《高考数学 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系配套课件 文 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系配套课件 文 新人教A版（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1.1.平面的基本性质平面的基本性质公理公理1 1：如果一条直线上的：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直在一个平面内，那么这条直线在此平面内线在此平面内. .公理公理2 2：过：过_的三点，有且只有一个平面的三点，有且只有一个平面. .公理公理3 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直线过该点的公共直线. .两点两点不在一条直线上不在一条直线上有且只有一条有且只有一条2.2.空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系直线与直线直线与直线直
2、线与平面直线与平面平面与平面平面与平面平行平行关系关系图形语言图形语言符号语言符号语言_交点个数交点个数_个个_个个_个个ababaa0 00 00 0直线与直线直线与直线直线与平面直线与平面平面与平面平面与平面相交相交关系关系图形语言图形语言符号语言符号语言abab=A=Aaa=A=A= =l交点个数交点个数_个个_个个_个个1 11 1无数无数直线与直线直线与直线直线与平面直线与平面平面与平面平面与平面独有独有关系关系图形语言图形语言符号语言符号语言a,ba,b是异面直线是异面直线a a交点个数交点个数0 0个个无数个无数个3.3.公理公理4 4和等角定理和等角定理(1)(1)公理公理4
3、4：平行于：平行于_的两条直线互相平行用符的两条直线互相平行用符号表示：设号表示：设a,b,ca,b,c为三条直线，若为三条直线，若ab,bcab,bc，则，则acac(2)(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应_，那，那么这两个角么这两个角_同一条直线同一条直线平行平行相等或互补相等或互补4.4.异面直线所成的角异面直线所成的角(1)(1)定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线a,ba,b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作直线作直线aa,bbaa,bb，把，把aa与与bb所成的所成的_叫做异叫做异面直线所成的角面直线所成的角( (或
4、夹角或夹角) )(2)(2)范围：范围：_._.锐角锐角( (或直角或直角) )判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面,有一条公共直线有一条公共直线a a，就说平面，就说平面,相交，并记作相交，并记作=a.( )=a.( )(2)(2)两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于过相交于过A A点的点的任意一条直线任意一条直线.( ).( )(3)(3)两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于相交于A A点，并点，并记作记作=A.( )=A
5、.( )(4)(4)两个平面两个平面ABCABC与与DBCDBC相交于线段相交于线段BC.( )BC.( )(5)(5)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ).( )(6)(6)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( ).( )【解析【解析】根据平面的性质公理根据平面的性质公理3 3可知可知(1)(1)对；对于对；对于(2)(2)，其错误，其错误在于在于“任意任意”二字上；对于二字上；对于(3)(3)，错误在于，错误在于=A=A上；对于上；对于(4)(4)，应为平面，应为平面ABCABC和平面和平面
6、DBCDBC相交于直线相交于直线BCBC；两两相交的三条；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，直线可以确定一个或三个平面，(5)(5)正确；命题正确；命题(6)(6)中没有说中没有说清三个点是否共线，清三个点是否共线，(6)(6)不正确不正确. .答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (6) (5) (6)1.1.有以下命题：有以下命题：若平面若平面与平面与平面相交，则它们只有有限个公共点；相交，则它们只有有限个公共点；经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一
