《7 自旋-全同-201104》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7 自旋-全同-201104（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、量子力学量子力学第七章第七章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子缪 灵1自旋自旋是电子的一个重要特性，是电子的一个重要特性，由何而来？如何描述？由何而来？如何描述？实际体系一般由大量粒子组成，实际体系一般由大量粒子组成，多粒子多粒子体系的运动规律？体系的运动规律？问题问题问题问题21 电子的自旋电子的自旋 1943/1955诺贝尔奖诺贝尔奖 2 电子自旋的描述电子自旋的描述3 简单简单Zeeman效应效应 1902诺贝尔奖诺贝尔奖6 全同粒子体系全同粒子体系 1945/2001诺贝尔奖诺贝尔奖7 全同粒子体系的波函数全同粒子体系的波函数31 1 电子的自旋电子的自旋电子的自旋电子的自旋1、Stern
2、-Gerlach实验实验 一、自旋的实验依据一、自旋的实验依据 基基基基态态态态（S S态态态态）氢氢原原子子束束，经经过过非非非非均均均均匀匀匀匀磁磁磁磁场场场场发发生生偏偏转转，在感光板上呈现在感光板上呈现两条分立线两条分立线两条分立线两条分立线。4n n, , l l, , mm = - = -l l . 0 . +. 0 . +l l磁矩与磁场的夹角磁矩与磁场的夹角5（1）若若原原子子磁磁矩矩可可任任任任意意意意取取取取向向向向，则则 cos cos 可可在在 （-1-1，+1+1）之之间间连连续续变变化化，感感光光板板将将呈呈现现连连连连续续续续带带带带。实实验验结结果果是是出出现现
3、两两两两条条条条分分分分立立立立线线线线，说说明明 只只有有两两两两个个个个取取取取值值值值，即即原原子子的的磁矩只有两个取向磁矩只有两个取向磁矩只有两个取向磁矩只有两个取向。（2）处处于于S S 态态态态的的氢氢原原子子 l l =0=0，轨轨道道磁磁矩矩MML L=0=0，所所以以原原子子的的磁磁矩矩只只能能来来自自于于电电电电子子子子自自自自身身身身，这这说说明明电电电电子子子子自自自自身身身身具具具具有有有有一一一一固固固固有有有有磁磁磁磁矩矩矩矩，且且且且该该该该磁矩的空间取向只有两个磁矩的空间取向只有两个磁矩的空间取向只有两个磁矩的空间取向只有两个。Stern-Gerlach实验的
4、分析实验的分析6二、自旋假设的提出二、自旋假设的提出 Uhlenbeck 和和 Goudsmit在在1925年年，根根据据上上述述现现象象提提出出，电电子子具具有有一一种种特特殊殊的的运运动动自自自自旋旋旋旋。该该运运动动方方式式没没没没有有有有经经经经典典典典对对对对应应应应，不能用经典运动来解释不能用经典运动来解释不能用经典运动来解释不能用经典运动来解释（与自转有本质区别）。（与自转有本质区别）。（1）电电子子具具有有自自自自旋旋旋旋角角角角动动动动量量量量，它它在在空空间间任何方向任何方向任何方向任何方向上的上的投影投影投影投影只能取只能取两个值两个值两个值两个值：（2）电电子子具具有有
5、自自自自旋旋旋旋磁磁磁磁矩矩矩矩，它它与与自自旋旋角角动动量的关系为：量的关系为：8二、自旋假设的提出二、自旋假设的提出自旋磁矩在空间自旋磁矩在空间任何方向任何方向任何方向任何方向上的上的投影投影投影投影只能取只能取两个数值两个数值两个数值两个数值：9（1）电子自旋的回转磁比率）电子自旋的回转磁比率（2）轨道运动的回转磁比率）轨道运动的回转磁比率电子电子自旋自旋自旋自旋的回转磁比率是的回转磁比率是轨道运动轨道运动轨道运动轨道运动回转磁比率的回转磁比率的二倍二倍二倍二倍。回转磁比率回转磁比率10三、自旋的特点三、自旋的特点（1）自自旋旋运运动动是是量量子子特特性性，不不能能用用经经典典运运动动方
