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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第五章 微分方程第一节 一些物理规律的数学描述微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中的应用实例 7/25/2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 第二节 求解微分方程的积分法 一、一阶微分方程一、一阶微分方程 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程 2、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程二、二阶微分方程二、二阶微分方程 1、可降阶的微分方程、可降阶的微分方程 2、二阶常系数线性微分方程、二阶常系数线性微分方程
2、2数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 1.可分离变量微分方程 一、一阶微分方程可可分离变量方程分离变量方程 第五章3数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:两边积分,得则有4数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例1. 求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)5数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例2. 解初值问题解
3、解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为6数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例3. 求下述微分方程的通解:解解: 令则故有即解得( C 为任意常数)所求通解:7数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例4. 子的含量 M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解解: 根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原8数学与生物信
4、息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量, 然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t =0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.9数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;
5、根据定解条件定常数.解;阶;通解; 特解 y = x 及 y = C10数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 思考与练习思考与练习求下列方程的通解:提示提示: (1) 分离变量(2)方程变形为11数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2.齐次方程 第五章一、一阶微分方程12数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 齐次方程齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u, 便得原方程的通解.解法:分离变量
6、:13数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例1. 解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C为任意常数)14数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例2. 解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C为任意常数)15数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例3. 求解原方程的通解:16数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 得C =1, 故所求
7、特解为思考思考:若方程改为如何求解?提示提示:17数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3.一阶线性微分方程 (一一)、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程(二二)、伯努利方程、伯努利方程 第五章一、一阶微分方程18数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0, 称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;19数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioin
8、formatics Group 对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得20数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例1. 解方程 解解: 先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为21数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例2. 求方程的通解.解解: 注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,y为 自变量的一阶线性方程
9、22数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 伯努利伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:伯努利伯努利(Jacob Bernoulli,16541705)，瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多位数学家。1694年他首次给出了直角坐标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年提出了著名的伯努利方程, 1713年版了他的巨著猜度术, 这是组合数学与概率论史的一件大事，书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外，他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究。23数学与生物信息学教研室Mathe
10、matics & Bioinformatics Group 伯努利伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)24数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例4. 求方程的通解.解解: 令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:25数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 内容小结内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利
11、方程26数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程27数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 应用问题例例7.牛顿冷却定律牛顿冷却定律 一温度为5000C物体置于200C的环境中，2分钟后温度降为4000C，问5分钟后温度降至多少度？28数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 应用问题例例7.牛顿冷却定律牛顿冷却定律 一温度为5000C物体置于20
12、0C的环境中，2分钟后温度降为4000C，问5分钟后温度降至多少度？受害者的尸体于晚上7：30被发现.法医于晚上8：20赶到现场，测得尸体体温为32.60C；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体体温为31.40C，室温在几小时内始终保持在21.10C此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时离开了办公室.”从张某的办公室到凶案现场步行需要5分钟.现在的问题是：张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？(假设受害者死时体温为370C).如果张某的律师另外发现受害者在死亡的当天下午去医院看过病，病历记录：发烧38.30C.死者体内没
13、有发现服用过阿斯匹林或类似药物的迹象，假设受害者死时的体温为38.30C，试问这时张某能被排除在嫌疑犯之外了吗？(提示：利用冷却定律) 29数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 应用问题例例6. 一容器内盛有100升盐水，其中含盐10公斤，现以每分钟2升的均匀速度把净水注入容器并以同样的速度使盐水流出(图5-5).容器内有一搅拌器在不停地搅拌着，因此可以认为溶液的浓度在每一时刻都是均匀的.试求容器内盐量随时间的变化规律.显然在任一时间内，容器内盐的增加量=流进盐量流出盐量.如果溶液浓度不变，则流出盐量=浓度流出溶液量.但溶液的浓度在变化，如
14、何解决溶液浓度的“变”与“不变”的矛盾呢？30数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 应用问题31数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 应用问题马尔萨斯人口律马尔萨斯人口律 从宏观统计上看，一个国家或一个地区的人口增长，有自身的动力机制，因此也可按动力学的方法进行分析.下面列举两个最简单的理想数学模型.这是一个按指数增长的规律，按照此增长规律，立即可以推出，若取一个等差的时间数列，则相应的人口成一等比数列.因此从离散的角度来看，若在等间隔的时间内统计人口，马尔萨斯(T.R.Malthus,
15、17661834)人口律表达是人口按等比增长的规律.马尔萨斯人口律曾被生物学家用田鼠、试管中的草履虫等许多实验精确地验证，这些事实表明马尔萨斯人口律是在不受生存条件约束下生物生长的普遍规律.32数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 应用问题这是一个按指数增长的规律，按照此增长规律，立即可以推出，若取一个等差的时间数列，则相应的人口成一等比数列.因此从离散的角度来看，若在等间隔的时间内统计人口，马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)人口律表达是人口按等比增长的规律.马尔萨斯人口律曾被生物学家用田鼠、试管中的草履虫等许多实验精确地
16、验证，这些事实表明马尔萨斯人口律是在不受生存条件约束下生物生长的普遍规律.生死人生数生死人生数 英国诗人捷尼逊写过一首诗，其中几行是这样写的：“每分钟都有一个人在死亡，每分钟都有一个人在诞生” 有个数学家读后去信质疑，信上说：“尊敬的阁下，读罢大作，令人一快，但有几行不合逻辑，实难苟同。根据您的算法，每分钟生死人数相抵，地球上的人数是永恒不变的。但您也知道，事实上地球上的人口是不断地在增长。确切地说，每分钟相对地有1.6749人在诞生，这与您在诗中提供的数字出入甚多。为了符合实际，如果您不反对，我建议您使用7/6这个分数，即将诗句改为：“每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又六分之一人在诞生.”
