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1、注意注意(zhy):为极大(j d)点为极小(j xio)点不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.例如 (P147例4)为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页第一页，共28页。第2页/共27页第二页，共28页。定理定理(dngl)2(极极值第一判别法值第一判别法)且在空心(kng xn)邻域内有导数(do sh),(1) “左正右负” ,(2) “左负右正” ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页第三页，共28页。第4页/共27页第四页，共28页。第
2、5页/共27页第五页，共28页。第6页/共27页第六页，共28页。第7页/共27页第七页，共28页。例例.求函数求函数的极值(j zh) .解:1) 求导数(do sh)2) 求极值(j zh)可疑点令得令得3) 列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第八页，共28页。定理定理3(极值第二极值第二(dr)判别法判别法)二阶导数(do sh) , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证: (1)存在(cnzi)由第一判别法知(2) 类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第九页，共28页。例例2.求函
3、数求函数的极值(j zh) . 解: 1) 求导数(do sh)2) 求驻点(zh din)令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十页，共28页。二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题(wnt)则其最值只能(zh nn)在极值(j zh)点或端点处达到 .求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点(2) 最大值最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页第十一页，共28页。特别特别(tbi): 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时,最值必在端点(dun din)处达到.若
4、在此点取极大(j d) 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页第十二页，共28页。例例.求函数求函数在闭区间(q jin)上的最大值和最小值 .(此例同P159 例3）解: 显然(xinrn)且故函数(hnsh)在取最小值 0 ;在及取最大值 5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十三页，共28页。( k 为某一常数(chngsh) )例例4.铁路上铁路上AB段的距离段的距离(jl)为为100km,工厂工厂C距距A处处20AC AB ,
5、要在 AB 线上选定一点 D 向工厂(gngchng)修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货D 点应如何选取? 20解: 设则令得 又所以 为唯一的极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问Km ,公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十四页，共28页。 例5 （利用求最小值的方法(fngf)推导出光学中的折射定律），一束光当由空气中A点经过水面折射后到达水中B点，已知光在空气中和水中传播的速度分别是和， 耗时最小的路径传播(chunb)，试确定光线传播(chunb)的路径，光线(gun
6、gxin)在介质中总是沿着解：由 的传播时，下面 什么条件， 确定x确定有最小值 间第15页/共27页第十五页，共28页。由于(yuy) 令 ，由于(yuy) ，由零点(ln din)定理 有唯一根 ，即 ，且 是 在 内的唯一驻点 又 第16页/共27页第十六页，共28页。因而(yn r) 是 的最小值点。 若记 则有光学(gungxu)中折射定律（其中 为入射角， 为折射角） 第17页/共27页第十七页，共28页。例例6.把一根直径把一根直径(zhjng)为为d的圆木的圆木锯成矩形梁锯成矩形梁,问矩形(jxng)截面的高 h 和 b 应如何选择才能(cinng)使梁的抗弯截面模量最大? 解
7、: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十八页，共28页。存在(cnzi)一个取得最大利润的生产水平? 如果存在(cnzi), 找出它来.售出该产品(chnpn) x 千件的收入是例例7.设某工厂设某工厂(gngchng)生产某产生产某产品品x千件的成本是千件的成本是解: 售出 x 千件产品的利润为问是否故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. 第19页/共27页第十九页，共28页。说明说明(shu
8、mng)：在经济学中：在经济学中称为(chn wi)边际成本称为(chn wi)边际收入称为边际利润由此例分析过程可见, 在给出最大利润的生产水平上即边际收入边际成本（见右图）成本函数收入函数即收益最大亏损最大第20页/共27页第二十页，共28页。内容内容(nirng)小结小结1. 连续函数的极值(j zh)(1) 极值(j zh)可疑点 :使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值定理3 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十一页，共28页。最值点应在极值(j zh)点和边界点上找 ;应用题可根据(gn
9、j)问题的实际意义判别 .思考(sko)与练习2.连续函数的最值连续函数的最值1. 设则在点 a 处( ).的导数存在 ,取得极大值 ;取得极小值;的导数不存在.B提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页第二十二页，共28页。2.设设在的某邻域内连续, 且则在点处(A) 不可(bk)导 ;(B) 可导, 且(C) 取得(qd)极大值 ;(D) 取得(qd)极小值 .D提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十三页，共28页。3.设设是方程(fngchng)的一个(y )解,若且则在(A) 取得(qd)极大值
10、 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示:A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页第二十四页，共28页。的连续性及导函数(hnsh)例例4.填空题填空题(1) 设函数(hnsh)其导数(do sh)图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示:的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;第25页/共27页第二十五页，共28页。 .在区间(q jin) 上是凸弧 ;拐点(ui din)为 提示(tsh):的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2)设函设函数数的图
11、形如图所示,第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结注意:。故需用第一判别法判别.。对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的。可疑点是否为最大 值点或最小值点 .。已知铁路与公路每公里(n l)货运价之比为 3:5 ,。物从B 运到工厂C 的运费最省,。耗时最小的路径传播，试确定光线传播的路径。确定x确定。售出该产品 x 千件的收入是。而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.。即边际收入边际成本。(1) 极值可疑点 :。(D) 在某邻域内单调减少 .。第26页/共27页第二十八页，共28页。
