高三数学函数综合题训练(含详解)

高三函数综合题1.已知函数 f（x）=2 +2 a（常数 a∈R） ．（1）若 a=-1，且 f（x）=4，求 x 的值；（2）若 a≤4，求证函数 f（x）在[1，+∞）上是增函数；2（3）若存在 x∈[0，1]，使得 f（2x）＞[f（x）] 成立，求实数 a 的取值范围．22.已知函数 f（x）=x +（x-1）|x-a|．（1）若 a=-1，解方程 f（x）=1；（2）若函数 f（x）在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（3）若 a＜1 且不等式 f（x）≥2x-3 对一切实数 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．3.已知函数 f（x）=x|x-a|+2x-3．（1）当 a=4，2≤x≤5，求函数 f（x）的最大值与最小值；（2）若 x≥a，试求 f（x）+3＞0 的解集；x-x（3）当 x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2 恒成立，求实数 a 的取值范围．4.已知函数 f（x）=x -1，g（x）=a|x-1|．（1）若函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当 a≥-3 时，求函数 h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．答案详解1.已知函数 f（x）=2 +2 a（常数 a∈R） ．（1）若 a=-1，且 f（x）=4，求 x 的值；（2）若 a≤4，求证函数 f（x）在[1，+∞）上是增函数；2（3）若存在 x∈[0，1]，使得 f（2x）＞[f（x）] 成立，求实数 a 的取值范围．x-xx解：（1）由 a=-1，f（x）=4，可得 2 -2 =4，设 2 =t，x-x2则有 t-t =4，即 t -4t-1=0，解得 t=2±5，当 t=2+5时，有 2 =2+5，可得 x=log2(2+5)．-12x当 t=2-5时，有 2 =2-5，此方程无解．故所求 x 的值为 log2(2+5)．x（2）设 x1，x2∈[1，+∞），且 x1＞x2，则 f(x1)-f(x2)=(21+2xxx-x1a)-(22+2xxx-x2a)=(21-22)+xx2x2 2x1x2x12a=2x1 2x1x2x22(2x +x12-a)x +x由 x1＞x2，可得 21＞22，即 21-22＞0，由x1，x2∈[1，+∞），x1＞x2，得 x1+x2＞2，故 212＞4＞0，x +xx +x又 a≤4，故 212＞a，即 212-a＞0，所以 f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），故函数 f（x）在[1，+∞）上是增函数．x-x（3）因为函数 f（x）=2 +2 a，存在 x∈[0，1]，22x-2x2x-2x2-2x2f（2x）＞[f（x）] ⇔2 +2 a＞2 +2a+2 a ⇔2 （a -a）+2a＜0设 t=2 ，由 x∈[0，1]，可得 t∈[-2x12，1]，由存在 x∈[0，1]使得 f（2x）＞[f（x）] ，4可得存在 t∈[122，1]，使得（a -a）t+2a＜0，令 g（t）=（a -a）t+2a＜0，4故有 g(1122)=(a -a)+2a ＜0 或 g（1）=（a -a）+2a＜0，44可得-7＜a＜0．即所求 a 的取值范围是（-7，0）．22.已知函数 f（x）=x +（x-1）|x-a|．（1）若 a=-1，解方程 f（x）=1；（2）若函数 f（x）在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（3）若 a＜1 且不等式 f（x）≥2x-3 对一切实数 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．2x2 1x 1解析：（1）当 a=-1 时，f（x）=x +（x-1）|x+1|，故有，f(x)=，x 112当 x≥-1 时，由 f（x）=1，有 2x -1=1，解得 x=1，或 x=-1．当 x＜-1 时，f（x）=1 恒成立，∴方程的解集为{x|x≤-1 或 x=1}．22x2(a 1)xa xa（2）f(x)=(a 1)xaxaa 1a若 f（x）在R 上单调递增，则4a 1  0，解得a≥11，∴当a≥时，f（x）在R 上单调递增．332x2(a 3)xa 3,xa（3）设 g（x）=f（x）-（2x-3），则g(x)=，(a 1)xa 3,xa不等式 f（x）≥2x-3 对一切实数 x∈R 恒成立，等价于不等式 g（x）≥0 对一切实数 x∈R 恒成立．∵a＜1，∴当 x∈（-∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a2-2a+3，+∞），∵a2-2a+3=（a-1）2+2≥2，∴g（x）≥0 成立．当 x∈[a，+∞）时，由 a＜1，知a＜a 34，g（x）在 x=a 34处取得最小值，令g(a 34(a 3)2)=a+3-≥0，解得-3≤a≤5，又 a＜1，∴-3≤a＜1．综上，a∈[-3，1）．83.已知函数 f（x）=x|x-a|+2x-3．（1）当 a=4，2≤x≤5，求函数 f（x）的最大值与最小值；（2）若 x≥a，试求 f（x）+3＞0 的解集；（3）当 x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2 恒成立，求实数 a 的取值范围．解析：（1）当 a=4 时，f（x）=x|x-4|+2x-3，2①2≤x＜4 时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3） +6，当 x=2 时，f（x）min=5；当 x=3 时，f（x）max=62②当 4≤x≤5 时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1） -4，当 x=4 时，f（x）min=5；当 x=5 时，f（x）max=12综上所述，当 x=2 或 4 时，f（x）min=5；当 x=5 时，f（x）max=12（2）若 x≥a，f（x）+3=x[x-（a-2）]，当 a＞2 时，x＞a-2，或 x＜0，因为 a＞a-2，所以 x≥a；当 a=2 时，得 x≠0，所以 x≥a；当 a＜2 时，x＞0，或 x＜a-2，①若 0＜a＜2，则 x≥a；②若 a≤0，则 x＞0综上可知：当 a＞0 时，所求不等式的解集为[a，+∞）；（10 分）当 a≤0 时，所求不等式的解集为（0，+∞）（12 分）（3）当 x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2，即 x•|x-a|≤1⇔-1111≤x-a≤⇔x-≤a≤x+xxxx因为 x-131在 x∈[1，2]上增，最大值是 2-=，22xx+331在 x∈[1，2]上增，最小值是 2，故只需≤a≤2．故实数 a 的取值范围是≤a≤2．22x24.已知函数 f（x）=x -1，g（x）=a|x-1|．（1）若函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当 a≥-3 时，求函数 h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．解： （1）∵函数 h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即 h（x）=|f（x）|-g（x）=|x -1|-a|x-1|只有一个零点，显然 x=1 是函数的零点，∴即|x+1|-a=0 无实数根，∴a＜0；2x2axa 11 x 222（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x -1|+a|x-1|=xaxa 1  1 x 1，x2axa 1 2 x 1当 1＜x≤2 时，∵a≥-3，∴-a3≤，当 x=2 时，h（x）的最大值为 h（2）=a+3；22当-2≤x＜-1 时，3a≥-，当 x=-2 时，h（x）的最大值为 h（-2）=3a+3；22当-1≤x≤1 时，h（x）的最大值为 max{h（-1），h（1），h（-a1212）}=max{2a，0，a +a+1}=a244+a+1 ，a 3 3 a 0∴函数 h（x）最大值为 h（a）=3a 30 x 4  2 6.1a2a 1a 4  2 64。