《高中数学 3.3.2二倍角的三角函数（二）课件 北师大版必修4.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 3.3.2二倍角的三角函数（二）课件 北师大版必修4.ppt（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3二倍角的三角函数(二)半角公式半角公式2cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 2221.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1) ( )(1) ( )(2) ( )(2) ( )(3) ( )(3) ( )(4)(4)半角公式实质就是二倍角公式的变形半角公式实质就是二倍角公式的变形.( ).( )【解析解析】(1)(1)错误错误. .(2)(2)错误错误. .(3)(3)错误错误. .(4)(4)正确正确. .半角公式可由二倍角公式变形得到半角公式可由二倍角公式变形得到. .答案：答案：(1) (2) (1) (2) (3) (3)
2、 (4)(4)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)计算：计算：sin 15=_.sin 15=_.(2)(2)计算：计算：tan 22.5=_.tan 22.5=_.(3)(3)化简：化简： =_.=_.【解析解析】(1)sin 15=(1)sin 15=答案：答案：(2)tan 22.5=(2)tan 22.5=答案：答案：(3)(3)答案：答案：【要点探究要点探究】知识点知识点 半角公式半角公式1.1.半角公式与二倍角公式的关系半角公式与二倍角公式的关系半角公式与二倍角公式功能各异，本质相同，对立统一半角公式与二倍角公式功能各异，本质
3、相同，对立统一. .2.2.公式适用的条件公式适用的条件(1)(1)半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立. .(2) (2) 和和 中要求角中要求角2k+,kZ,2k+,kZ,而而 中则要求角中则要求角k,kZ.k,kZ.3.3.半角公式的应用半角公式的应用(1)(1)半角公式给出了求半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式，的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道即只需知道cos cos 的值及相应的值及相应的条件，便可求出的条件，便可求出 (2)(2)由于由于 不含被开方数，且不不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于涉及符号问题，所以求解
4、关于 的题目时，使用相对方的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件便，但需要注意该公式成立的条件. .(3)(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用 求解求解. .【知识拓展知识拓展】万能代换公式万能代换公式【微思考微思考】(1)(1)半角公式的等式两端有什么变化？半角公式的等式两端有什么变化？提示：提示：半角公式的等式两端，从左向右，方次降低，角度加半角公式的等式两端，从左向右，方次降低，角度加倍，从右向左倍，从右向左, ,方次增大方次增大, ,角度减半角度减半. .(2)(2)如何确定如何确定 公式中的正负号公式中的正负号? ?提
5、示提示: :依据依据 所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果 所在象限无法确定，则应保留所在象限无法确定，则应保留sin sin ，cos cos 公式中的正公式中的正负号负号. .【即时练即时练】1.1.设设 则则sin sin 等于等于( )( )2.2.已知已知 则则 等于等于( )( )【解析解析】1.1.选选D.D.因为因为所以所以所以所以因为因为a acos cos 所以所以2.2.选选C.C.方法一：因为方法一：因为sin sin 00，cos cos 0,0,所以所以的终边落在第一象限，的终边落在第一象限， 的终边落在第一、三象限的终边
6、落在第一、三象限. .所以所以tan 0,tan 0,故故tan =tan =方法二：方法二：【题型示范题型示范】类型一类型一 利用半角公式求解给值求值问题利用半角公式求解给值求值问题【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014合肥高一检测合肥高一检测) )若若sin(-)= sin(-)= 且且则则 =( )=( )(2)(2)已知已知 求求 的值的值. .【解题探究解题探究】1.1.如何由如何由sin sin 求求cos ?cos ?如何用如何用cos cos 表示表示2.2.半角公式的有理形式是什么？半角公式的有理形式是什么？【探究提示探究提示】1. 1. 2. 2. 【自主解答自
