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1、2.4 系统的频域分析方法系统的频域分析方法我们已经讨论了两类不同分解复杂信号的方法，一类是理可实现等实际问题。方便的分析系统的频率响应、系统带宽、波形失真、物响应是各频率分量响应之和。此外，利用傅氏变换可以统冲激响应卷积得到。而在频域里信号通过线性系统的法。在时域里，信号通过线性系统的响应，由激励与系两类不同的信号分解方法，导出两类不同求解响应的方是在频域里，将信号分解为许多不同频率分量之和。由在时域里，将信号分解为许多冲激或阶跃之和；另一类1、系统的频响函数、系统的频响函数对上式两边取傅里叶变换，由卷积定理，可得始状态为零，则系统的响应为 设激励是，系统的单位冲激响应为，系统的初式中是系统
2、单位冲激响应的傅里叶变换。表征的是系统频域特性。所以称做系统频率响应函系统单位冲激响应表征的是系统时域特性，而数，简称系统频响函数或系统函数。 上式还可以表示为其中是系统的相频是系统的幅（模）频特性，特性。此式表明，还可以由系统（零状态）输出傅氏变换与输入傅氏变换除了可由系统单位冲激响应表示，表示。由系统不同的的表示形式，可以用不同的方法得到系统频响函数。(1) 由微分方程求解(1) 由微分方程求解已知n阶LTI系统的微分方程的一般表示为对上式两边取傅里叶变换并整理 由此得到系统的频响函数为此式表明只与系统本身相关，与激励无关。例2-11 已知某系统的微分方程为求系统的频响函数。解 对微分方程
3、两边同时取傅氏变换，得到(2) 由转移算子求解已知稳定系统的转移算子，将其中的以得到系统频响函数。 用替代，即可例2.5-2 已知某稳定系统的转移算子解求系统频响函数。(3) 由求解求傅里叶变换。先求出系统的冲激响应，然后对冲激响应例2-14 已知系统的单位冲激响应解求系统的频响函数。，例2-14 求图2-26零阶保持电路的频响函数。延时T解 先求出系统的单位响应对上式求傅氏变换，得到FF，当零阶保持电路的时或利用系统各部分的傅氏变换求解。第二部分是积分器，因为两种方法结果相同。第一部分是加法器，输出为，所以输出为 010 与如图2-27所示。(4) 由频域电路求解此法与1.8的算子电路法相似
4、，利用频域电路简化运算。动态元件时域与频域电压电流关系表示为上两式中为频域的感抗值，是电感的频域表示；为频域的容抗值，是电容的频域表示；两个等式右边均满足频域（广义）欧姆定律。例2-15如图2-28(a)所示电路，输入是激励电压将电路中所有动态元件以及激励、响应用频域形式表示，求解系统函数的方法。似解直流或稳态电路的方法求解。举例说明由频域电路得到频域电路；再利用频域（广义）的电路定律，用类输出是电容电压，求系统频响函数，。+-+图2-28(a)-+解 频域电路如图2-28 (b)所示，由KVL列出方程将(1)式代入(2)式得系统频响函数2、系统的频域分析、系统的频域分析由卷积定理我们可以得到
5、频域分析法的基本方框图表示，如图2-29所示。例 2-16 已知系统函数。求响应。，激励例 2-16 已知系统函数。求响应。，激励解F由此例2.5-6看到利用频域分析法，解决了系统的零状激励的稳态响应不同。非周期信号产生的响应，必有瞬态响应，与周期信号运算，代价是正、反两次傅氏变换。还可以看到，由态响应求解。优点是时域的卷积运算变为频域的代数2.5无失真传输系统与滤波无失真传输系统与滤波无失真传输及滤波等问题是实际应用中经常会遇到的，1、无失真传输系统、无失真传输系统在信号传输过程中，为了不丢失信息，理想传输系统应本节通过对它们的讨论，进一步掌握频域分析方法。传输系统。该不失真的传输信号。人们
6、也称理想传输系统为无失真失真是指系统的输出与输入相比波形变化规律发生了变有幅度大小及时延的不同，形状不变，如图2-30所示。化。而通过无失真传输系统的输出波形与输入相比，只10无失真传 输系统0图2-30其中输出信号应为设激励信号为，响应为，则系统无失真时，均为常数。是系统的增益， 是延迟时间， 与由上式得到理想传输系统的时域不失真条件(1) 幅度乘以(2) 波形滞后倍；。 又因为所以无失真传输系统的单位冲激响应为对此式两边取傅氏变换，可得F，上式可表示为0对应的幅频及相频特性如图2-31所示。由图2-30可知理想传输系统的频域不失真条件为(1)幅频特性在全频域内为常数，系统具有无限宽的0成正
