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1、第四章第四章 数值计算数值计算CH4.1 常见的一些特殊矩阵常见的一些特殊矩阵 一、具有特殊性质的矩阵一、具有特殊性质的矩阵 二、初等变换阵二、初等变换阵 对换阵对换阵 倍乘阵倍乘阵 倍加阵倍加阵CH4.2 矩阵的一些运算 加、减、乘 trace(A) rank(A) kron(A,B) norm(A,flag) cond(A) null(A) orth(A) det(A) inv(A)3 矩阵分解矩阵分解LU分解：分解： X=L*U L,U = lu(X) L,U,P = lu(X) L*U=P*XQR分解：分解： Q,R = qr(A) Q为酉阵，为酉阵，R为上三角阵为上三角阵奇异值分解：
2、奇异值分解：s=svd(A) U S V=svd(A)特征值问题V,D = eig(A), v为特征向量 d = eig(A), d为向量广义特征值 Ax=kBxd = eig(A,B) V,D = eig(A，B) Jordan标准型： V,J = jordan(A) 伪逆：B=pinv(A)满秩分解可利用rref指令完成司楚尔(Schur)分解： U R = schur(A)乔列斯基(Cholesky)分解：R = chol(X) R*R=X R,p = chol(X) 利用p来判断R是否为正定，p=0则X正定线性方程组的解 一、行列式、逆、恰定方程 det(A) inv(A) x=inv
3、(A)*b x=Ab 求解Ax=b，例4.1-1二、最小二乘问题 对超定问题Ax=b有三种方法，4.1-2 x=inv(trans(A)A) trans(A)b x=pinv(A)*b x=Ab实验数据曲线的拟合是最小二乘问题的最典型应用。例：tst关于Matlab中的反斜杠“”运算四、矩阵函数 exp(A)expm(A)log(A)logm(A)sqrt(A)sqrtm(A) f(A) funm(A,fn)CH4.3 多项式与卷积一、多项式的表示方法多项式在matlab中表示为P=a1 1 a2 2 an+1n+1。即系数按降幂排列，置于行向量中。注意缺项时要补0二、相关运算 p=conv(
4、p1,p2)：多项式p1多项式p2 q,r=deconv(p1,p2)：多项式p1/多项式p2 q为商，r为余项 p=poly(AR)：求方阵AR的特征多项式 p=poly(v)：求以向量v中元素为根的多项式 p=polyfit(x,y,n)：按x，y给出的数据拟合出n阶 多项式pa=polyval(p,S)：按数组运算规则计算，S可为 任意矩阵和向量。函数矩阵pm=polyvalm(p,S)：按矩阵运算规则计算，S须 为方阵。矩阵函数 4.3_4r,p,k=residue(b,a)：部分分式展开R=roots(p)：求多项式p的根poly2str：将多项式以习惯的书写格式表示三、拟合与插值拟
5、合：逼近函数穿过数据点附近，但通常不精确穿过数据点。拟合数据与原始数据点不一致，表明原始数据点中含有不确定因素。插值：插值过程本身假定数据点没有不确定因素插值函数精确穿过数据点 拟合： p=polyfit(x,y,n) 4.3_6 插值：yi=interp1(x0,y0,xi,spline) 4.3_7 cubic linear nearest 四、卷积 c=conv(u,v)CH4.4 数据分析一、统计分析 A=rand(n,m)：产生mGn的0,1区间的均匀分布随机数组 A=randn(n,m)：产生mGn的服从均值为0，标准差为1的正态分布随机数 a=min(X); a=max(X) a
6、=mean(X)：求各列均值 a=std(X)：求各列标准差 a=var(X)：求各列方差 C=cov(X)：求矩阵X各列间的协方差矩阵 P=corrcoef(X)：求矩阵X各列间的相关系数 M=median(X)：求各列中位数 B=geomean(X)：求各列的几何均值二、差分和累计 del2(U,hx,hy)：五点laplace算子运算 diff(X,n)：沿第n维求差分 prod(x,n)：沿第n维求乘积 sum(x,n)：沿第n维求和 trapz(x,Y,n)：沿第n维求函数Y关于自变量x的 积分，采用梯形积分法 cumprod(X,n)：沿第n维求连乘积 cumsum(X,n)：沿第
7、n维求累计和 cumtrapz(x,Y,n)：沿第n维求函数Y关于自变量x 的累计积分。梯形法 XS,KK=sort(X,n)：沿第n维对X的元素按模递 增排序。KK指示XS元素 的原始位置CH4.5 泛函指令一、优化与非线性方程组求解 x,fval,exitflag = fzero(fun,x0)，二分法求一元 函数fun的零点。 4.5_1， 字串函数 x,fval,exitflag = fminbnd(fun,x1,x2)：在区间 x1,x2上求fun的极小值。二次拟合法 x,fval,exitflag = fminsearch(fun,x0)：求多元函 数fun的极值点。单纯形法，4.
8、5_2，内联函 数 x,fval,exitflag = fminunc(fun,x0)： 求多元函 数fun的极值点。拟牛顿法x,resnorm,residual,exitflag= lsqnonlin(fun,x0)： 基于Gauss-Newton方法求解x,resnorm,residual,exitflag = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) 非线性最小二乘曲线拟合x,fval,exitflag = fsolve(fun,x0)：解非线性方程 组。基于最小二乘法，以lsqnonlin为基础二、数值积分 q=quad(fun,a,b,tol)：simpson积
9、分法 q=quadl(fun,a,b,tol)：lobatto积分法 4.5_3，功能函数，点运算，句柄三、常微分方程数值解t,y=ode45(fun,tspan,y0) 注意降阶和标准化问题 4.5_4方法 方程特点 使用场合ode45 非刚性 大部分场合首选ode23 非刚性 精度较低ode113 非刚性 精度较高ode23t 适度刚性 精度低ode15s 刚性 ode45失效时可考虑，中精度ode23s 刚性 精度低，速度优于ode15sode23tb 刚性 精度低，速度优于ode15sCH4.6 信号处理 xf=fft(xt,N,dim)：离散傅立叶变换 xt=ifft(xt,N,di
10、m)：离散傅立叶逆变换 Pxx,w=pwelch(x,window,noverlap,nfft,Fs)随机信号的功率谱密度 B,A=butter(n,w0)：滤波器设计 y=filter(B,A,x)：对信号x进行滤波4.6_3CH4.7 系统分析 S_ss=ss(A,B,C,D)：利用状态方程创建LTIS_zpk=zpk(Z,P,K) ：利用零极点增益创建LTIS_tf=tf(num,den) ：利用传递函数创建LTIA,B,C,D=ssdata(S_lti)Z,P,K=zpkdata(S_lti)num,den=tfdata(S_lti) y,t=step(S_lti)： S_lti的阶跃相应y,t=impulse(S_lti)： S_lti的脉冲相应y,t=step(S_lti)： S_lti的阶跃相应y,t,x=lsim(S_lti,u,tu,x0)： S_lti在任意输入u下 的相应bode(S_lti)： S_lti的bode图 总结一、线性代数与矩阵分析二、多项式三、数据分析和通用计算四、范函指令五、工具箱简介作业：第四章 29，1119
