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1、第五章第五章 多元函数的微分学多元函数的微分学5.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念5.2 多元函数的偏导数多元函数的偏导数5.3 多元函数的全微分多元函数的全微分5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则多元复合函数及隐藏函数求导法则5.5 多元函数的极限多元函数的极限5.6 多元函数微分法在经济上的应用多元函数微分法在经济上的应用5.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面点集一、平面点集例例1:例例2:yxo定义定义x-rrr 例例3:y-ro二、邻域二、邻域内点内点:外点外点:界点界点:E 边界点边界点 外点外点内点内点 E.开集开集:开区域开区域:注意：开集不一定是开区域注
2、意：开集不一定是开区域yxoooo闭区域闭区域:区域区域:有界区域与无界区域有界区域与无界区域二、空间解析几何简介二、空间解析几何简介1. 空间直角坐标系空间直角坐标系O-XYZ(右手法则右手法则)坐标轴坐标轴:坐标原点坐标原点:坐标平面坐标平面:卦限卦限:八个卦限八个卦限空间内的点空间内的点问题：空间任一点的坐标如何确定呢？O4、空间曲面与曲面方程、空间曲面与曲面方程(3)特殊平面的方程特殊平面的方程(4) 球面方程球面方程问题：如何认识空间任一张曲面的图形呢？（有兴趣的同学可阅读相关资料）(5) 柱面方程柱面方程圆锥面方程椭球面方程椭圆抛物面方程双曲抛物面方程三、多元函数的极限与连续三、多
3、元函数的极限与连续1、多元函数的定义、多元函数的定义定义定义1定义域的求法例例1:解解:yyyyyxooooo oo000oOo0oo对应关系的求法例例2:解解:二元函数的几何意义2.二元函数的极限例例1.二元函数的连续性二元函数的连续性若若则称函数则称函数在点在点处处连续连续若函数若函数在区域内每一点都连续，在区域内每一点都连续，则称函数则称函数在内在内连续，连续，或称或称是内的连续函数是内的连续函数若函数若函数在点在点处不连续，处不连续，则称点则称点为为的的间断点间断点例如，例如，间断点为：间断点为：定义定义3在有界闭区域上二元连续函数具有性质：在有界闭区域上二元连续函数具有性质：性质性质
4、（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值性质性质（介值定理）（介值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值小值之间的任何数值二元初等函数二元初等函数在其定义区域内连续在其定义区域内连续结论结论二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数例例45.2 多元函数的偏导数多元函
5、数的偏导数设函数设函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，当固定当固定而而在在处有增量处有增量时，函数的增量时，函数的增量存在，存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数在点在点处对处对的偏导数的偏导数.记作记作:或或若极限若极限定义定义1即即在点在点处对处对的偏导数定义为的偏导数定义为:类似类似,函数函数也记作也记作是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,结论结论视视 y 为常量，为常量，对对 x 求导求导.视视 x 为常为常量，量，对对 y 求导求导.若函数若函数在区域在区域D内每一点内每一点处对处对的偏导数都存在的偏导数都存在,偏导
6、数就是偏导数就是的函数的函数, 称为函数称为函数对对的偏导的偏导(函函)数数.记作记作类似定义函数类似定义函数对对的偏导数的偏导数.记作记作:说明说明对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时,只需视其它变量为常量只需视其它变量为常量,求导即可求导即可.根据一元函数的求导根据一元函数的求导公式和求导法则公式和求导法则,同理可定义多元函数的偏导数同理可定义多元函数的偏导数xyzSo二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,由一元函数导数的几何意义知由一元函数导数的几何意义知在几何上表示空间曲线在几何上表示空间
