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1、高三函数综合题1.已知函数 f（x）=2 +2 a（常数 aR） （1）若 a=-1，且 f（x）=4，求 x 的值；（2）若 a4，求证函数 f（x）在1，+）上是增函数；2（3）若存在 x0，1，使得 f（2x）f（x） 成立，求实数 a 的取值范围22.已知函数 f（x）=x +（x-1）|x-a|（1）若 a=-1，解方程 f（x）=1；（2）若函数 f（x）在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（3）若 a1 且不等式 f（x）2x-3 对一切实数 xR 恒成立，求 a 的取值范围3.已知函数 f（x）=x|x-a|+2x-3（1）当 a=4，2x5，求函数 f（x）的最大值与
2、最小值；（2）若 xa，试求 f（x）+30 的解集；x-x（3）当 x1，2时，f（x）2x-2 恒成立，求实数 a 的取值范围4.已知函数 f（x）=x -1，g（x）=a|x-1|（1）若函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当 a-3 时，求函数 h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值答案详解1.已知函数 f（x）=2 +2 a（常数 aR） （1）若 a=-1，且 f（x）=4，求 x 的值；（2）若 a4，求证函数 f（x）在1，+）上是增函数；2（3）若存在 x0，1，使得 f（2x）f（x） 成立，求实数 a 的取值范
3、围x-xx解：（1）由 a=-1，f（x）=4，可得 2 -2 =4，设 2 =t，x-x2则有 t-t =4，即 t -4t-1=0，解得 t=25，当 t=2+5时，有 2 =2+5，可得 x=log2(2+5)-12x当 t=2-5时，有 2 =2-5，此方程无解故所求 x 的值为 log2(2+5)x（2）设 x1，x21，+），且 x1x2，则 f(x1)-f(x2)=(21+2xxx-x1a)-(22+2xxx-x2a)=(21-22)+xx2x2 2x1x2x12a=2x1 2x1x2x22(2x +x12-a)x +x由 x1x2，可得 2122，即 21-220，由x1，x2
4、1，+），x1x2，得 x1+x22，故 21240，x +xx +x又 a4，故 212a，即 212-a0，所以 f（x1）-f（x2）0，即 f（x1）f（x2），故函数 f（x）在1，+）上是增函数x-x（3）因为函数 f（x）=2 +2 a，存在 x0，1，22x-2x2x-2x2-2x2f（2x）f（x） 2 +2 a2 +2a+2 a 2 （a -a）+2a0设 t=2 ，由 x0，1，可得 t-2x12，1，由存在 x0，1使得 f（2x）f（x） ，4可得存在 t122，1，使得（a -a）t+2a0，令 g（t）=（a -a）t+2a0，4故有 g(1122)=(a -a)
5、+2a 0 或 g（1）=（a -a）+2a0，44可得-7a0即所求 a 的取值范围是（-7，0）22.已知函数 f（x）=x +（x-1）|x-a|（1）若 a=-1，解方程 f（x）=1；（2）若函数 f（x）在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（3）若 a1 且不等式 f（x）2x-3 对一切实数 xR 恒成立，求 a 的取值范围2x2 1x 1解析：（1）当 a=-1 时，f（x）=x +（x-1）|x+1|，故有，f(x)=，x 112当 x-1 时，由 f（x）=1，有 2x -1=1，解得 x=1，或 x=-1当 x-1 时，f（x）=1 恒成立，方程的解集为x|x-1
6、 或 x=122x2(a 1)xa xa（2）f(x)=(a 1)xaxaa 1a若 f（x）在R 上单调递增，则4a 1 0，解得a11，当a时，f（x）在R 上单调递增332x2(a 3)xa 3,xa（3）设 g（x）=f（x）-（2x-3），则g(x)=，(a 1)xa 3,xa不等式 f（x）2x-3 对一切实数 xR 恒成立，等价于不等式 g（x）0 对一切实数 xR 恒成立a1，当 x（-，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a2-2a+3，+），a2-2a+3=（a-1）2+22，g（x）0 成立当 xa，+）时，由 a1，知aa 34，g（x）在 x=a 34处取得最小值，令
7、g(a 34(a 3)2)=a+3-0，解得-3a5，又 a1，-3a1综上，a-3，1）83.已知函数 f（x）=x|x-a|+2x-3（1）当 a=4，2x5，求函数 f（x）的最大值与最小值；（2）若 xa，试求 f（x）+30 的解集；（3）当 x1，2时，f（x）2x-2 恒成立，求实数 a 的取值范围解析：（1）当 a=4 时，f（x）=x|x-4|+2x-3，22x4 时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3） +6，当 x=2 时，f（x）min=5；当 x=3 时，f（x）max=62当 4x5 时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1） -4，当 x=4 时，
8、f（x）min=5；当 x=5 时，f（x）max=12综上所述，当 x=2 或 4 时，f（x）min=5；当 x=5 时，f（x）max=12（2）若 xa，f（x）+3=xx-（a-2），当 a2 时，xa-2，或 x0，因为 aa-2，所以 xa；当 a=2 时，得 x0，所以 xa；当 a2 时，x0，或 xa-2，若 0a2，则 xa；若 a0，则 x0综上可知：当 a0 时，所求不等式的解集为a，+）；（10 分）当 a0 时，所求不等式的解集为（0，+）（12 分）（3）当 x1，2时，f（x）2x-2，即 x|x-a|1-1111x-ax-ax+xxxx因为 x-131在 x
9、1，2上增，最大值是 2-=，22xx+331在 x1，2上增，最小值是 2，故只需a2故实数 a 的取值范围是a222x24.已知函数 f（x）=x -1，g（x）=a|x-1|（1）若函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当 a-3 时，求函数 h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值解： （1）函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即 h（x）=|f（x）|-g（x）=|x -1|-a|x-1|只有一个零点，显然 x=1 是函数的零点，即|x+1|-a=0 无实数根，a0；2x2axa 11 x 222（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x -1|+a|x-1|=xaxa 1 1 x 1，x2axa 1 2 x 1当 1x2 时，a-3，-a3，当 x=2 时，h（x）的最大值为 h（2）=a+3；22当-2x-1 时，3a-，当 x=-2 时，h（x）的最大值为 h（-2）=3a+3；22当-1x1 时，h（x）的最大值为 maxh（-1），h（1），h（-a1212）=max2a，0，a +a+1=a244+a+1 ，a 3 3 a 0函数 h（x）最大值为 h（a）=3a 30 x 4 2 6.1a2a 1a 4 2 64
