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1、第七章第七章 无穷级数无穷级数一、泰勒级数一、泰勒级数第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数四、小结四、小结 练习题练习题三、幂级数展开式在近似计算上的应用三、幂级数展开式在近似计算上的应用引言引言上节例题上节例题这就是用这就是用多项式近似表达函数多项式近似表达函数 是否存在幂级数在其收敛域内以是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数？为和函数？问题问题:2.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?一、泰勒级数一、泰勒级数根据幂级数的和函数的性质，当
2、（根据幂级数的和函数的性质，当（1 1）式成立时，）式成立时， 结论结论可见可见在在x=0点任意可导点任意可导,该级数在该级数在 内和函数内和函数 。初等函数展开定理初等函数展开定理定理表明，对于初等函数来说，它的泰勒级数就是定理表明，对于初等函数来说，它的泰勒级数就是它的幂级数展开式。它的幂级数展开式。 并写出展开式（3）；（4 4）式右端的级数称为）式右端的级数称为麦克劳林级数麦克劳林级数。 例例1解解再求级数的收敛半径。再求级数的收敛半径。例例2解解例例3解解两边积分两边积分得得即即二项展开式二项展开式注意注意: :双阶乘双阶乘二、间接展开法二、间接展开法1.1.直接法直接法( (泰勒级
3、数法泰勒级数法) )2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如例例4解解例例5解解 方法一 利用展开式， 方法二 利用展开式， 例例6解解利用展开式， 三、幂级数展开式在近似计算上的应用三、幂级数展开式在近似计算上的应用因此求得的近似值应使这两种误差之和满足精确度的因此求得的近似值应使这两种误差之和满足精确度的要求。要求。例例7解解利用二项展开式，有由于这是一个交错级数，故截断误差计算取5位小数，再四舍五入， 例例8解
4、解这是一个交错级数，若取前两项，得截断误差计算取5位小数，再四舍五入，得 例例9 计算计算e的近似值，精确到小数点后四位。的近似值，精确到小数点后四位。解解 在在e e的展开式中令的展开式中令 ，就得到。，就得到。若取前n项的和作为e的近似值，其误差为只要取n=7，则 ，于是。例例10 计算定积分计算定积分 的近似的近似值，精确到小数点后第四位。值，精确到小数点后第四位。解解 因为被积函数因为被积函数 不能用初等函数表示，所不能用初等函数表示，所以我们采用它的幂级数展开式来求定积分的近似值。以我们采用它的幂级数展开式来求定积分的近似值。括号内的式子是满足莱布尼兹准则收敛条件的交括号内的式子是满
5、足莱布尼兹准则收敛条件的交错级数，由于错级数，由于所以取前所以取前4 4项作为近似值即可，项作为近似值即可，例例11 计算定积分计算定积分 的近似值，精确到小数的近似值，精确到小数点后第四位。点后第四位。解解 因为因为 ，如果补充被积函数在，如果补充被积函数在 处的函数值为处的函数值为1 1，则被积函数就是，则被积函数就是 上的连续函上的连续函数。但由于数。但由于 的原函数是无法用初等函数来表的原函数是无法用初等函数来表示的，所以采用它的幂级数展开式来求积分。示的，所以采用它的幂级数展开式来求积分。将被积函数展开为将被积函数展开为对幂级数展开式逐项积分对幂级数展开式逐项积分根据交错级数的误差估
6、计根据交错级数的误差估计 因此，只因此，只要取前三项作为积分的近似值便可，即要取前三项作为积分的近似值便可，即 四、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;6.幂级数展开式在近似计算上的应用幂级数展开式在近似计算上的应用.5.函数展开的间接展开法函数展开的间接展开法3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.4.函数展开成麦克劳林级数的方法函数展开成麦克劳林级数的方法.思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.练练 习习 题题1、将下列函数展开成、将下列函数展开成的幂级数的幂级数,并求展开式成立并求展开式成立的区间的区间:练练 习习 题题 答答 案案.
