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1、1.10 1.10 多元函数微分学（第多元函数微分学（第1010讲）讲）1多元函数概念2偏导数3全微分4二元函数的极值1 1多元函数概念多元函数概念二元及二元以上的函数统称为多元函数。二元及二元以上的函数统称为多元函数。例如例如，设均为全体实数的集合 定义域值域二元函数 的定义域在几何上表示一个平面区域，围成平面区域的曲线称为该区域的边界；包括边界在内的平面区域称为闭区域，不包括边界在内的平面区域称为开区域，如果区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，否则称为有界区域。 例如，函数的定义域 是平面上， 由圆 （包括圆周在内）围成的有界区域，见图1-13。 图1-13函数的定义域 是平面上， 由圆
2、（不包括圆周在内）围成的有界区域。 2偏导数偏导数定定义2 设函数在点的某个邻域内有从取得改变量，而保持不变定义，当时，得到一个改变量 存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数。记作 或存在，则称此极限为函数在点处对y的偏导数。记作同理，如果极限 或记作 ， ，解：解：函数的二阶偏导数。记作 ，或仿此可以定义更高阶的偏导数。（略）解：解：， ，3全微分全微分解：解：由 ， 所以例例1-65 要造一个无盖的圆柱形水槽，其内半径为2米，高为4米，厚度均为0.01米，求需用材料多少立方米。4二元函数的极值二元函数的极值定义定义4 4 如果二元函数在点 的某一邻域的所有点，总有如果总有 函数的极大值与极小值统称为极值极值；使函数取得极值的点称为极值点极值点。定理定理2（极值存在的充分条件）（极值存在的充分条件） 如果函数在点 的某一邻域内有连续的二阶偏导数， 且 是它驻点，设 ，则解：解：由 ， 所以函数在点(3,2)不取得极值。所以函数在点(3,-2)取得极大值，极大值为f(3,-2)=30。 例例1-671-67 某企业要建造一个容量一定的长方形铁箱，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最少？， 即当铁箱的长、宽、高相等时，所用材料最少。课堂小结课堂小结1多元函数概念2偏导数3全微分4二元函数的极值作业：作业：P37练习练习1.10 1（2）（）（4） 3 4（2） 6（2）