7、个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；两两相交且不共点的三条直线确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定一个平面. .其中，真命题的个数是其中，真命题的个数是( )( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【解析【解析】选选B.B.若平面若平面与平面与平面相交，则它们有无数个公共点，相交，则它们有无数个公共点，由公理由公理1 1，2 2，3 3可知可知均正确均正确. .2.2.若三条不同的直线若三条不同的直线a a，b b，c c满足满足ab,aab,a，c c异面，异面，则则b b与与c( )c( )(A)(A)一定是异面直线一定是异面直线 (B
8、)(B)一定是相交直线一定是相交直线(C)(C)不可能是平行直线不可能是平行直线 (D)(D)不可能是相交直线不可能是相交直线【解析【解析】选选C.abC.ab，a,ca,c异面，异面，bb与与c c相交或异面相交或异面. .3.3.下列命题：下列命题：两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；两条直线不异面，则这两条直线相交；两条直线不异面，则这两条直线相交；分别在两个平面内的直线是异面直线；分别在两个平面内的直线是异面直线；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行
9、和这个平面平行. .其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析【解析】选选A.A.两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面，故平行、相交或异面，故错误；两条直线不异面，则相交或错误；两条直线不异面，则相交或平行，故平行，故错误；不同在任何一个平面内的两条直线是异面错误；不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故直线，故错误；一条直线和一个平面内无数条直线没有公错误；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行、相交或直线在平
10、面内，共点，则这条直线和这个平面平行、相交或直线在平面内，故故错误错误. .4.4.下列命题中不正确的是下列命题中不正确的是_(_(填序号填序号).).没有公共点的两条直线是异面直线；没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线分别和两条异面直线都相交的两直线异面；都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面线都相交，则它们可以确定两个平面. .【解析【解析】没有公共点的两直线平行或异面，故没有公共点的两直线平行或
11、异面，故错；命题错；命题错，错，此时两直线有可能相交；命题此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线正确，因为若直线a a和和b b异面，异面，caca, ,则则c c与与b b不可能平行，用反证法证明如下：若不可能平行，用反证法证明如下：若cbcb，又，又caca，则，则abab，这与，这与a,ba,b异面矛盾，故异面矛盾，故c c与与b b不可能平行；命题不可能平行；命题也正确，若也正确，若c c与两异面直线与两异面直线a,ba,b都相交，由公理都相交，由公理3 3可知，可知，a,ca,c可可确定一个平面，确定一个平面，b,cb,c也可确定一个平面，这样也可确定一个平面，这样a,b,ca,
12、b,c共确定两个共确定两个平面平面. .答案：答案： 考向考向 1 1 平面的基本性质及其应用平面的基本性质及其应用【典例【典例1 1】(1)(1)给出以下命题：给出以下命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点若点A A，B B，C C，D D共面，点共面，点A A，B B，C C，E E共面，则点共面，则点A A，B B，C C，D D，E E共面；共面；若直线若直线a a，b b共面，直线共面，直线a a，c c共面，则直线共面，则直线b b，c c共面；共面；依次首尾相接的四条线段必共面依次首尾相接的四条线段必共面. .正确命题的个数是正确命题的
13、个数是( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)(2013(2)(2013惠州模拟惠州模拟) )如图，如图，平面平面ABEFABEF平面平面ABCDABCD，四边，四边形形ABEFABEF与与ABCDABCD都是直角梯形，都是直角梯形，BAD=FAB=90BAD=FAB=90，BCADBCAD且且BC= ADBC= AD，BEAFBEAF且且BE= AFBE= AF，G G，H H分别为分别为FAFA，FDFD的中点的中点. .证明：四边形证明：四边形BCHGBCHG是平行四边形；是平行四边形；CC，D D，F F，E E四点是否共面？为什么
