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1、 4 n4 n4 n4 n级行列式的性质级行列式的性质级行列式的性质级行列式的性质 5 5 5 5 行列式的计算行列式的计算行列式的计算行列式的计算 6 6 6 6 行列式按一行行列式按一行行列式按一行行列式按一行( ( ( (列列列列) ) ) )展开展开展开展开 3 n3 n3 n3 n级行列式级行列式级行列式级行列式 2 2 2 2 排列排列排列排列 1 1 1 1 引言引言引言引言 7 7 7 7 克拉默克拉默克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)(Cramer)(Cramer)法则法则法则法则 8 8 8 8 拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)
2、(Laplace)(Laplace)定理定理定理定理 行列式的乘法法行列式的乘法法行列式的乘法法行列式的乘法法则则则则第二章第二章 行列式行列式1用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组(1)(2)原方程组有唯一解原方程组有唯一解由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定若记若记则当时该方程组的解为则当时该方程组的解为2在三元一次线形方程组求解时有类似结果在三元一次线形方程组求解时有类似结果即有方程组即有方程组当当 时，有唯一解时，有唯一解其中其中n元一次线性方程组元一次线性方程组它的它的解解是否也有类似的结论呢？是否也有类似的结论呢？历史资料历史资料：17世纪末，莱布尼兹在研究线性
3、方程组的解时, 首先使用现在称为结式的一个行列式. 大约1729年，马克劳林开始用行列式方法解含2-4个未知量的线性方程组，克莱姆1750年给出行列式求解线性方程组的重要结论，即克莱姆法则. 这些早期工作大都是为了研究方程组而利用行列式这一工具，以求得到方程组解的简洁表达式.对行列式的系统研究第一人是法国人范德邦,而行列式这一名词则由柯西给出，现今符号是凯莱1841年引进的.东方最早给出行列式概念的是日本人关孝和（早于莱布尼兹）.为此，本章依次解决如下问题：为此，本章依次解决如下问题：2 2）n级行列式的性质与计算？级行列式的性质与计算？1 1）怎样定义）怎样定义n级行列式？级行列式？3 3）
4、方程组）方程组( () )在什么情况下有解？在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？有解的情况下，如何表示此解？一、排一、排 列列二、逆序逆序数二、逆序逆序数三、奇排列三、奇排列 偶排列偶排列四、对换四、对换一、排列一、排列定义定义称为一个称为一个 级排列排列由由1，2，n 组成的一个有序数成的一个有序数组123，132，213，231，312，321如，所有的如，所有的3级排列是级排列是共共6=3！个个.( (阶乘阶乘)注：注：所有不同所有不同级排列的排列的总数是数是二、逆序逆序数二、逆序逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, , n 个个不同的自然
5、数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序. .定义定义一个排列中逆序的一个排列中逆序的总数称为这个排列的总数称为这个排列的逆序数逆序数在一个排列中，如果一对数的前后位置在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个则称这对数为一个逆序逆序； 排列排列 123 称称为标准排列准排列，其逆序数其逆序数为注：注： 排列排列 的逆序数常记为的逆序数常记为后面比后面比 小的数的个数小的数的个数后面比后面比 小的数的个数小的数的个数.后面比后面比 小的数的个数小的数的个数或或前面比前面比 大的数的个数
6、大的数的个数前面比前面比 大的数的个数大的数的个数前面比前面比 大的数的个数大的数的个数方法一方法一方法二方法二例例1排列排列 31542 中，逆序有中，逆序有31， 32， 54， 52， 42的逆序数的逆序数. . 例例2求求 级排列级排列解：解：方法一方法一逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列；逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列三三 、奇排列、偶排列、奇排列、偶排列定义定义标准排列准排列 123 为偶排列偶排列注：注：练习练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性（1）（2）答案答案:当当 时为偶排列；时为偶排列；当