6、方式式来来理理解解，也也不不能用经典运动方式来描述。能用经典运动方式来描述。（2）自自旋旋角角动动量量是是电电子子的的内内禀禀特特性性，是是电电子子内内部部状状态态的的表表征征。它它与与电电子子的的坐坐标标和和动动量量无无关关，是是描描写写电电子子状状态态的的第第四四个个自自由由度度（第四个变量）。（第四个变量）。 自自旋旋运运动动通通过过自自旋旋角角动动量量来来反反映映，自自自自旋旋旋旋角角角角动动动动量量量量与与其其他他力力学学量量一一样样，也也可可用用一一个个算算算算符符符符描描写写，通通过过本本本本征征征征值值值值和和本本本本征征征征态态态态反反映映其其特特点。点。112 电子自旋的描
7、述电子自旋的描述1、自旋角动量的表示形式、自旋角动量的表示形式一、自旋算符和自旋函数一、自旋算符和自旋函数一一般般力力学学量量可可以以表表示示为坐标和动量的函数为坐标和动量的函数轨道角动量轨道角动量自旋角动量自旋角动量自旋角动量自旋角动量 与坐标、动量无关，这一公式不适用。与坐标、动量无关，这一公式不适用。12自自自自旋旋旋旋角角角角动动动动量量量量与与轨轨轨轨道道道道角角角角动动动动量量量量同同是是角角动动量量，都都满满足足同样的同样的角动量对易关系角动量对易关系角动量对易关系角动量对易关系132、自旋平方算符、自旋平方算符由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取由于自旋角动量在空间任意方
8、向上的投影只能取 /2/2 两个值两个值所以所以的本征值都是的本征值都是 /2/2，其平方为，其平方为2 2/4/4142、自旋平方算符、自旋平方算符仿照仿照自旋量子数自旋量子数自旋量子数自旋量子数 s s 只有一个数值只有一个数值1/21/215 S Sx x ,S Sy y ,S Sz z 不不对对易易，不不能能同同时时有有确确定定值值。所所以以，只只能能用用某某一一方方向向的的分分量量来来反反映映自自旋旋的的特特点点。一一般般用用S Sz z ，即即建建立立S Sz z 表表表表象象象象（或或称称S S 2 2和和S Sz z的的共共同同表表象象），在在S Sz z 表象表象表象表象研究
9、电子的运动状态。研究电子的运动状态。3、自旋算符的形式及其本征态、自旋算符的形式及其本征态（1）自自旋旋算算符符S Sx x ,S Sy y , S Sz z 的的矩矩阵阵形形式式算符在算符在自身表象自身表象自身表象自身表象为对角阵为对角阵16利用对易关系，计算利用对易关系，计算S x, S y17（2）Sz 的本征态的本征态184、Pauli算符的引入算符的引入算符算符 称为称为PauliPauli算符算符算符算符（1）Pauli算算符符的的对对易易关关系系19因为因为S Sx x, S Sy y, S Sz z的本征值都是的本征值都是 /2/2所以所以 x x, y y, z z的本征值都
10、是的本征值都是11；本征态与；本征态与S Sx x, S Sy y, S Sz z的对应相等的对应相等 x x2 2,y y2 2,z z2 2 的本征值都是的本征值都是1 1，本征态为任意函数。即，本征态为任意函数。即（2）Pauli算符的平方算符的平方20Pauli矩阵矩阵21 考考虑虑自自旋旋之之后后，体体系系的的状状态态波波函函数数应应和和坐坐标标 ( (x x, , y y, , z z) )、时时间间t t及及自自旋旋S Sz z 都都有有关关，即即态态函函数数 = =( (x x, , y y, , z z; ;t t ; ;S Sz z ) ) 。 可可向向自自旋旋的的本征态展
11、开，则有本征态展开，则有二、电子运动状态的描述二、电子运动状态的描述1、状态波函数的形式、状态波函数的形式构成列阵，构成列阵，1 1反映反映S Sz z= = /2/2的情况，的情况，2 2反映反映S Sz z= - = - /2/2的情况。的情况。222、几率密度、几率密度表表示示t t时时刻刻在在r r点点附附近近单单位位体体积积内内找到电子的几率找到电子的几率表表示示t t时时刻刻r r附附近近单单位位体体 积积 内内 找找 到到 自自 旋旋S Sz z= =/2/2的电子几率的电子几率表表示示t t 时时刻刻r r 点点处处单单位位体体积积内内找找到到自自旋旋 S Sz z= = -