14、？四点是否共面？为什么？【思路点拨【思路点拨】(1)(1)根据确定平面的公理及推论进行判断根据确定平面的公理及推论进行判断. .(2)(2)证明证明BCBC，GHGH平行且相等即可；平行且相等即可；证明证明EFCHEFCH，由此构成，由此构成平面，再证点平面，再证点D D在该平面上在该平面上【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.假设其中有三点共线，则该直线和直假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面线外的另一点确定一个平面. .这与四点不共面矛盾，故其中任这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以意三点不共线，所以正确正确.从条件看出两平面有三个公共从条件看出两平面
15、有三个公共点点A A，B B，C C，但是若，但是若A A，B B，C C共线，则结论不正确共线，则结论不正确.不正确不正确. .不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形上，如空间四边形. .(2)(2)由题设知，由题设知，FG=GAFG=GA，FH=HDFH=HD，所以所以GHADGHAD且且GH= AD,GH= AD,又又BCADBCAD且且BC= ADBC= AD，故故GHBCGHBC且且GH=BCGH=BC，所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形CC，D D，F F，E E四点共面理由
16、如下：四点共面理由如下：由由BEAFBEAF且且BE= AFBE= AF，G G是是FAFA的中点知，的中点知，BEGFBEGF且且BE=GFBE=GF，所以四边形所以四边形EFGBEFGB是平行四边形，是平行四边形，所以所以EFBG.EFBG.由由知知BGCHBGCH，所以，所以EFCHEFCH，故故ECEC，FHFH共面共面. .又点又点D D在直线在直线FHFH上，所以上，所以C C，D D，F F，E E四点共面四点共面. .【互动探究【互动探究】本例第本例第(2)(2)题的条件不变，如何证明题的条件不变，如何证明“FEFE，ABAB，DCDC交于一点交于一点”？【证明【证明】由例题可
17、知，四边形由例题可知，四边形EBGFEBGF和四边形和四边形BCHGBCHG都是都是平行四边形，故可得四边形平行四边形，故可得四边形ECHFECHF为平行四边形，为平行四边形，ECHFECHF，且，且EC= DFEC= DF，四边形四边形ECDFECDF为梯形为梯形FEFE，DCDC交于一点，设交于一点，设FEDC=MFEDC=MMFEMFE，FEFE 平面平面BAFEBAFE，MM平面平面BAFEBAFE同理同理MM平面平面BADCBADC又平面又平面BAFEBAFE平面平面BADC=BABADC=BA，MBAMBA，FE,AB,DCFE,AB,DC交于一点交于一点【拓展提升【拓展提升】1.
18、1.证明三点共线的方法证明三点共线的方法证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在交证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线明另一点也在这条直线上，从而得三点共线. .2.2.证明三线共点的思路证明三线共点的思路证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条
19、直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题. .通常通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线是两个平面的交线. .3.3.证明多点证明多点( (线线) )共面的方法共面的方法(1)(1)证明几点共面，一般证明点与点连线相交或平行，从而证证明几点共面，一般证明点与点连线相交或平行，从而证明其共面明其共面. .(2)(2)证明几线共面，一般先使其中两线确定一个平面，再证明证明几线共面，一般先使其中两线确定一个平面，再证明其他直线在该平面内即可其他直线在该平面内
20、即可. .【变式备选【变式备选】如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E是是ABAB的中点，的中点，F F是是A A1 1A A的中点，求证：的中点，求证：(1)E(1)E，C C，D D1 1，F F四点共面四点共面. .(2)CE(2)CE，D D1 1F F，DADA三线共点三线共点. .【证明【证明】(1)(1)如图，连接如图，连接A A1 1B B，CDCD1 1. .因为因为E E是是ABAB的中点，的中点，F F是是A A1 1A A的中点，则的中点，则EFAEFA1 1B.B.又在正方体又在正方体ABCD -A
21、ABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，A A1 1BDBD1 1C C，所以所以EFDEFD1 1C.C.故故E E，C C，D D1 1，F F四点共面四点共面. .(2)(2)由由(1)(1)知，知，EFDEFD1 1C C且且EF= DEF= D1 1C C，故四边形故四边形ECDECD1 1F F是梯形，两腰是梯形，两腰CECE，D D1 1F F相交，设其交点为相交，设其交点为P P，则则PCE.PCE.又又CECE 平面平面ABCDABCD，所以所以PP平面平面ABCD.ABCD.同理，同理，PP平面平面ADDADD1 1A A1 1. .又平面又平面AB