7、主解答】(1)(1)选选B.sin(-)=sin = B.sin(-)=sin = 又又 所以所以由由cos = cos = 得，得，所以所以(2)(2)分子、分母同除以分子、分母同除以sin sin 得得= =【延伸探究延伸探究】在题在题(1)(1)条件不变的情况下，求条件不变的情况下，求【解析解析】由题由题(1)(1)解析知，解析知，( (方法一方法一) )得得( (方法二方法二) )【方法技巧方法技巧】利用半角公式求值的思路利用半角公式求值的思路(1)(1)看角看角. .若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则常常借助半角公式求解
8、倍，则常常借助半角公式求解. .(2)(2)明范围明范围. .由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围必依据角的范围，求出相应半角的范围. .(3)(3)选公式选公式. .涉及半角公式的正切值时，常用涉及半角公式的正切值时，常用 其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 计算计算. .(4)(4)下结论下结论. .结合结合(2)(2)求值求值. .【变式训练变式训练】(2013(2013
9、宿州高一检测宿州高一检测) )已知已知求求 的值的值【解题指南解题指南】利用利用sinsin2 2coscos2 21 1求得求得cos cos ，代入半角，代入半角公式求解公式求解【解析解析】因为因为所以所以cos cos 又因为又因为所以所以 或或【补偿训练补偿训练】已知已知 则则的值分别为的值分别为( )( )【解析解析】选选B.B.因为因为所以所以由由cos =cos =得得又又所以所以类型二类型二 利用半角公式化简与证明利用半角公式化简与证明【典例典例2 2】(1)(1)化简化简:cos:cos2 2(+15)+sin(+15)+sin2 2(-15)+sin(+180)(-15)+
10、sin(+180)cos(-180)=_.cos(-180)=_.(2)(2)求证求证: :【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中如何把中如何把coscos2 2(+15),sin(+15),sin2 2(-15)(-15)降幂？降幂？2.2.题题(2)(2)证明本题的关键是什么？证明本题的关键是什么？【探究提示探究提示】1.cos1.cos2 2(+15)= (+15)= 2.2.借助公式把借助公式把“1”1”消去消去. .【自主解答自主解答】(1)(1)原式原式答案：答案：1 1(2)(2)左边左边= =【方法技巧方法技巧】利用半角利用半角( (倍角倍角) )公式化简的基本思路公式
11、化简的基本思路(1)(1)降次降次. .一般运用公式一般运用公式化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数. .(2)(2)统一函数名称统一函数名称. .化多种三角函数为单一的三角函数化多种三角函数为单一的三角函数. .(3)(3)统一角统一角. .化多角为单一角，减少角的种类化多角为单一角，减少角的种类. .(4)(4)弦切互化弦切互化. .一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定式子结构而定
12、. .【变式训练变式训练】化简：化简：(0).(0).【解题指南解题指南】由由的范围先确定出的范围先确定出 的范围，利用半角的范围，利用半角公式将分母中根号里面的式子转变成完全平方的形式公式将分母中根号里面的式子转变成完全平方的形式. .【解析解析】因为因为00，所以，所以0 0 ，所以原式所以原式【补偿训练补偿训练】求证：求证：【证明证明】原式原式= = = = =右边右边. .所以原等式成立所以原等式成立. .类型三类型三 三角恒等变换与三角函数的综合问题三角恒等变换与三角函数的综合问题【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014合肥高一检测合肥高一检测) )设设aR,f(x)=co
13、s x(asin x-cos x)aR,f(x)=cos x(asin x-cos x)+ + 满足满足 =f(0),=f(0),当当x x 时，则时，则f(x)f(x)的值的值域为域为( )( )(2)(2)已知函数已知函数f(x)f(x)coscos4 4x x2sin xcos x2sin xcos xsinsin4 4x.x.求函数求函数f(x)f(x)的递增区间的递增区间. .求当函数求当函数f(x)f(x)取最大值时的自变量取最大值时的自变量x x的值的值. .【解题探究解题探究】1.1.求求解题解题(1)(1)的的关键是什么？关键是什么？2.2.如果遇到如果遇到sinsin4 4
14、x+cosx+cos4 4x x或者或者sinsin4 4x-cosx-cos4 4x x，一般的处理思路是什，一般的处理思路是什么？么？【探究提示探究提示】1.1.关键是利用三角恒等变换将函数的解析式化为关键是利用三角恒等变换将函数的解析式化为y=Asin(x+y=Asin(x+) )的形式的形式. .2.2.遇到遇到sinsin4 4x+cosx+cos4 4x x或者或者sinsin4 4x-cosx-cos4 4x x一般的处理思路是把前者配一般的处理思路是把前者配成完全平方的形式，即成完全平方的形式，即sinsin4 4x+cosx+cos4 4x=(sinx=(sin2 2x+co