7、当 时为奇排列时为奇排列.当当 n 为偶数时为偶排列，为偶数时为偶排列，当当 n 为奇数时为奇排列为奇数时为奇排列.方法一方法一方法二方法二（2）四四 、对换、对换1.定义定义把一个排列中某两个数的位置互换，而把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个称为一个对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换证明证明1) 特殊情形：作相邻对换特殊情形：作相邻对换对换对换 与与除除 外，其它元素所成逆序不改变外，其它元素所成逆序不改变.对换改变排列的奇偶性即经过一次对换，对换改变排列的奇偶性即经过一
8、次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列2.定理定理1设排列为设排列为当当 时，时，所成逆序不变所成逆序不变;经对换后经对换后 的逆序增加的逆序增加1个个 ,经对换后经对换后 所成逆序不变所成逆序不变 ， 的逆序减少的逆序减少1个个.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与2)一般情形一般情形次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.所有所有 级排列中，奇、偶
9、排列各半，排列中，奇、偶排列各半， 均为均为 个个. 设在全部设在全部 阶排列中，有阶排列中，有 个奇排列，个奇排列， 个个偶排列，下证偶排列，下证 将将 个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列的前两个数对换，则这 个奇排个奇排列列全变成偶排列，并且它们彼此不同，全变成偶排列，并且它们彼此不同， 同理，将同理，将 个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列的前两个数对换，则这 个个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，推论推论1证明证明故故一系列一系列对换互互换，并且所作，并且所作对换的次数与的次数与这个个任意一个排列与任意一个排列与标准排列准排列 都可都可经过排
10、列的奇偶性相同排列的奇偶性相同3.定理定理2 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,因此知结论成立因此知结论成立.证明证明而而标准排列是偶排列（逆序数为标准排列是偶排列（逆序数为0）,一、一、 行列式定义行列式定义二、二、n n 级行列式的等价定义级行列式的等价定义一、行列式的定义一、行列式的定义1. 1. 二级行列式二级行列式2. 2. 三级行列式三级行列式沙路法沙路法对角线法对角线法3. n 级行列式的定义级行列式的定义等于所有取自不同行不同列的等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积(1)每一项（每一项（1）都按下列规则带
11、有符号：）都按下列规则带有符号：当当 为奇排列时（为奇排列时（1）带负号；）带负号；当当 为偶排列时（为偶排列时（1）带正号；）带正号；n 级行列式级行列式的代数和，这里的代数和，这里 为的排列为的排列.即即这里这里 表示对所有表示对所有1、2、 、 n的的n级排列求和级排列求和2)中的数中的数 称为行列式称为行列式D处于处于注注: :第第 i 行第行第 j 列的元素，列的元素， i 称为行指标，称为行指标， j 称为列指标称为列指标.3) n级行列式定义展开式中共有级行列式定义展开式中共有n！项项1) 行列式行列式 常简记为常简记为 或或主主对角线对角线副对角线副对角线例例1计算行列式计算行
12、列式例例2.一般地一般地,对角形行列式对角形行列式类似可得：类似可得：上三角形行列式上三角形行列式下三角形行列式下三角形行列式例例3. 已知已知 ,求求 的系数的系数 .由由n级行列式定义，级行列式定义， 是一个的多项式函数，是一个的多项式函数，且最高次幂为且最高次幂为 ,显然含显然含 的项有两项的项有两项:与与即即 与与中中 的系数为的系数为-1-1.解解:这里这里 表示对所有表示对所有1、2、 、 n的的n级排列和级排列和二、二、n n 级行列式的等价定义级行列式的等价定义证明：证明：按按行列式定义有行列式定义有记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅总有且仅有有 中的某一项中的某一项与
13、之对应并相等与之对应并相等;反之，反之， 对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而类似地，有类似地，有一、行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例二、应用举例转置行列式转置行列式行列式行列式设设称为称为D的的转置行列式转置行列式，记作记作 或或行列互换，行列式不变，即行列互换，行列式不变，即一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质1记记另一方面，按行列式的等价定义可表成另一方面，按行列式的等价定义可表成证：证：其中其中按行列式的定义按行列式的定义行列式某行（列