7、曲线在点在点处的切线对处的切线对轴的斜率轴的斜率.类似类似,在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线在点在点处的切线对处的切线对轴的斜率轴的斜率.二、偏导数的计算例例1.求求的偏导数的偏导数.解解例例2.求求处的偏导数处的偏导数.在点在点解解例例3.求求的偏导数的偏导数.解解例例4.求求的偏导数的偏导数.解解例例5. 已知已知求求:解解:例例6.求函数求函数在原点处的偏导数在原点处的偏导数.解解二元函数在某一点处偏导数存在二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续但未必连续.不存在不存在二、高阶偏导数二、高阶偏导数设函数设函数在区域在区域D 内有偏导数内有偏导数若这两个函数的偏导数存在，若这两个
8、函数的偏导数存在，称其为函数称其为函数的的二阶偏导数二阶偏导数混混合合偏偏导导数数类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数.解解例例1.设设求它的二阶偏导数求它的二阶偏导数.再求再求例例2.验证函数验证函数满足方程满足方程证证证证由自变量的对称性知由自变量的对称性知例例3.证明函数证明函数满足方程满足方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程)定理定理1解解答答5.3 多元函数的全微分多元函数的全微分一、一、 全微分的定义与计算全微分的定义与计算设函数设函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，分
9、别给分别给一增量一增量函数相应的全增量函数相应的全增量若全增量可表示为若全增量可表示为:其中其中仅与仅与有关，与有关，与无关，无关，则称函数则称函数在点在点处可微处可微.定义定义1称为函数称为函数在点在点处的全微分处的全微分.即即记作记作若函数若函数在区域在区域D内各点处都可微内各点处都可微,则称函数在则称函数在D内可微内可微.定理定理1若函数若函数在点在点处可微分处可微分.则该函数则该函数在点在点的偏导数的偏导数必定存在必定存在,且且证证 由由特别特别同理可证同理可证类似于一元函数类似于一元函数,记记或或注意注意 若函数若函数 在点在点存在存在处的偏导数处的偏导数函数在该点不一定可微函数在该
10、点不一定可微.例例证明函数证明函数 在原点的两个偏导数存在在原点的两个偏导数存在,但不可微但不可微.解解函数函数 在原点的全增量在原点的全增量函数函数 在原点的全微分在原点的全微分而而且且不存在不存在所以由定义知函数在原点不可微所以由定义知函数在原点不可微.定理定理2 (充分条件充分条件)若函数若函数在点在点 的某邻域内有连续的偏导数的某邻域内有连续的偏导数,则函数在该点可微则函数在该点可微. 且且若函数若函数在点在点 可微可微则则解解例例1.求函数求函数在点在点 (2,1) 处当处当时的全微分和全增量时的全微分和全增量.例例2.求下列函数的全微分求下列函数的全微分:解解(1).例例1.设设求
11、求解解例例2. 设设解解:例例若函数若函数都在点都在点 x 处可导处可导,函数函数在对应点在对应点处可微处可微,则复合函数则复合函数在点在点 x 处可导处可导,且且全导数全导数推论推论1.函数函数则复合函数则复合函数在点在点 x 的导数的导数全导数全导数推论推论2.以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.说明说明例例5.求求解解例例4.求求解解解解:设设因此因此例例6.且存在一阶连续偏导数，求且存在一阶连续偏导数，求例例7设设解：解：设设例例8.解解:而而于是于是也可以在求出一阶偏导数后也可以在求出一阶偏导数后,把代入再求二阶偏导数把代
12、入再求二阶偏导数例例9设设具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解令则则一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性则则则仍有则仍有例例解解所以所以二、隐函数求导法则二、隐函数求导法则方程两边对方程两边对求偏导求偏导同理同理例例1. 设设,求求解解 法法1 法法2 两边关于两边关于x求导求导 两边关于两边关于y求导求导 方法三方法三:方程两边求微分方程两边求微分例例2. 设设,求求及及解：解：法法1法法2 两边关于两边关于x求导求导例例3.设设, 求求解解例例4设有连续偏导数，设有连续偏导数，分别由方程分别由方程解解又由两边对求导得又由两边对求导得所以所以又由两边对求导得又由两边对求导得5.