22、CDABCD平面平面ADDADD1 1A A1 1=AD=AD，所以所以PADPAD，所以，所以CECE，D D1 1F F，DADA三线共点三线共点. .考向考向 2 2 空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系【典例【典例2 2】（1 1）下列命题中正确的是）下列命题中正确的是( )( )两条异面直线在同一平面内的射影必相交；两条异面直线在同一平面内的射影必相交；与一条直线成等角的两条直线必平行；与一条直线成等角的两条直线必平行；与一条直线都垂直的两直线必平行；与一条直线都垂直的两直线必平行；同时平行于一个平面的两直线必平行同时平行于一个平面的两直线必平行. .（A A） （B B）
23、（C C） （D D）以上都不对）以上都不对(2)(2)如图所示，正方体如图所示，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中点的中点. .问：问：AMAM和和CNCN是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由. .DD1 1B B和和CCCC1 1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)通过常见的正方体中的各棱、面的关系，判通过常见的正方体中的各棱、面的关系，判断出各个命题的真假断出各个命题的真假. .(2)(2)由于由于M
24、NACMNAC，因此，因此M M，N N，A A，C C四点共面，故四点共面，故AMAM与与CNCN不异不异面面. .由图易判断由图易判断D D1 1B B和和CCCC1 1是异面直线，可用反证法证明是异面直线，可用反证法证明. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中AAAA1 1与与B B1 1C C1 1是是异面直线，异面直线，AAAA1 1在面在面ABCDABCD中的射中的射影是点影是点A A，B B1 1C C1 1在面在面ABCDABCD内的射内的射影是直线影是直线BCBC，故，故错；错；
25、ABAB，ADAD与与AAAA1 1所成的角都是所成的角都是9090，但，但ABAB，ADAD相交于相交于A A，故，故错；直线错；直线A A1 1D D1 1，A A1 1B B1 1都平行于面都平行于面ABCDABCD，但它们相交，故但它们相交，故错，故选错，故选D.D.(2)(2)不是异面直线不是异面直线. .理由：连接理由：连接MNMN，A A1 1C C1 1，AC.AC.MM，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中点，的中点，MNAMNA1 1C C1 1. .又又A A1 1A CA C1 1C C，A A1 1ACCACC1 1为平行四边形，为
26、平行四边形，A A1 1C C1 1ACAC，MNACMNAC，AA，M M，N N，C C在同一平面内，在同一平面内，故故AMAM和和CNCN不是异面直线不是异面直线. .是异面直线是异面直线. .理由：理由：ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，是正方体，BB，C C，C C1 1，D D1 1不共面不共面. .假设假设D D1 1B B与与CCCC1 1不是异面直线，不是异面直线，则存在平面则存在平面，使，使D D1 1B B 平面平面，CCCC1 1 平面平面，D D1 1，B B，C C，C C1 1，这与这与B B，C C，C C1 1，D
27、 D1 1不共面矛盾不共面矛盾. .假设不成立，假设不成立，即即D D1 1B B和和CCCC1 1是异面直线是异面直线. .【拓展提升【拓展提升】判定直线位置关系的方法判定直线位置关系的方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用中位线的性质及线面平行的性质；对于垂直关系，往往可利用中位线的性质及线面平行的性质；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决利用线面垂直的性质来解决【提醒【提醒】在空间两直线的三种位置
28、关系中，验证异面直线及其在空间两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点所成角是考查的热点. .【变式训练【变式训练】设设A A，B B，C C，D D是空间四个不同的点，在下列命题是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是中，不正确的是_(_(填序号填序号).).若若ACAC与与BDBD共面，则共面，则ADAD与与BCBC共面；共面；若若ACAC与与BDBD是异面直线，则是异面直线，则ADAD与与BCBC是异面直线；是异面直线；若若AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，则，则AD=BCAD=BC；若若AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，则，则ADBC.ADBC