12、- /2/2的的电电子子几几率率在全空间找到在全空间找到 S Sz z= =/2 /2 的电子的几率的电子的几率在全空间找到在全空间找到 S Sz z= - = - /2 /2 的电子的几率的电子的几率233、归一化条件、归一化条件波函数的波函数的归一化归一化归一化归一化时必须同时对时必须同时对自旋求和自旋求和自旋求和自旋求和和对和对空间坐标积分空间坐标积分空间坐标积分空间坐标积分，即，即244、自旋函数算符的表示、自旋函数算符的表示引进自旋后，任一算符引进自旋后，任一算符 应是自旋的函数，在应是自旋的函数，在S Sz z表象表示为矩阵表象表示为矩阵算符算符 在任意态中对自旋求平均的平均值在任
13、意态中对自旋求平均的平均值算符算符 在任意态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：在任意态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：25周周世世勋勋：量量子子力力学学教教程程P240 7.3、7.4作作 业业263 简单简单Zeeman效应效应Zeeman效效应应，在在外外磁磁场场中中，原原子子的的光光谱谱线线发发生生分分裂裂的的现现象象。分为简单塞曼效应和复杂塞曼效应。分为简单塞曼效应和复杂塞曼效应。（1）简简简简单单单单塞塞塞塞曼曼曼曼效效效效应应应应：在在强强强强磁磁场场作作用用下下，光光谱谱线线的的分分裂裂现现象象可可由由经典理论解释，又称为经典理论解释，又称为正常塞曼效应正常塞曼效应正常塞曼
14、效应正常塞曼效应。（2）复复复复杂杂杂杂塞塞塞塞曼曼曼曼效效效效应应应应：当当外外磁磁场场较较弱弱弱弱，轨轨道道和和自自旋旋的的相相互互作作用用不不能忽略，只能由量子理论解释，产生能忽略，只能由量子理论解释，产生复杂复杂复杂复杂（反常反常反常反常）塞曼效应塞曼效应塞曼效应塞曼效应。27单电子系，取单电子系，取外磁场沿外磁场沿外磁场沿外磁场沿 Z Z 方向方向方向方向，则磁场引起的附加势能为：，则磁场引起的附加势能为：如如为为强强磁磁场场，自自自自旋旋旋旋和和和和轨轨轨轨道道道道的的的的相相相相互互互互作作作作用用用用势势势势能能能能远远小小于于磁磁场场的的附附加加势势能，则对于能，则对于有心力
15、场有心力场有心力场有心力场，体系的，体系的Schrdinger方程为：方程为：一、磁场作用下的一、磁场作用下的Schrdinger方程方程2、体系的、体系的Hamilton量与量与Schrdinger方程方程1、附加势能、附加势能282、定态波函数和能级、定态波函数和能级3、能级特点、能级特点（1）在在外外磁磁场场B B 作作用用下下，能能能能级级级级与与mm有有关关，n n, ,l l 相相同同mm不不同同的的状状态态能量不再相同。能量不再相同。（2）在在外外磁磁场场B B 作作用用下下，能能能能级级级级与与自自自自旋旋旋旋有有关关，n n,l l,mm相相同同的的状状态态，由于由于自旋自旋
16、自旋自旋的不同能级分裂为的不同能级分裂为2 2个。个。29S Sz z= = /2/2 S Sz z= - = - /2/2 2p2p1s1smm+1+10 0- 1- 1mm+1+10 0- 1- 10 00 0(a) 无无无无外磁场外磁场(b) 有有有有外磁场外磁场2、实例（、实例（2p1s2p1s 的跃迁）的跃迁）306 全同粒子体系全同粒子体系一、全同粒子和全同性原理一、全同粒子和全同性原理1、全同粒子、全同粒子质量、电荷、自旋等质量、电荷、自旋等固有性质完全相同固有性质完全相同固有性质完全相同固有性质完全相同的微观粒子。的微观粒子。2、经典粒子的可区分性、经典粒子的可区分性经经典典力
17、力学学中中，固固有有性性质质完完全全相相同同的的两两个个粒粒子子，是是可可以以区区分分的的。因因为为，二二粒粒子子有有各各自自确确定定的的轨轨道道，在在任任意意时时刻刻都都有有确确定定的的位位置置和速度。和速度。121231微观粒微观粒子运动子运动服从服从量子力学量子力学量子力学量子力学用用波函数描写波函数描写在波函数重叠区，粒子不可区分。在波函数重叠区，粒子不可区分。4、量子力学基本原理、量子力学基本原理全同性原理全同性原理全全同同粒粒子子所所组组成成的的体体系系中中，两两全全同同粒粒子子相相互互调调换换不引起不引起体系物理状态的改变体系物理状态的改变全同性原理全同性原理。3、微观粒子的不可