15、sx+cos2 2x)x)2 2- -2sin2sin2 2xcosxcos2 2x x；而后者往往采取因式分解的形式，即；而后者往往采取因式分解的形式，即sinsin4 4x-x-coscos4 4x=(sinx=(sin2 2x+cosx+cos2 2x)(sinx)(sin2 2x-cosx-cos2 2x).x).【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.f(x)=asin xcos x-cosD.f(x)=asin xcos x-cos2 2x+sinx+sin2 2x x= asin 2x-cos2x,= asin 2x-cos2x,又又 =f(0),=f(0),即即得得所以所以f(
16、x)=f(x)=又又x x 所以所以所以所以f(x)f(x)(2)(2)根据题意可知根据题意可知f(x)f(x)coscos4 4x x2sin xcos x2sin xcos xsinsin4 4x x(cos(cos4 4x xsinsin4 4x)x)2sin xcos x2sin xcos x(cos(cos2 2x xsinsin2 2x)(cosx)(cos2 2x xsinsin2 2x)x)2sin xcos x2sin xcos xcos 2xcos 2xsin 2xsin 2x由由 得递增区间为得递增区间为 (kZ). (kZ).要使函数要使函数f(x)f(x)取最大值，自
17、变量取最大值，自变量x x应满足应满足kZkZ，即，即 时，时，f(x)f(x)取最大值取最大值 ，此时，此时x x的集合的集合为为【方法技巧方法技巧】较复杂三角函数性质问题研究流程较复杂三角函数性质问题研究流程【变式训练变式训练】(2014(2014宝鸡高一检测宝鸡高一检测) )已知函数已知函数f(x)=sinf(x)=sin2 2x+x+2sin xcos x+3cos2sin xcos x+3cos2 2x,xR.x,xR.求：求：(1)(1)函数函数f(x)f(x)的最大值及取得最大值时的自变量的最大值及取得最大值时的自变量x x的取值集合的取值集合. .(2)(2)函数函数f(x)f
18、(x)的单调递减区间的单调递减区间. .【解析解析】(1)(1)方法一：方法一：f(x)=f(x)=2+sin 2x+cos 2x=2+sin 2x+cos 2x=所以当所以当即即 (kZ) (kZ)时，时，f(x)f(x)取得最大值取得最大值函数函数f(x)f(x)取得最大值时的自变量取得最大值时的自变量x x的集合为的集合为方法二：方法二：f(x)=(sinf(x)=(sin2 2x+cosx+cos2 2x)+2sin xcos x+2cosx)+2sin xcos x+2cos2 2x=2sin xcos x+1+x=2sin xcos x+1+2cos2cos2 2x=sin 2x+
19、cos 2x+2=x=sin 2x+cos 2x+2=所以当所以当2x+ =2k+ 2x+ =2k+ , ,即即x=k+ (kZ)x=k+ (kZ)时，时，f(x)f(x)取得最大值取得最大值函数函数f(x)f(x)取得最大值时的自变量取得最大值时的自变量x x的集合为的集合为, ,(2)f(x)= (2)f(x)= 由题意得：由题意得：2k+ 2x+ 2k+ 2k+ 2x+ 2k+ (kZ), (kZ),即：即： (kZ).(kZ).因此因此, ,函数函数f(x)f(x)的单调减区间为的单调减区间为【补偿训练补偿训练】函数函数y=siny=sin6 6x+cosx+cos6 6x x的最小正
20、周期为的最小正周期为_【解析解析】y=siny=sin6 6x+cosx+cos6 6x=(sinx=(sin2 2x+cosx+cos2 2x)(sinx)(sin4 4x+cosx+cos4 4x-x-sinsin2 2xcosxcos2 2x)x)=1-3sin=1-3sin2 2xcosxcos2 2x=x=函数函数y=siny=sin6 6x+cosx+cos6 6x x的最小正周期为的最小正周期为答案：答案：【易错误区易错误区】应用半角公式求值时的易错点应用半角公式求值时的易错点 【典例典例】设设3434， 等于等于( )( )【解析解析】选选B.B.由于由于可得可得又又3434，
21、所以，所以所以所以 所以所以【常见误区常见误区】【防范措施防范措施】 明确三角函数值的符号明确三角函数值的符号 应用半角公式求值时，要特别注意半角的三角函数值符号应用半角公式求值时，要特别注意半角的三角函数值符号的确定，否则会出现符号的失误，如本例的确定，否则会出现符号的失误，如本例处对角的范围的计处对角的范围的计算，是明确算，是明确 值的符号的关键值的符号的关键. .【类题试解类题试解】若若 是第三象限的角，则是第三象限的角，则等于等于( )( )A.A. B. C.2 D.B. C.2 D.2 2【解析解析】选选A.A.因为因为是第三象限角，是第三象限角， 所以所以sin =sin =所以所以
