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1、1第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 9.3 Laplace 逆变换逆变换一、一、反演积分公式反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 二、二、求求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法2第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 一、一、反演积分公式反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 1. 公式推导公式推导 函数函数 的的 Laplace 变换变换 就是函数就是函数 的的 Fourier 变换，变换， 即即 在在 的连续点的连续点 t 处，有处，有 (2) 根据根据 Fourier 逆变换，逆变换， (1) 由由 Laplace 变换
2、与变换与 Fourier 变换的关系可知，变换的关系可知， 推导推导 3第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 一、一、反演积分公式反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 1. 公式推导公式推导 在在 的连续点的连续点 t 处，有处，有 (2) 根据根据 Fourier 逆变换，逆变换， 推导推导 (3) 将上式两边同乘将上式两边同乘 并由并由 有有 即得即得 4第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 称称 (B) 式为式为反演积分公式反演积分公式。 定义定义 该直线处于该直线处于 的存在域中。的存在域中。 注注 反演积分公式反演积分公式中的积分路径是中
3、的积分路径是 s 平面上的一条直线平面上的一条直线 c P227 ( ( 9.16 ) )式式 一、一、反演积分公式反演积分公式 Laplace 逆变换公式逆变换公式 2. 反演积分公式反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对变换对: 5第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 二、二、求求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法1. 留数法留数法 利用留数计算反演积分。利用留数计算反演积分。 则则 设函数设函数 除在半平面除在半平面 内有有限个孤立奇点内有有限个孤立奇点 定理定理 且当且当 时，时， 外是解析的，外是解析的， 证
4、明证明 ( (略略) ) P227定理定理 9.2 ( (进入证明进入证明?)?)6第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 二、二、求求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法2. 查表法查表法 此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。 利用利用 Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的变换的性质，并根据一些已知函数的 Laplace变换来求逆变换。变换来求逆变换。 大多数情况下，象函数大多数情况下，象函数 常常为常常为( (真真) )分式形式：分式形式： 其中，其中，P(s) 和和 Q(s) 是实系数多项式。是实系数多项式。 由于真
5、分式总能进行部分分式分解，由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用因此，利用查表法查表法 很容易得到很容易得到象原函数。象原函数。 常用常用 ( (真分式的部分分式分解真分式的部分分式分解) )7第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 二、二、求求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法2. 查表法查表法 几个常用的几个常用的 Laplace 逆变换的性质逆变换的性质 8第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 二、二、求求 Laplace 逆变换的方法逆变换的方法2. 查表法查表法 几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 逆变换逆变换 9第九章 拉普拉斯变
6、换 9.3 Laplace 逆变换 (1) ( (单根单根) ) 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 有有 (2) 由由 2 3 10第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法二方法二 利用利用留数法留数法求解求解 (1) 为为 的一阶极点，的一阶极点， (2) 11第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 ( (重根重根) ) (1) 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 1 - - 1 - - 1 有有 (2) 由由 P228 例例9.17 12第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法二方法二 利用利用留数
7、法留数法求解求解 (1) 分别为分别为 的一阶与二阶极点，的一阶与二阶极点， (2) 13第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 (1) 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 ( (复根复根) ) 令令 得得 令令 得得 2 14第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 (1) 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 ( (重根重根) )2 (2) 由由 得得 15第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法二方法二 利用利用留数法留数法求解求解( (略讲略讲) ) (1) 为为 的一阶极点，的一阶极点， (2) 16第九章
8、拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法一方法一 利用利用查表法查表法求解求解 方法二方法二 利用利用留数法留数法求解求解 分别为分别为 的一阶与二阶极点，的一阶与二阶极点， 17第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 解解 方法三方法三 利用利用卷积定理卷积定理求解求解 方法四方法四 利用利用积分性质积分性质求解求解 18第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 轻松一下19第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 利用留数计算反演积分的定理证明利用留数计算反演积分的定理证明 附：附： 证明证明 如图，作闭曲线如图，作闭曲线 大时，可使大
9、时，可使 的所有奇点的所有奇点包含包含 当当 R 充分充分 在在 C 围成的区域内。围成的区域内。 R L CR 解析解析 由留数定理有：由留数定理有： 由若尔当引理由若尔当引理(5.3), 当当 时，时， 即得即得 ( (返回返回) )20第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 将上式两边同乘以将上式两边同乘以 得得 1. Q(s) 含单重一阶因子的情况含单重一阶因子的情况 若若 Q(s) 含单重一阶因子含单重一阶因子 即即 则则 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式 附：附： 令令 即得即得 21第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 2. Q
10、(s) 含多重一阶因子的情况含多重一阶因子的情况 若若 Q(s) 含多重一阶因子含多重一阶因子 即即 则则 将上式两边同乘以将上式两边同乘以 得得 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： 22第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 2. Q(s) 含多重一阶因子的情况含多重一阶因子的情况 两边逐次求导，并令两边逐次求导，并令 即得即得 令令 即得即得 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： 23第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： 上面讨论了上面讨论了
11、含单重和多重一阶因子的情况，如果是含单重和多重一阶因子的情况，如果是 在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。在复数范围内进行分解，这两种情况已经够了。 但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。但如果仅在实数范围内进行分解，这两种情况还不够。 即如果复数即如果复数 为为 的零点，那么它的共轭复数的零点，那么它的共轭复数 也必为也必为 的零点。的零点。 因此，因此， 必含有必含有( (实的实的) ) 由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的，由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的， 下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。 二阶因子二阶
12、因子 24第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 则则 将上式两边同乘以将上式两边同乘以 得得 3. Q(s) 含单重二阶因子的情况含单重二阶因子的情况 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： 若若 Q(s) 含单重二阶因子含单重二阶因子 即即 令令 有有 25第九章 拉普拉斯变换 9.3 Laplace 逆变换 3. Q(s) 含单重二阶因子的情况含单重二阶因子的情况 将实系数真分式将实系数真分式 化为部分分式化为部分分式附：附： 令令 有有 则则 求出系数求出系数 C 和和 D 后，后， 则则 的逆变换不难得到：的逆变换不难得到： 4. Q(s) 含多重二阶因子的情况含多重二阶因子的情况 ( (略略) ) ( (返回返回) )