14、）元素的公因子可提到行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外即行列式符号之外即推论推论 行列式中某一行（列）为零，则行列式为零行列式中某一行（列）为零，则行列式为零 性质性质2或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于用这个数乘此行列式记为用这个数乘此行列式记为 或或若行列式的某一行（列）的元素都是两数若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和，即之和，即性质性质3思考：思考：？如果行列式中有两行（列）相同，那么如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为行列式为0
15、（所谓两行相同指的是两行元素对应（所谓两行相同指的是两行元素对应都相等）都相等）性质性质4设行列式设行列式证：证：中第中第 i 行与第行与第 k 行相同，行相同，即，即，于是，于是，行列式中两行（列）成比例，则行列式为行列式中两行（列）成比例，则行列式为0. .证：由性质证：由性质2 2、性质、性质4 4即得即得把行列式的某一行（列）的倍数加到另一把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变行（列），行列式不变. .记为记为 或或证：由性质证：由性质3 3、性质、性质5 5即得即得性质性质5性质性质6性质性质7对换行列式中两行（列）位置，行列式反号对换行列式中两行（列）位置，行列式
16、反号记为记为 或或性质性质证：证：性质性质性质性质例例1. 计算行列式计算行列式说明：说明：计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为上三角形或下三角形，从而算得行列式的值上三角形或下三角形，从而算得行列式的值例例2. 计算行列式计算行列式解解：例例3. 计算行列式计算行列式解解：例例4. .若若 n 级行列式级行列式 满足满足证明：当证明：当 n 为奇数时，为奇数时，的每行提取的每行提取- -1，得，得证：证： 由由有有设设 当当 n 为奇数时，为奇数时，故故一、矩阵一、矩阵二、矩阵的初等行变换二、矩阵的初等行变换三、行列式的计算三、行列式的计算四、
17、矩阵的初等列变换四、矩阵的初等列变换一、矩阵一、矩阵1.定义定义由由sn个数排成个数排成 s 行行 n 列的表列的表称为一个称为一个 sn 矩阵矩阵，j为列指标为列指标. .简记为简记为数数 称为矩阵称为矩阵A的的 i 行行 j 列的列的元素元素，其中，其中i为行指标，为行指标，v若矩阵若矩阵则说则说A为为数域数域 P 上的矩阵上的矩阵v当当 s=n 时，时， 称为称为n级方阵级方阵v由由 n级方阵级方阵 定义的定义的 n 级行列式级行列式称为称为矩阵矩阵A的行列式的行列式，记作，记作 或或detA 2.2.矩阵的相等矩阵的相等则称则称矩阵矩阵A与与B相等相等，记作，记作 A=B设矩阵设矩阵如
18、果如果1) 以以P中一个非零数中一个非零数k乘矩阵的一行；乘矩阵的一行；2) 把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的k倍加到另一行，倍加到另一行， ；3) 互换矩阵中两行的位置互换矩阵中两行的位置注意：注意：二、矩阵的初等行变换二、矩阵的初等行变换1.定义定义数域数域P上的矩阵的初等行变换是指：上的矩阵的初等行变换是指：矩阵矩阵A经初等行变换变成矩阵经初等行变换变成矩阵B，一般地一般地AB如果矩阵如果矩阵A的任一行从第一个元素起至该行的的任一行从第一个元素起至该行的2.2.阶梯形矩阵阶梯形矩阵 第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为为0，则它的下面各行也全
19、为，则它的下面各行也全为0，则称矩阵，则称矩阵A为为阶梯形矩阵阶梯形矩阵 任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵化成阶梯形矩阵性质性质1 1 例例1 计算行列式计算行列式 三、行列式的计算三、行列式的计算方法：方法：阶梯阵，从而算得行列式的值阶梯阵，从而算得行列式的值对行列式对行列式 中的中的A作初等行变换，把它化为作初等行变换，把它化为1) 以以P中一个非零数中一个非零数k乘矩阵的一列；乘矩阵的一列；2) 把矩阵的某一列的把矩阵的某一列的k倍加到另一列，倍加到另一列， ；3) 互换矩阵中两列的位置互换矩阵中两列的位置四、矩阵的初等列变换四、