13、5 多元函数的极值多元函数的极值一一. . 极值的概念极值的概念对于该邻域内任一点对于该邻域内任一点, 若恒有不等式若恒有不等式则称该函数在点则称该函数在点 P 处有处有极大值极大值则称该函数在点则称该函数在点P 处有处有极小值极小值在点在点某邻域内有定义某邻域内有定义,设函数设函数定义定义1极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理2(必要条件必要条件) 设函数设函数在点在点处偏导数存在处偏导数存在,并取得极值并取得极值, 则则证明证明:不妨设不妨设在点在点处取得极大值处取得极大值.则则, 特别地特别地,取取有有在在
14、x=x0 点取得极大值，由一元函数极值必要条件知点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,同理同理,使使 同时成立的点同时成立的点,的的驻点驻点.称为函数称为函数 考虑一元函数考虑一元函数定理定理2 (充分条件充分条件),令令(1).若若, 有极值有极值,(2).若若无极值无极值.(3).若若情况不定情况不定.时有极大值时有极大值时有极小值时有极小值且且设函数设函数在点在点某邻域内有一阶及二阶连续某邻域内有一阶及二阶连续偏导数偏导数,且且(1)中的中的A换为换为C结论不变结论不变例例1. 求函数求函数的极值的极值.解解:得驻点得驻点:在点在点处处, 有极小值有极小值在点在点处处, 无极值无极值.
15、, 无极值无极值., 有极大值有极大值在点在点处处在点在点处处, 最大值、最小值最大值、最小值区域内任一点区域内任一点若恒有不等式若恒有不等式则称则称 为函数在为函数在 D内的最大值内的最大值在平面区域在平面区域内有定义内有定义,对于该对于该设函数设函数则称则称 为函数在为函数在 D内的最小值内的最小值定义定义使函数取得最值的点称为最值点使函数取得最值的点称为最值点.最大值与最小值统称为最值最大值与最小值统称为最值.函数函数在点在点处取得最小值处取得最小值0在点在点处取得最大值处取得最大值2.如如函数函数最大值、最小值的求法最大值、最小值的求法最值点只可能是以下三种类型的点：最值点只可能是以下
16、三种类型的点：（1）边界点）边界点求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值求出该函数在这些点上的函数值，比较大小即可求得最值在有界闭区域在有界闭区域 上连续，则一定有最值。上连续，则一定有最值。设函数设函数（2）驻点）驻点（3）偏导数不存在的点）偏导数不存在的点根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻根据实际问题知函数的最值只在内部点上取到，且只有唯一驻点点(极值点极值点)，没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最没有偏导数不存在的点，则此时可断定函数在此驻点上取到最值值例例2. 在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面在十字路口要建造一间长方体
17、房屋，两面临街，临街墙面，不临街的墙面造价，不临街的墙面造价，屋顶造价，屋顶造价设房屋容积为设房屋容积为，问：长、宽、高各多少，问：长、宽、高各多少 时造价最低时造价最低.解解:设长、宽、高分别为设长、宽、高分别为则则造价造价造价造价解得解得答：当长、宽均为答：当长、宽均为，高为，高为时，时，造价最低。造价最低。二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求函数求函数在条件在条件下的极值。下的极值。拉格郎日乘数法：拉格郎日乘数法：(1). 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:(2). 联立联立解得解得则点则点可能为极值点可能为极值点.(3). 再讨论再讨论. (根据实际问题的实际意义可
18、以判断根据实际问题的实际意义可以判断.)( 为常数为常数)求函数求函数在条件在条件下的极值。下的极值。求函数求函数在条件在条件下的极值。下的极值。(1). 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:( 为常数为常数)(2). 联立联立解得解得，屋顶造价，屋顶造价造价造价，不临街的墙面造价，不临街的墙面造价在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面在十字路口要建造一间长方体房屋，两面临街，临街墙面设房屋容积为设房屋容积为例例2. ，问：长、宽、高各多少，问：长、宽、高各多少 时造价最低时造价最低.再解例再解例2.求函数求函数在条件在条件下的极值下的极值.令令,联立联立,解得解得,5.6多元函数微分法在经济上的多元函数微分法在经济上的 应用应用 (经济决策的最值问题举例)再由练习讲解练习讲解且且 存在一阶连续偏导数，求存在一阶连续偏导数，求设设解：解：设设