17、 33数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 他他们们在在做做什什么么34数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 年人口数103年人口数103年人口数10317903929186031433193012277518005308187038588194013169918107240188050156195015096718209638189062948196017330018301286619007599519702040001840170691910919721980185023192192
18、0105711 人口增长模型人口增长模型美国1790年至1980年间人口统计数据，根据该表试建立数学模型描述人口数量的变化规律35数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 上式给出的结果，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合。一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报，结果也令人满意。但是当人们用但是当人们用19世纪以后许多国家的人口统计世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异。见下页表（其中的差异。见下页表（其中t0和和x0是是1790年的
19、数年的数据，增长率取为据，增长率取为0.0314）。）。36数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 37数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 利用公式利用公式 可以得到可以得到19世纪世纪100年和年和20世纪前世纪前80年的年平均增年的年平均增长率分别为长率分别为0.0266和和0.0137，按照表中第按照表中第2列给出的实际人口数算出每列给出的实际人口数算出每10年的增长年的增长率，然后求其平均值率，然后求其平均值见下表见下表38数学与生物信息学教研室Mathematics & Bio
20、informatics Group r=0.0266r=0.013739数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 这个事实对人口增长率是常数的这个事实对人口增长率是常数的基本假设提出了异议。基本假设提出了异议。40数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 增增加加难难度度41数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 人们还发现，在地广人稀的加拿大领土上，人们还发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，法国移民后代的人
21、口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型。产生上述现象的主要原因是低于这个模型。产生上述现象的主要原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。42数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 如果当人口较少时如果当人口较少时(相对于资源而言相对于资源而言)人口增长率人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增
22、长率就会随着人口的继续增加而逐渐减量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少。少。许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点。许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点。根据原始数据可以计算一下美国人口每根据原始数据可以计算一下美国人口每10年的增年的增长率，可以知道大致是逐渐下降的。当然，长率，可以知道大致是逐渐下降的。当然，由于从欧洲大批移民或战争的影响，人口增长率由于从欧洲大批移民或战争的影响，人口增长率会有些波动。会有些波动。43数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 上述两方面的原因导致，为了上述两方面的原因导致，为了使人口预报特别是
23、长期预报更使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改好地符合实际情况，必须修改指数增长模型中关于人口增长指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设了。率是常数这个基本假设了。 44数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 应用问题1958年5月，党在八大二次会议上概括提出了：“鼓足干劲，力争上游，多快好省地建设社会主义”的总路线。 会议期间，毛泽东使用了“我国7年赶上、再加8年或者10年赶上美国”的提法。会议之后，人们的热度继续升高。6月中旬，冶金工业部提出了1962年产钢6000万吨的新指标，这比八大二次会议提出的3000万吨又
24、翻了一翻。毛泽东批示说，只要1962年达到6000万吨，超过美国就不难了。必须力争在钢的产量上在1959年达到2500万吨，首先超过英国。45数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 应用问题8月中下旬，中共中央政治局在北戴河举行扩大会议，正式决定：1958年钢产量由原计划的620万吨提到1070万吨，即比1957年的535万吨翻一番；粮食预计可达到60007000亿斤。1959年速度要比1958更快，钢产量要达到27003000万吨，生铁要达到4000万吨；粮食为800010000亿斤。会议把第二个五年计划的指标提高到了空想的程度。 不断加码的高指标带来高估产和浮夸风。严重虚报产量的浮夸风吹遍全国，各地竞相放“高产卫星”，产量越报越高，很快达到荒诞的地步。这就出现了这些令人瞠目结舌的数字。日期 地区 粮种 亩产量（斤）1958年1月3日 广东汕头 早稻 30006月11日 河北魏县 小麦 23946月16日 湖北谷城 小麦 43536月18日 河南商丘 小麦 44126月30日 河北安国 小麦 51037月12日 河南西平 小麦 73207月22日 福建闽侯 早稻 72758月1日 湖北孝感 早稻 150008月13日 湖北麻城 早稻 369009月18日 四川郫县 早稻 845259月18日 广西环江 早稻 13043446