20、矩阵的初等列变换定义定义数域数域P上的矩阵的初等列变换是指：上的矩阵的初等列变换是指：矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换注意：注意：把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值计算行列式计算行列式 时，也可对时，也可对A作初等列变换，作初等列变换，也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样可使行列式的计算更简便可使行列式的计算更简便一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式二、行列式按行二、行列式按行( (列列) )展开法则展开法则引入引入可见，三级行列式可通过二级行列式来表示
21、可见，三级行列式可通过二级行列式来表示一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式定义定义在在 n 级行列式级行列式 中将元素中将元素 所在的所在的第第 i 行行与第与第 j 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原位置个元素按原位置次序构成一个次序构成一个 级的行列式，级的行列式，称之为元素称之为元素 的的余子式余子式, ,记作记作 令令称称 之为元素之为元素 的的代数余子式代数余子式注：注： 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式和代数余子式无关，只与该元素的在行列式中的位置有关无关，只与该元素的在行列式中的位置有关 元素元素 的余子式和代数余
22、子式与的余子式和代数余子式与 的大小的大小元素除元素除 外都为外都为 0，则，则1.1.引理引理二二 、行列式按行、行列式按行( (列列) )展开法则展开法则若若n 级行列式级行列式 D = 的的 中第中第 i 行所有行所有证：证： 先证的情形，即先证的情形，即由行列式的定义，有由行列式的定义，有结论成立。结论成立。一般情形：一般情形：结论成立。结论成立。2.2.定理定理行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，对应的代数余子式乘积之和，即即或或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则证：证： 例例1. .计算行列式计算
23、行列式 解：解： 例例2. .证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式 证：用数学归纳法证：用数学归纳法. . 时，时， 假设对于假设对于 级范德蒙行列式结论成立即级范德蒙行列式结论成立即结论成立结论成立把把 从第从第 n 行开始，后面一行减去前面一行的行开始，后面一行减去前面一行的倍，得倍，得下证对于下证对于 n 级范德蒙行列式级范德蒙行列式 结论也成立结论也成立.范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等中至少两个相等注：注：3.3.推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证
24、相同相同 当当 时时, ,同理可证同理可证, ,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：例例3. .设设 求求 解：解：和和例例4. .证明：证明： 对k用数学归纳法一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、克兰姆法则及有关定理二、克兰姆法则及有关定理一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念设线性方程性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组若常数若常数项不全不全为零，零，则称称为简记为则称称为齐次线性方程组齐次线性方程组 若常数若常数项 即即简记为(1)非齐次线性方程组非齐次线性方程组(m=n时的
25、情况时的情况)(2)齐次线性方程组齐次线性方程组(m=n时的情况时的情况)线性方程组线性方程组（1）(2)的系数的系数行列式行列式 对于于齐次次线性方程性方程组除零解外的解（若还有的话）称为除零解外的解（若还有的话）称为非零解非零解注：注：一定是它的解，称之为一定是它的解，称之为零解零解二、克莱姆法则二、克莱姆法则定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组（1）的系数的系数行列式行列式 则方程方程组()有唯一解有唯一解其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列所得的一个所得的一个 n 阶行列式，即行列式，即的元素用方程的元素用方程组（1）的常数）的常数项代代换 资料：资料： 克莱姆是瑞士数学家，
