随机变量, ,也不恒为也不恒为0,0,所以所以0,0,且且 F(0F(0+ +)=)=PxPxn n=0=01.1.因因S Sn n代表代表n n次更新所花费的时间次更新所花费的时间, ,故有故有 N(tN(t)=)=maxn:Smaxn:Sn nt.t.若在若在0,t0,t内仅出
118、现内仅出现n n次更新次更新, ,说明说明S Sn nt,t,而而tStSn+1n+1. . 根据根据S0S1S2S3x1x2x3t更新过程更新过程强大数定律强大数定律, ,当当nn时时, ,以概率以概率1 1 . .鉴于鉴于0, 0, 因而这意味着当因而这意味着当n n趋于无穷时趋于无穷时, ,S Sn n方趋于无穷方趋于无穷. .而且而且, ,当当S Sn n趋于无穷时趋于无穷时, ,必然有必然有n n趋于无穷趋于无穷. . 这就说明在有这就说明在有限的时间内只能出现有限次更新限的时间内只能出现有限次更新, , 换言之换言之, ,至多只有有限至多只有有限多个多个n n能使能使S Sn n小
119、于或等于小于或等于t. t. 可见当可见当t t为有限值时为有限值时, ,有有 N(tN(t)=)=maxn:Smaxn:Sn ntt . .2.N(t)2.N(t)的概率分布的概率分布( (给定给定F(tF(t) )或或f(tf(t) )计算计算N(tN(t) )的概率分布的概率分布) ) N(tN(t) )的分布至少在理论上能得到的分布至少在理论上能得到, ,只要先注意到这么重只要先注意到这么重要的关系要的关系: :到时刻到时刻t t为止的更新次数大于或等于为止的更新次数大于或等于n n当且仅当当且仅当在在t t之前或在时刻之前或在时刻t t发生第发生第n n次更新次更新, ,即即 N(t
120、)nN(t)n S Sn ntt. .更新过程更新过程由此并得到由此并得到 PN(tPN(t)=n=PN(t)n-PN(t)n+1)=n=PN(t)n-PN(t)n+1 =PS =PSn nt-PSt-PSn+1n+1t.t. 设设S Sn n的分布函数为的分布函数为F Fn n(t(t),),因因 S Sn n= x= xi i是故是故F Fn n(t(t) )可由可由f(tf(t) )的的n n次卷积次卷积. .于是于是, ,得得 PN(tPN(t)=n=F)=n=Fn n(t)-F(t)-Fn+1n+1(t),(t),这从理论上说这从理论上说, ,我们已经给出了我们已经给出了N(tN(t
121、)=n)=n的概率的概率. .例例3.153.15 设设x x1 1,x,x2 2,x xn n,是独立、同分布、非负整值随是独立、同分布、非负整值随 机变量机变量, ,且且PxPxn n=i=p(1-p)=i=p(1-p)i-1i-1,i1.,i1.求求PN(tPN(t)=n.)=n.解解: : 根据题意根据题意且且知知, ,时间间隔时间间隔x xn n服从几何分布服从几何分布. .于是于是x x1 1取取i i 的概率相当于在贝努利试验中在第的概率相当于在贝努利试验中在第i i次试验时首次获得次试验时首次获得更新过程更新过程成功的概率成功的概率, ,且每次试验成功的概率为且每次试验成功的概
122、率为p. p. 因此因此S Sn n取取k k的概的概率相当于在贝努利试验中在第率相当于在贝努利试验中在第k k次试验时恰得到第次试验时恰得到第n n次成次成功的概率功的概率. .即即 PSPSn n=k=k=于是于是, , PN(tPN(t)=n=F)=n=Fn n(t)-F(t)-Fn+1n+1(t)(t) =PS =PSn nt-PSt-PSn+1n+1tt = p = pn n(1-p)(1-p)k-nk-n - p- pn+1n+1(1-p)(1-p)k-n-1k-n-1, ,式中式中tt为对为对t t取整运算取整运算. . 3.3.更新过程更新过程N(t),t0N(t),t0的数学
123、期望的数学期望 令令m(tm(t)=)=EN(tEN(t),),称之为称之为更新函数更新函数. . 更新理论的大部分更新理论的大部分内容内容, ,涉及到确定更新过程均值涉及到确定更新过程均值m(tm(t) )的性质的性质. . p pn n(1-p)(1-p)k-nk-n,(kn),(kn)0, (k0, (kn)n)更新过程更新过程m(tm(t) )与与F F之间的关系由以下命题给出之间的关系由以下命题给出. .命题命题3.13.1 m(tm(t)= )= F Fn n(t(t).).证明证明: : 记记I In n= = 则则N(tN(t)= I)= In n. . 于是于是 EN(tEN
124、(t)=E )=E I In n(I(In n非负非负, ,求期望与求和可交求期望与求和可交 = = EIEIn n 换次序换次序) ) = = PIPIn n=1=1 = = PSPSn ntt = = F Fn n(t(t).).在在命题命题3.13.1中等式的两边对时间中等式的两边对时间t t求导数求导数, ,得得1,1,若第若第n n次更新发生在次更新发生在0,t0,t内内0,0,其它其它. .更新过程更新过程 (t(t) = ) = FFn n(t(t)= )= f fn n(t(t),),称称(t(t) )为为更新强度更新强度. . 对上式作拉氏变换对上式作拉氏变换, ,得得 (t
125、)e(t)e-st-stdtdt= =(s(s)= )= f fn n(t)e(t)e-st-stdtdt = = f fn n(t)e(t)e-st-stdtdt. .由于由于f fn n(t(t) )是是S Sn n的概率密度的概率密度, ,而而S Sn n= x= xi i, ,所以所以f fn n(t(t) )为为f(tf(t) )的的n n次卷积次卷积. .设设 f(t)ef(t)e-st-stdtdt= =(s(s),),则则 f fn n(t)e(t)e-st-stdtdt=(s)(s)n n. .从而得从而得: :(s(s)= )= (s)(s)n n= ; = ; (s(s)
126、= .)= .这这 更新过程更新过程两式给出了时间间隔概率密度与更新强度之间的关系两式给出了时间间隔概率密度与更新强度之间的关系. .由由 (s(s)=)=(s)-(s)(s(s)-(s)(s) )式式, ,利用拉氏变换利用拉氏变换, ,得得 f(tf(t)=)=(t(t)- )- (t-u)f(u)du(t-u)f(u)du . .此式指出此式指出, ,当给定当给定(t(t) )后后, ,更新过程的相邻两个连续出现更新过程的相邻两个连续出现事件间的时间间隔概率密度事件间的时间间隔概率密度f(tf(t) )是这一积分方程的解是这一积分方程的解. .该该积分方程称为积分方程称为更新方程更新方程.