29、.【解析【解析】对于对于，由于点，由于点A A，B B，C C，D D共面，显然结论正确共面，显然结论正确. .对于对于，假设，假设ADAD与与BCBC共面，由共面，由正确得正确得ACAC与与BDBD共面，这与题设共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确矛盾，故假设不成立，从而结论正确. .对于对于，如图，当，如图，当AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，使二面，使二面角角A-BC-DA-BC-D的大小变化时，的大小变化时，ADAD与与BCBC不一定相不一定相等，故不正确等，故不正确. .对于对于，如图，取，如图，取BCBC的中点的中点E E，连接，连接AEAE，DEDE，则由题设
30、得，则由题设得BCAEBCAE，BCDE.BCDE.根据线面垂直的判定定理得根据线面垂直的判定定理得BCBC平面平面ADEADE，从而，从而ADBC.ADBC.答案：答案：考向考向 3 3 异面直线所成的角异面直线所成的角【典例【典例3 3】正方体正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，(1)(1)求求ACAC与与A A1 1D D所成角的大小所成角的大小. .(2)(2)若若E E，F F分别为分别为ABAB，ADAD的中点，求的中点，求A A1 1C C1 1与与EFEF所成角的大小所成角的大小. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)平移平移A
31、A1 1D D到到B B1 1C C，找出，找出ACAC与与A A1 1D D所成的角，再计所成的角，再计算算. .(2)(2)可将可将A A1 1C C1 1平移到平移到ACAC，将，将EFEF平移到平移到BDBD再求解再求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)如图所示，连接如图所示，连接ABAB1 1，B B1 1C C，由由ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，易知是正方体，易知A A1 1DBDB1 1C C，从而从而B B1 1C C与与ACAC所成的锐角或直角就是所成的锐角或直角就是ACAC与与A A1 1D D所成的角所成的角. .ABA
32、B1 1=AC=B=AC=B1 1C C，B B1 1CA=60CA=60，即即ACAC与与A A1 1D D所成的角为所成的角为6060. .(2)(2)如图所示，连接如图所示，连接ACAC，BDBD，在正方体，在正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ACBDACBD，ACAACA1 1C C1 1，EE，F F分别为分别为ABAB，ADAD的中点，的中点，EFBDEFBD，EFACEFAC，EFAEFA1 1C C1 1，即即A A1 1C C1 1与与EFEF所成的角为所成的角为9090. .【拓展提升【拓展提升】1.1.找异面直线所成的角的
33、方法找异面直线所成的角的方法一般有三种找法：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点一般有三种找法：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点( (线段的端点或中点线段的端点或中点) )作平行线平移；补形平移作平行线平移；补形平移2.2.求异面直线所成角的三个步骤求异面直线所成角的三个步骤(1)(1)作：通过作平行线，得到相交直线作：通过作平行线，得到相交直线. .(2)(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角. .(3)(3)算：通过解三角形，求出该角算：通过解三角形，求出该角【变式训练【变式训练】在三棱锥在三棱锥S-ACBS-ACB中
34、，中，SAB=SAC=ACB=90SAB=SAC=ACB=90，AC=2AC=2， 则则SCSC与与ABAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为_._.【解析【解析】如图，取如图，取BCBC的中点的中点E E，分别在平面，分别在平面ABCABC内作内作DEABDEAB，在平面在平面SBCSBC内作内作EFSC,EFSC,则异面直线则异面直线SCSC与与ABAB所成的角为所成的角为FEDFED( (或其补角或其补角) )，过，过F F作作FGABFGAB，连接连接DGDG，DFDF，则，则DFGDFG为直角为直角三角形三角形. .由题知由题知AC=2AC=2， 可得可得在在DEFDEF中，由余弦定理