7、比。(2) 系统的相频特性是通过原点的直线，相移与频率均匀带宽，所有频率分量的增益为，可以顺利通过。在实际应用时，虽然系统不满足全频域无失真传输要求，例2.6-1：已知某系统的振幅、相位特性如图2-31所示，(1) 给定输入但在一定的条件范围内可以无失真传输。输入为，输出为 。(2) ，求输出；有无失真？若有指出为何种失真。2100解解：由图2-31可知该系统的振幅、相位函数为由振幅、相位函数可知只有输入信号在范围内，输出信号无失真。否则会有振幅或或相位失真。利用频域分析方法可得不同激励时的响应为输出信号无失真。 从这个例题我们可以知道。虽然真正的不失真传输系统种方法在工程中经常用到。真或线性
8、，这表明系统可以具有分段无失真或线性，这真的传输信号。即可以在一定范围内做到系统近似无失很难做到，但在一定条件下，一个失真系统亦可以不失输出有振幅失真。2、滤波器、滤波器滤波的概念往往与选频有关，因为在许多实际应用中，有的信号中，选出所需要频道的信号，就要利用滤波分量，用以提取所需信号。例如要从电视机天线上所系统需要保留信号的一部分频率分量，抑制其它频率器。先介绍理想滤波器。有各种各样的理想滤波器，最典型想低通滤波器。分量直通，而对要抑制的部分衰减到零。本节只讨论理为1，阻带幅频特性为0。特点是对信号中要保留的频率其幅频特性如图2-33所示。理想滤波器的通带幅频特性的有理想低通、理想高通、理想
9、带通、理想带阻滤波器，00001111理想低通滤波器的频率特性如图2-34所示。010传递函数为这样的理想低通滤波器对激励信号低于的频率分量可以无失真传输（幅度均匀放大，时延），而高于的频率分量则被全部抑制。式中：为通带截止频率，相位斜率（或群时延）。理想低通的单位冲激响应为理想低通的输入与单位冲激响应如图2-35所示。 (1)00说明系统是非因果的，而违背了因果律的系统是物理由图2-35可见，激励是在 时刻加入，而响应的最大值出现在 处，可以认为响应的建立需要时间。由图2-35还可见，响应不仅延时了，并在响应脉冲建立的前后出现了起伏振荡。从理论上讲，振荡一直延伸到处。这是由信号的幅度失真造成
10、的，因为相当一部分的高频分量被完全抑制了。不可实现的。时有响应出现系统是否物理可实现，时域与频域都有判断准则。LTI系统是物理可实现的时域准则是系统的单位冲激响应LTI系统是物理可实现的频域条件由佩利-维纳准则给出，满足因果性，即即系统是物理可实现的必要条件为这一准则只允许在某些不连续点的频率幅值为零， 但不允许某个频带的幅值为零。有的理想滤波器都是物理不可实现的。虽说理想滤波器是设在频带内，则在频带内，使上式的积分不收敛。由此可以推知所讨论实际的低通滤波器。想滤波器，就不失讨论理想滤波器的意义。下面通过实例物理不可实现的，但只要实际滤波器可以某种方式逼近理+-0域法求解系统频响函数及系统响应
11、。例例2.6-2 电路系统及激励如图2-36所示，用频1-+图2-36解解： 先求解系统函数01式中。其幅频、相频特性如图2-37所示。0 由其幅频特性可知该系统是一低通滤波器。若定义幅度若以低通的零频为基准，定义能量的对数衰减，则的频率范围为通带，则系统可以通过信衰减不低于号中的频率分量，而抑制的频率分量。在处，信号的幅度是零频的，即（分贝），所以也称再求系统输出响应因此称是滤波器的三分贝带宽截止角频率，又因为为系统的三分贝截止频率。 在处，信号的能量减半，其对数衰减01由系统响应图可见，响应一般响应时，没有突变到1，而是经过一段上升过程，随着与激励不同的是在时间趋于无穷才达到1。所以可以定义响应上升到幅度的0.9时，误差已满足工程需要。从0上升到0.9的时间叫系统的上升时间。 代入输出公式解出可见， 又称该系统的时常数。 。若将此式说明，系统参数、结构一旦确定，其上升时间与带与三分贝截止频率相乘，有大多数系统的上升时间与带宽的乘积在0.30.5之间。关，这虽然是由一阶电路推导的结论，却是普遍适用的。升时间与带宽的乘积是常数，并与系统参数的具体值无宽的乘积就是一个常数，与系统参数的具体值无关。上