26、克莱姆是瑞士数学家，1704年年7月月31日生日生于日内瓦，于日内瓦，1752年年1月月4日去世于法国塞兹河畔日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒的巴尼奥勒.早年在日内瓦读书，早年在日内瓦读书，1724年起在日年起在日内瓦加尔文学院任教，内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，年成为几何学教授，1750年任哲学教授年任哲学教授. 他一生未婚，专心治学，平他一生未婚，专心治学，平易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会成员柏林研究院和法国、意大利等学会成员. 1750年，他在专著年，他在专著线性代数分析导论线性代数分析导论
27、中提出了克莱姆法则中提出了克莱姆法则.(其实莱布尼兹（其实莱布尼兹（1693年）年）和马克劳林（和马克劳林（1748年）也给出了该法则，但他们年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，故流传下来的记法不如克莱姆，故流传下来).注：注：在第三章中还将证明这个条件也是充分的在第三章中还将证明这个条件也是充分的 即即有非零解有非零解 例例2：问：问 取何取何值时，齐次次线性方程性方程组有非零解有非零解?解解:若方程若方程组有非零解，有非零解，则 当当 时时，方程，方程组有非零解有非零解评论： cramer法则给出一类线性方程组的公式解，明确了解与系数的关系，这在以后的许多问题的讨论中是重要的，同时
28、便于编成程序在计算机上进行计算. 但作为一种计算方法而言要解一个n个未知量、n个方程的线性方程组，要计算n+1个n阶行列式，计算量较大.另一方面该公式对n个未知量，m个方程的一般线性方程组的求解就无能为力。一、一、k k 级子式余子式代数余子式级子式余子式代数余子式二、拉普拉斯二、拉普拉斯(Laplace)(Laplace)定理定理三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则拉普拉斯（749-1827）：法国数学家，物理学家,16岁入开恩大学学习数学，后为巴黎军事学院教授.曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑革职.也曾担任过法兰西学院院长.写了天体力学（共5卷）,关于几率的分析理论的不朽著作，赢得“法兰西
29、的牛顿”的美誉.拉普拉斯的成就巨大，现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、拉普拉斯展开式等. 他正好死于牛顿死亡的第100年，他的最后一句话是我们知之甚少，不知道的却甚多.一、一、k k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级行列式行列式 D 中任意中任意选定定 k 行行 k 列列按照按照原来次序原来次序组成一个成一个 k 级行列式行列式 M，称称为行列行列 ( ) )，位于位于这些行和列的交些行和列的交叉点上的叉点上的 个元素个元素式式 D 的一个的一个 k 级子式级子式；在；在 D 中划去这中划去这 k 行行 k 列后列后 式式 ，称，称为
30、 k 级子式子式 M 的的余子式余子式； 余下的元素按照原来的次序组成的余下的元素按照原来的次序组成的 级级 行列行列 若若 k 级子式级子式 M 在在 D 中所在的行、列指标分别是中所在的行、列指标分别是 ，则在在 M 的余子式的余子式前前后称之后称之为为 M 的的代数代数加上符号加上符号余子式余子式，记为 . 注：注： k 级子式不是唯一的子式不是唯一的.（任一（任一 n 级行列式有级行列式有 个个 k 级子式）子式） 时，D本身本身为一个一个n级子式子式时，D中每个元素都是一个中每个元素都是一个1级子式；子式；二二.Laplace .Laplace 定理定理由由这 k 行行元素所组成的一
31、切元素所组成的一切k级子式与它们的级子式与它们的设在行列式在行列式 D 中任意取中任意取 k ( )行，行，代数余子式的乘积和等于代数余子式的乘积和等于 D即即若若 D 中取定中取定 k 行后，由行后，由这 k 行得到的行得到的 k 级子式子式则 .，它，它们对应的代数余子的代数余子式分别为式分别为为 时，时，即为行列式即为行列式 D 按某行展开；按某行展开； 注：注：为行列式为行列式 D 取定前取定前 k 行运用行运用Laplace 定理结果定理结果 例例1：计算行列式：计算行列式 解解： 取第1,3行D=(-2)1+0(-2)+(-1)5+20+60+(-1)0=-7例例2. .证明：证明： 三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则设有两个有两个n 级行列式行列式其中其中则则证：证：作一个作一个2n级的行列式级的行列式由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 又又对D作初等行作初等行变换：可得可得这里里从而从而 例例3 计算计算左边=