35、可得中，由余弦定理可得答案：答案：【满分指导【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答求异面直线所成角主观题的规范解答【典例【典例】(12(12分分)(2012)(2012上海高考上海高考) )如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是矩形，是矩形，PAPA底面底面ABCDABCD，E E是是PCPC的中点的中点. .已知已知AB=2AB=2，AD= AD= ，PA=2.PA=2.求：求：(1)(1)三角形三角形PCDPCD的面积的面积. .(2)(2)异面直线异面直线BCBC与与AEAE所成的角的大小所成的角的大小. .【思路点拨【思路点拨】 【
36、规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为PAPA底面底面ABCDABCD，所以，所以PACDPACD，又又ADCDADCD，所以，所以CDCD平面平面PADPAD，从而，从而CDPD.CDPD.3 3分分因为因为所以三角形所以三角形PCDPCD的面积为的面积为6 6分分(2)(2)取取PBPB的中点的中点F F，连接，连接EFEF，AFAF，则则EFBCEFBC，从而从而AEF(AEF(或其补角或其补角) )是异面直线是异面直线BCBC与与AEAE所成的角所成的角. .8 8分分在在AEFAEF中，由中，由 知知AEFAEF是等腰直是等腰直角三角形，所以角三角形，所以因此，异面直线因此，异面直
37、线BCBC与与AEAE所成的角的大小是所成的角的大小是 1212分分【失分警示【失分警示】( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) )1.(20131.(2013梅州模拟梅州模拟) )正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，与对角线中，与对角线ACAC1 1异面异面的棱有的棱有( )( )(A)3(A)3条条 (B)4(B)4条条 (C)6(C)6条条 (D)8(D)8条条【解析【解析】选选C.C.如图所示与如图所示与ACAC1 1异面异面的棱有的棱有BCBC，CDCD，BBBB1 1，DDDD1 1，A A1 1B B1 1，A A1 1D D1
38、 1共共6 6条条. .2.(20132.(2013广州模拟广州模拟) )下列命题中，错误的是下列命题中，错误的是( )( )(A)(A)一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交面相交(B)(B)平行于同一平面的两个不同平面平行平行于同一平面的两个不同平面平行(C)(C)若直线若直线l不平行于平面不平行于平面,则在平面则在平面内不存在与内不存在与l平行的直平行的直线线(D)(D)如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面,那么平面那么平面内一定不存在直线内一定不存在直线垂直于平面垂直于平面【解析【解析】选选C.C.显然显然A A中
39、命题正确，中命题正确，B B中命题正确，中命题正确，D D中命题中命题, ,平面平面与与不垂直，则平面不垂直，则平面与与斜交或平行，则易知斜交或平行，则易知内一定不内一定不存在垂直平面存在垂直平面的直线，即的直线，即D D中命题亦正确，而中命题亦正确，而C C中命题，若中命题，若l , ,则在平面则在平面内显然存在与内显然存在与l平行的直线，故平行的直线，故C C中命题错误中命题错误. .3.(20133.(2013江门模拟江门模拟) )如图是某个正方体的侧面展开图，如图是某个正方体的侧面展开图，l1 1, ,l2 2是是两条侧面对角线，则在正方体中，两条侧面对角线，则在正方体中，l1 1与与
40、l2 2( )( )(A)(A)互相平行互相平行(B)(B)异面且互相垂直异面且互相垂直(C)(C)异面且夹角为异面且夹角为 (D)(D)相交且夹角为相交且夹角为【解析【解析】选选D.D.将侧面展开图还原成正方体如图所示，将侧面展开图还原成正方体如图所示，则则B B，C C两点重合，故两点重合，故l1 1与与l2 2相交相交. .连接连接ADAD，ABDABD为正三角形，为正三角形，所以所以l1 1与与l2 2的夹角为的夹角为 故选故选D.D.4.(20134.(2013珠海模拟珠海模拟) )如图是正方体或四面体，如图是正方体或四面体，P P，Q Q，R R，S S分别分别是所在棱的中点，这四
41、个点不共面的一个图是是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )( )【解析【解析】选选D.D.在在A A图中分别连接图中分别连接PSPS，QRQR，易证，易证PSQRPSQR，PP，S S，R R，Q Q共面共面. .在在B B图中过图中过P P，Q Q，R R，S S可作一正六边形，可作一正六边形，如图，故如图，故P P，Q Q，R R，S S四点共面四点共面. .在在C C图中分别连接图中分别连接PQPQ，RSRS，易证易证PQRSPQRS，PP，Q Q，R R，S S共面共面. .D D图中图中PSPS与与RQRQ为异面直线，为异面直线，PP，Q Q，R R，S S四点不共面，故选四
