D36微分中值定理实用教案

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1、3.6.1 3.6.1 问问 题题 的的 提提 出出设函数(hnsh) 其图形是一条绵绵不断(min min b dun)的曲线，则过点上连续(linx)，的直线的斜率为：若曲线是由参数方程：给出，？的直线的斜率为：？在闭区间则过点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共47页第一页，共48页。3.6.2. 3.6.2. 极值极值(j zh)(j zh)点、点、Fermat Fermat 引理引理) 若定义定义(dngy)：设函数(hnsh)则称称为函数函数 的极大值与极小值统称为函数的极值。处取得（局部）极大值 ，为函数在点 ) 若则称称为函数处取得（局部）极小值 ，为函数在点的一个（

2、局部）极大值点；的一个（局部）极小值点；机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共47页第二页，共48页。费费 马马 ( Fermat( Fermat（1601166516011665）) ) 引理引理则证证: :则费马 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 证毕若函数(hnsh) 处取可导且取得(qd)极值 ，在点不妨设是函数的一个局部的极大值点 (如下图) ，于是，使得：第3页/共47页第三页，共48页。3.6.3 3.6.3 罗尔罗尔 ( Rolle ( 16521719 ) ( Rolle ( 16521719 ) ) ) 定理定理(dngl)(dngl)满足(mnz) ：）在闭区

3、间(q jin)）在开区间）端点处函数值相等：证证: : 在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m，若 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数则至少存在一点使得：在闭区间上连续，都有定理：定理：上连续 ； 内可导 ；则第4页/共47页第四页，共48页。若若故不妨(bfng)设 则存在(cnzi)一点使注意注意(zh y) :(zh y) :1) Rolle 定理中条件的完整性 ：例如：由 Fermat 引理得： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 M 、m 中至少一个不在区间的端点上取得 ，“闭连续、开可导、两端函数值同大小；水平切线至少有一条。”证毕第5页/共47页第五页，

4、共48页。使得(sh de)：2)Rolle定理定理(dngl)中条中条件的充分性。件的充分性。在开区间 ( a , b ) 内可导，则在( a , b ) 内至少存在(cnzi)一点证明提示证明提示 : 设只须验明 F(x) 在闭区间 a , b 上满足罗尔定理 即可。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推推 论：论：设函数均收敛，且第6页/共47页第六页，共48页。例例 1.1. 有且仅有一个(y )小于1 的正实根。因此(ync)在证证 : :显然(xinrn)在 0 , 1 连续 ,又由零点定理知存在使得：即方程有小于 1 的正根2 ) 再证 唯一性 ：用反证法：为端点的区间满足罗尔

5、定理条件 ,这与矛盾,故假设不真!设机动 目录 上页 下页 返回 结束 之间必存在一点假设另有显然在以证明方程1 ) 先证 存在性 ：使使第7页/共47页第七页，共48页。例例 如如 ：设函数(hnsh)求证至少存在(cnzi)一点且使得(sh de)：又又 如如 : :设在闭区间上连续，在开区间内可导，且试证至少存在一点再再 如：如：设函数在闭区间上连续， 在开区间内可导，且试证至少存在一点使得：使得：在闭区间上连续， 在开区间内可导，机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数第8页/共47页第八页，共48页。3.6.4 3.6.4 拉格朗日拉格朗日( Lagrange (17361813)

6、( Lagrange (17361813) 中值中值定理定理(dngl)(dngl)在闭区间(q jin)满足(mnz)：在开区间则至少存在一点使得：作辅助函数：显然 ,在 闭区间 a , b 上连续 ,在开区间 ( a , b ) 内可导,且证证: :问题转化为证明由 Rolle 定理得，即定理结论成立 。拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 证毕若函数定理：定理：使得：上连续；内可导；）第9页/共47页第九页，共48页。推推 论：论：设函数(hnsh)均在区间(q jin) I 里可微，) 若）在区间(q jin) I 里任取两点且函数取法的任意性得：则) 若则显然上满足 Lagrange

7、中值公式的条件，因此，由) 令用）的结果得证。机动 目录 上页 下页 返回 结束 证：证：在闭区间C 为常数，第10页/共47页第十页，共48页。例例 2. 2. 证明证明(zhngmng)(zhngmng)等式等式令由推论(tuln)可知( C为常数(chngsh) )令又一般地：欲证只需证机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证：则有上成立。故所证等式在定义域得：且使得：即可。证：证：第11页/共47页第十一页，共48页。例例 3. 3. 证明证明(zhngmng)(zhngmng)不等式不等式证证: :即从而(cng r)因此(ync)，机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然上满足

