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1、经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如行最简形矩阵行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如矩阵的标准形矩阵的标准形所有与所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组成的一个集合，称
2、为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵定义定义矩阵的秩矩阵的秩定义定义定理定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数矩阵秩的性质及定理矩阵秩的性质及定理定理定理定理定理线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写
3、出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解10线性方程组的解法线性方程组的解法定理定理11初等矩阵与初等变换的关初等矩阵与初等变换的关系系定理定理推论推论一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题典型例题求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，则这个子
4、式的阶数就是矩阵的秩一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩（）用初等变换即用矩阵的初等行（或（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用例例求下列矩
5、阵的秩求下列矩阵的秩解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形当方程的个数与未知数的个数不相同时，一当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则二、求解线性方程组二、求解线性方程
6、组例例求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解解解对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使进行初等行变换，使其成为行最简单形其成为行最简单形由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知量的个数是，故有一个自由未知量量的个数是，故有一个自由未知量.例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解解法一解法一系数矩阵的行列式为系数矩阵的行列式为从而得到方从而得到方程组的通解程组的通解解法二解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的
7、初等变换法例例求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵解解注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换间不能作任何行变换四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法或者或者例例解解第三章测试题第三章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共2424分分) )1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；
8、当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解程组有无穷多解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是4 4线性方程组线性方程组有解的充要条件是有解的充要条件是二、计算题二、计算题( (第第1 1题每小题题每小题8 8分，共分，共1616分；第分；第2 2题每题每小题小题9 9分，共分，共1818分；第分；第3 3题题1212分分) )2 2求解下列线性方程组求解下列线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解求其通解三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵四、证明题四、证明题( (每小题每小题8 8分，共分，共1616分分) )( (每小题每小题7 7分，共分，共1414分分) )测试题答案测试题答案