42、点不共面，故选D.D.5.(20135.(2013中山模拟中山模拟) )l1 1, ,l2 2, ,l3 3是空间三条不同的直线，则下列是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是命题正确的是( )( )(A)(A)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1l3 3(B)(B)l1 1l2 2, ,l2 2l3 3l1 1l3 3(C)(C)l1 1l2 2，l2 2l3 3l1 1, ,l2 2, ,l3 3共面共面(D)(D)l1 1，l2 2, ,l3 3共点共点l1 1，l2 2, ,l3 3共面共面【解析【解析】选选B.B.对于对于A A：空间中垂直于：空间中垂直于同一条直线的两条直
43、线不一定平行，同一条直线的两条直线不一定平行，如图，故命题错误如图，故命题错误. .对于对于B:B:由异面直由异面直线所成的角可知，线所成的角可知，l2 2l3 3, ,则则l1 1与与l3 3所成的角与所成的角与l1 1与与l2 2所成的角所成的角相等，故相等，故l1 1l3 3, ,故命题正确故命题正确. .对于对于C:C:空间中三条互相平行的直空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面, ,故命题错误故命题错误. .对于对于D:D:空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的
44、三条棱所在直线不共面条棱所在直线不共面. .1.1.如图，如图，M M是正方体是正方体ABCD -AABCD -A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的棱棱DDDD1 1的中点，给出下列命题：的中点，给出下列命题：过过M M点有且只有一条直线与直线点有且只有一条直线与直线ABAB，B B1 1C C1 1都相交；都相交；过过M M点有且只有一条直线与直线点有且只有一条直线与直线ABAB，B B1 1C C1 1都垂直；都垂直；过过M M点有且只有一个平面与直线点有且只有一个平面与直线ABAB，B B1 1C C1 1都相交；都相交；过过M M点有且只有一个平面与直线点有且只有一个平面与
45、直线ABAB，B B1 1C C1 1都平行都平行. .其中真命题是其中真命题是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选C.C.由于两相交直线可确定一个平面，设由于两相交直线可确定一个平面，设l过过M M点，与点，与ABAB，B B1 1C C1 1均相交，则均相交，则l与与ABAB可确定平面可确定平面，l与与B B1 1C C1 1可确定平面可确定平面，又，又ABAB与与B B1 1C C1 1为异面直线，为异面直线，l为面为面与面与面的交线，如图所示的交线，如图所示. .GEGE即为即为l，故，故正确正确. .由于由于DDDD1 1过点过点
46、M M，DDDD1 1ABAB，DDDD1 1BB1 1C C1 1，BBBB1 1为为ABAB，B B1 1C C1 1的公垂线，的公垂线，DDDD1 1BBBB1 1，故，故正确正确. .显然显然正确正确. .过过M M点有无数个平面与点有无数个平面与ABAB，B B1 1C C1 1都相交，故都相交，故错误错误. .2.2.如图，已知几何体的三视图如图，已知几何体的三视图( (单位：单位：cm).cm).(1)(1)在这个几何体的直观图相应的位置标出字母在这个几何体的直观图相应的位置标出字母A,B,C,D,A,B,C,D,A A1 1,B,B1 1,C,C1 1,D,D1 1，P P，Q
47、.Q.(2)(2)求这个几何体的求这个几何体的表面积及体积表面积及体积. .(3)(3)设异面直线设异面直线A A1 1Q Q，PDPD所成角为所成角为,求求coscos . .【解析【解析】(1)(1)在几何体的直观图相应的位置标出字母如图所示在几何体的直观图相应的位置标出字母如图所示. .(2)(2)这个几何体可看成是由正方体这个几何体可看成是由正方体ACAC1 1及直三棱柱及直三棱柱B B1 1C C1 1Q -AQ -A1 1D D1 1P P的的组合体组合体. .由由PAPA1 1=PD=PD1 1= ,A= ,A1 1D D1 1=AD=2,=AD=2,可得可得PAPA1 1PDPD1 1. .故所求几何体的表面积故所求几何体的表面积所求几何体的体积所求几何体的体积(3)(3)连接连接QCQC，A A1 1C.C.由由PQCD,PQCD,且且PQ=CD,PQ=CD,可知可知PDQC,PDQC,故故A A1 1QCQC为异面直线为异面直线A A1 1Q Q，PDPD所成的角所成的角( (或其补角或其补角).).由题设知由题设知取取BCBC中点中点E E，则，则QEBC,QEBC,且且 由余弦定理，得由余弦定理，得所以异面直线所以异面直线A A1 1Q Q，PDPD所成角的余弦值为所成角的余弦值为
