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1、管管 理理 统统 计计 学学第一章第一章 概率论基础知识概率论基础知识 1.随机实验、样本空间、概率与条件概率随机实验、样本空间、概率与条件概率一、一些基本概念一、一些基本概念1、随机实验（、随机实验（Random Experiment）2、基本事件（基本事件（Elementary Event）3、样本空间（样本空间（Sample Space）4、随机事件（随机事件（Random Event）5、相容事件（相容事件（Mutually Inclusive Events）与与不相容事件不相容事件（ Mutually Exclusive Events ）6、概率（概率（Probability）7、概
2、率运算的主要性质（、概率运算的主要性质（Properties of Probability）（1）设设A是是A的对立事件，则的对立事件，则 P（A）=1-P（A）。）。（2）对任意两个事件对任意两个事件A 和和 B ，有有 P（A B）= P（A）+ P（B）- P（AB）（3）若事件若事件A B，则则 P（A） P（B）。）。8、等概率随机实验（等概率随机实验（Equally Likely Outcomes）满足：满足：1、实验的基本事件个数有限；、实验的基本事件个数有限； 2、基本事件出现的概率相等。、基本事件出现的概率相等。如：投均匀硬币；投骰子等等如：投均匀硬币；投骰子等等二、条件概率
3、与概率乘法定理二、条件概率与概率乘法定理1、条件概率（条件概率（ Conditional Probability ）对样本空间对样本空间S中的两个事件中的两个事件A和和B，若若P（A） 0，则条则条件概率件概率2、概率乘法公式（定理）（、概率乘法公式（定理）（Multiplication Theorem）对样本空间中任意两个事件对样本空间中任意两个事件A、B，有有 P（AB）=P（B A） P（A）= P（A B） P（B）3、全概率公式（全概率公式（The Law of Total Probability）若若A1，A2， An是对样本空间是对样本空间S的一个划分，则对的一个划分，则对S中中
4、的任意事件的任意事件B，有全概率公式有全概率公式三、贝叶斯公式（三、贝叶斯公式（BayesRule）1、贝叶斯公式贝叶斯公式其中：其中：A1，A2， An是对样本空间是对样本空间S的一个划分，的一个划分， Ak是是其中任意一个事件。其中任意一个事件。四、相互独立的随机事件的概率公式四、相互独立的随机事件的概率公式1、相互独立定义、相互独立定义对任意两个事件对任意两个事件A、B，且且P（B）0, 若若P(A|B)=P(A),则称事件则称事件A与与B是相互独立的是相互独立的.注意注意: 独立与不相容的区别独立与不相容的区别.若两个事件若两个事件A, B相互独立相互独立, 则有则有P(A|B)=P(
5、A), P（B）0;P(B|A)=P(B), P（A）0;P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B) 2、随机变量与概率分布的基本概念、随机变量与概率分布的基本概念一、离散型随机变量一、离散型随机变量1、随机变量（、随机变量（Random Variable）2、离散型随机变量（离散型随机变量（Discrete Random Variable）3、离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率4、离散型随机变量的概率分布（离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）5、离散型随机变量的累积概率（离散型随机变量的累积概率（Cumulative Probabilit
6、y） P（X x）的概率称为随机变量的概率称为随机变量X的累积概率。的累积概率。6、离散型随机变量的累积概率分布、离散型随机变量的累积概率分布（Cumulative Probability Distribution ）二、连续型随机变量二、连续型随机变量1、连续型随机变量（、连续型随机变量（ Continuous Random Variable ） 该随机变量的取值域为该随机变量的取值域为一个连续区间一个连续区间。2、连续型随机变量的概率、连续型随机变量的概率连续型随机变量只在区间上取值，其概率值才可能为正值：连续型随机变量只在区间上取值，其概率值才可能为正值： 0 0，有若对某个固定的i，P
7、（X= i）0，有连续型：12、相互独立的随机变量、相互独立的随机变量离散型离散型： 若对所有的若对所有的i，j，有有 P（X=i / Y= j）=P（X=i） 或或 P（X=i，Y= j）=P（X=i）P（Y=j） 则称则称随机变量随机变量X与与Y是相互独立的是相互独立的连续型：连续型：定义定义1，若连续型随机变量，若连续型随机变量X与与Y的条件密度分布满足：的条件密度分布满足：定义2，若连续型随机变量若连续型随机变量X与与Y的条件密度分布满足：的条件密度分布满足：则称则称X与与Y是相互独立的随机变量。是相互独立的随机变量。离散型和连续型离散型和连续型的随机变量相互独立的条件和定义，可用的随
8、机变量相互独立的条件和定义，可用累积概率累积概率统一表达为统一表达为： 3. 典型概率分布典型概率分布1、两点分布（、两点分布（0-1分布）分布）如如 投一枚硬币，出现正面概率是投一枚硬币，出现正面概率是p，出现反面概率是出现反面概率是1-p，可以表示为可以表示为 P（X=1）=p， P（X=0）=1-p若若X 服从两点分布，则记服从两点分布，则记 X B（1，p）。）。2、二项分布（二项分布（Binomial Distribution）如抛如抛 n 次硬币（又称贝努利实验）次硬币（又称贝努利实验）, 正面出现正面出现k次（次（0 k n）的概率为的概率为二项二项分布记为：分布记为：X B（n
9、，p）。）。3、伯松分布（、伯松分布（Poisson Distribution）设设随机变量随机变量 X 的取值为的取值为1，2，若，若X = k 的概率为的概率为， k=1，2，则则 X 服从伯松分布。随机变量服从伯松分布。随机变量X的均值的均值 ，即，即E（X）= ，方差也是方差也是 ，即，即 D（X）= 。注：注：当当 n 很大（如很大（如n 10），），且且 p 很小（如很小（如p 0.1）时时, 有有 其中其中, = n p4、均匀分布（、均匀分布（Uniform Distribution）概率分布函数可以写成：概率分布函数可以写成：概率密度函数可以写为：概率密度函数可以写为：f（x）abx5、正态分布（、正态分布（Normal Distribution）概率密度函数为：概率密度函数为：其中，其中，x的取值为（的取值为（- ，+ ），）， 为均值，为均值， 2为方差。为方差。累积概率分布函数为：累积概率分布函数为：当当 =0， 2=1时，正态分布时，正态分布N（0，1）称为标准正态分布。称为标准正态分布。对于对于N（ ， 2 ），），做做变换变换z = x- / ，则则 z 服从服从N（0，1）。