127、 .例例3.163.16 某更新过程的更新强度某更新过程的更新强度(t(t)= ()= (0).0). 求该更新过程求该更新过程N(t),t0N(t),t0的时间间隔的时间间隔x xn n的概率密度的概率密度. .解：解： (s(s)= )= (t)e(t)e-st-stdtdt= ,= , (s(s)= /(1+ )= ,)= /(1+ )= ,(t0),(t0)0, (t0, (t0)0)更新过程更新过程 f(tf(t)=L)=L-1-1(s)= .(s)= . 从中看出从中看出, , 更新强度更新强度(t(t) )为常数的更新过程是泊松过为常数的更新过程是泊松过程程, ,时间间隔服从指数
128、分布时间间隔服从指数分布. .4.4.极限极限limlim 的研究的研究 在在1.1.中中, ,已经说明在有限长时间内更新的次数是有限的已经说明在有限长时间内更新的次数是有限的. .因而当因而当tt时时,N()=,N()=limN(tlimN(t)=()=(依概率依概率1).1).因为因为: : PN() PN()=P=P至少存在某一个至少存在某一个n,xn,xn n= =P ( =P (x xn n=)=) PxPxn n= =0. =0.e-t,(t0)e-t,(t0)0, (t0, (t0)0)tt更新过程更新过程现在我们的问题是现在我们的问题是: : N(tN(t) )是以多大的速度趋
129、于无穷的是以多大的速度趋于无穷的? ?即即需要确定需要确定limlim 的值的值. . 现在考虑现在考虑S S3 3. .依据定义依据定义,S,S3 3表示第表示第3 3次更新出现的时刻次更新出现的时刻, ,而而N(tN(t)=3)=3表示到表示到t t时刻仅出现时刻仅出现3 3次更新次更新. . 于是于是S SN(tN(t)=3)=3表示最后表示最后1 1次更新出现在次更新出现在t t之前之前. . 同理同理, ,S SN(tN(t) )说明在说明在t t内出现内出现N N次更新次更新, ,而最后而最后1 1次更新即第次更新即第N N次更新出现在次更新出现在t t之前之前. .于是于是S S
130、N(t)+1N(t)+1说明说明在在t t内出现内出现N N次更新次更新, ,而而N(t)+1N(t)+1次更新出现在次更新出现在t t时刻或时刻或t t之后之后, ,S SN(t)+1N(t)+1表示第表示第N(t)+1N(t)+1次更新出现的时刻次更新出现的时刻. .见下图见下图: :因而有因而有: : S SN(tN(t) )tStSN(t)+1N(t)+1, ,或或 . .tt123N(t)N(t)+10S1S2S3SN(t)SN(t)+1更新过程更新过程而而 = = 表示表示N(tN(t) )个独立同分布的随机变量的平均个独立同分布的随机变量的平均值值. . 1.1.中曾指出中曾指出
131、, ,由强大数定律由强大数定律, ,当当nn时时, ,以概率以概率1 1有有 ;这也使得这也使得, ,当当tt时时N(tN(t), ), 依概率依概率1 1趋于趋于.显然显然 = .= . 同样的理由同样的理由, ,当当tt时时, , 依概率依概率1 1趋于趋于.但但 limlim = =limlim =1, =1,故当故当tt时时 .因为因为 位于位于 和和 两值之间两值之间, ,而后两者均趋于而后两者均趋于, , tN(t)更新过程更新过程因此因此, ,当当tt时时, ., .这也就是说这也就是说limlim = . = .所所以称以称 为为更新过程的速率更新过程的速率. .例例3.173
132、.17 某君的收音机使用一节电池供电某君的收音机使用一节电池供电. . 当电池失效时当电池失效时 他立即换一节同一型号的电池他立即换一节同一型号的电池. .如果电池的寿命是均匀如果电池的寿命是均匀 分布在分布在(30(30小时小时,60,60小时小时) )内的随机变量内的随机变量, , 问在长时间工问在长时间工 作的情况下某君更换电池的速率为何作的情况下某君更换电池的速率为何? ?解解: :设设N(tN(t) )表示在表示在t t时间内失效的电池数时间内失效的电池数( (亦即更换的电池亦即更换的电池 数数).).在长时间工作的情况下在长时间工作的情况下, ,电池的更换速率为电池的更换速率为 limlim = . = . 而而 = t = t dtdt= (60= (602 2-30-302 2)=45()=45(小时小时); = ); = . .tt