8、 Lagrange中值定理的一切条件，在闭区间成立又函数令使得：第12页/共47页第十二页，共48页。利用利用Lagrange中值中值(zhnzh)公式公式证明证明不等式时的思路是：不等式时的思路是：例例 4. . “追之迹，试证不等式：找机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 令显然(xinrn)函数上满足 Lagrange 中值定理的一切条件，在因此有：显然之形，定之位”证：证：第13页/共47页第十三页，共48页。拉格朗日中值定理的有限增量拉格朗日中值定理的有限增量(znlin)形式：形式：（位于(wiy) x 与 x + x 之间 ）令则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)

9、 结束 第14页/共47页第十四页，共48页。3.6.5 3.6.5 柯西柯西 ( Cauchy (1789 1857 ( Cauchy (1789 1857 ) ) 中值定理中值定理(dngl)(dngl)分析分析(fnx(fnx):):及在闭区间(q jin)在开区间且则至少存在一点使得：满足 ：要证柯西 目录 上页 下页 返回 结束 定理：定理：若函数）上连续；内可导，第15页/共47页第十五页，共48页。证证: :且使即由 Rolle 定理知, 至少(zhsho)存在一点思思 考考: : 两式的 并非完全相同错! !机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 上面(shng min)两

10、式相比即得结论。显然在闭区间上连续，内可导，在开区间证毕由 Lagrange 中值定理知：柯西定理的下述证法对吗 ?令第16页/共47页第十六页，共48页。例例 5. . 至少存在(cnzi)一点使得(sh de)：要证等式(dngsh)可变形为：令由Cauchy中值公式得：显然，试证：机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点使得：在闭区间上连续，在开区间内可导，在闭区间上连续，在开区间内可导，设函数证：证：第17页/共47页第十七页，共48页。例例 6. . 至少存在(cnzi)一点使得(sh de)：方法(fngf)）所证等式可变形为：令则在 0, 1 上满足 Cauchy 中值定

11、理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使得：试证：机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面只须验证Rolle中值定理方法） 所证等式可变形为：令的条件即可。在闭区间上连续，在开区间内可导，设函数证：证：第18页/共47页第十八页，共48页。例例 7. . 使得(sh de)：证证: : 方法(fngf) 1.则令因此(ync) 即分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 上满足柯西中值定理条件, 在闭区间试证至少存在一点用柯西中值定理 证明第19页/共47页第十九页，共48页。例例 7. 7. 试证试证 至少至少(zhsho)(zhsho)存在一点存在一点使得(sh de)方

12、法(fngf) 2. 则函数使得：因此，存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间上满足罗尔中值定理条件,令 用 Rolle 中值公式第20页/共47页第二十页，共48页。例例8. . 使得(sh de)：所证等式(dngsh)可变形为：令上满足Lagrange中值(zhn zh)公式的一切条件，显然试证：机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此，使得：在闭区间上连续，在开区间内可导且在闭区间设函数即存在点证：证：第21页/共47页第二十一页，共48页。例例 9. . 使得(sh de)：所证等式(dngsh)可变形为：试证：机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 在区间使得：在

13、闭区间上连续，在开区间内可导,设函数故存在点Cauchy中值公式的条件，因此，等式左边等于令显然，上满足 Lagrange与而等式右边：证：证：第22页/共47页第二十二页，共48页。例例 10. . 满足(mnz)：所证等式(dngsh)可变形为：试证：机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 在区间使得：在闭区间上连续，在开区间内可导且设函数Cauchy中值公式的条件， 因此，等式右边等于令显然，上满足 Lagrange与而等式左边：证：证：第23页/共47页第二十三页，共48页。例例 11. . 又取得(qd)最大值，证证: : 由Fermat引理知，原不等式可变为：显然(xinrn)

14、，上分别满足Lagrange中值(zhn zh)定理的条件, 因此分别存在在试证：机动 目录 上页 下页 返回 结束 满足：两式相加得所证的结果：在闭区间上二阶可导，且设使得第24页/共47页第二十四页，共48页。内容内容(nirng)小结小结1. 微分中值定理的条件(tiojin)、结论及关系罗尔定理(dngl)拉格朗日中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键: 利用逆向思维寻求辅助函数费马引理机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共47页第二十五页，共48页。感谢您的欣赏(xnshng)！第47页/共47页第四十七页，共48页。内容(nirng)总结3.6.1 问 题 的 提 出。“闭连续、开可导、两端(lin dun)函数值同大小。即方程有小于 1 的正根。均在区间 I 里可微，。）在区间 I 里任取两点。上满足 Lagrange 中值公式的条件，。上满足 Lagrange 中值定理的一切条件，。由 Lagrange 中值定理知：。他在方程论, 解析函数论,。柯西(1789 1857)。西全集共有 27 卷.。其中最重要的的是为巴黎综合学。无穷小分析概论, 微积第四十八页，共48页。