18、区分性、微观粒子的不可区分性32N 个全同粒子组成的体系，其个全同粒子组成的体系，其Hamilton Hamilton 量为：量为：二、波函数的对称性二、波函数的对称性1、Hamilton 量的对称性量的对称性调换第调换第 i i 和第和第 j j 粒子，体系粒子，体系 Hamilton Hamilton 量不变。量不变。33对于对于q qi i , , q qj j调换不变调换不变qi , qj调换调换前后前后的波函数都是的波函数都是Schrdinger 方程的解方程的解34根根据据全全同同性原理：性原理：描写描写同一状态同一状态同一状态同一状态，二者相差一常数因子。，二者相差一常数因子。2
19、、对称和反对称波函数、对称和反对称波函数再做一次再做一次q qi i , , q qj j调换调换35对称波函数对称波函数反对称波函数反对称波函数注注意意：对对称称是是指指对对于于粒粒子子交交换换的的对对称称！描描写写全全全全同同同同粒粒粒粒子子子子体体体体系系系系的的状状态态波波函函数数只只能能是是对对对对称称称称的的或或反反反反对对对对称称称称的的，而而且且其其对对对对称称称称性性性性（交交交交换换换换对对对对称称称称性性性性）不不不不随随随随时时时时间间间间改改改改变变变变。如如果果体体系系在在某某一一时时刻刻处处于于对对称称（或或反反对对称称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）的态上
20、。态上，则它将永远处于对称（或反对称）的态上。对称是指对于粒子交换的对称对称是指对于粒子交换的对称！36全全同同粒粒子子体体系系波波函函数数的的对对称称性性不不随随时时间间变变化化，即即初初始始时时刻刻是是对对称（反对称）的，以后永远是对称（反对称）的。称（反对称）的，以后永远是对称（反对称）的。证：证：设全同粒子体系波函数设全同粒子体系波函数 s s 在在 t t 时刻是对称的，时刻是对称的，由于体系哈密顿量是对称的，由于体系哈密顿量是对称的，所以所以 HH s s 在在t t 时刻也是对称的。时刻也是对称的。在在 t t+d+dt t 时刻，波函数变化为时刻，波函数变化为二二对对称称波波函
21、函数数之之和和仍仍是是对对称称的的，依依次次类类推推，在在以以后后任任何何时时刻刻，波波函函数数都都是是对对称称的的。同同理理可可证证：t t 时时刻刻反反对对称称的的波波函函数数 A A，在在 以后任何时刻都是反对称的。以后任何时刻都是反对称的。37实实验验表表明明：对对于于每每一一种种粒粒子子，其其波波函函数数的的交交交交换换换换对对对对称称称称性性性性是是完完全全确定确定确定确定的，而且该对称性与粒子的的，而且该对称性与粒子的自旋自旋自旋自旋有确定的联系。有确定的联系。（1）Bose 子子凡凡自自自自旋旋旋旋为为为为 整整整整数数数数倍倍倍倍（s s = = 0 0，1 1，2 2，）的
22、的粒粒子子，其其多多粒粒子子波波函函数数总总是是对对对对称称称称的的，遵遵从从Bose-EinsteinBose-Einstein统统计计规规律律，称称为为 Bose Bose 子子子子。如：如： 光子光子光子光子 （s s =1 =1）；）； 介子介子介子介子 （s s = 0 = 0）。）。（2）Fermi 子子凡凡自自自自旋旋旋旋为为为为 /2/2 奇奇奇奇数数数数倍倍倍倍（s s =1/2=1/2，3/23/2，）的的粒粒子子，其其多多粒粒子子波波函函数数总总是是反反反反对对对对称称称称的的，遵遵从从Fermi-DiracFermi-Dirac 统统计计规规律律，称称为为Fermi F
23、ermi 子子子子。例如：例如：电子电子电子电子、质子质子质子质子、中子中子中子中子（ s s =1/2 =1/2）等粒子。）等粒子。四、四、Bose 子和子和Fermi 子子38（3）由由“基基本本粒粒子子”组组成成的的复复杂杂粒粒子子例如：例如：如如果果在在所所讨讨论论的的过过程程中中，粒粒粒粒子子子子内内内内部部部部状状状状态态态态保保保保持持持持不不不不变变变变，即即内内内内部部部部自自自自由由由由度度度度完完完完全全全全被被被被冻冻冻冻结结结结，则则全全全全同同同同概概念念仍仍然然适适用用，可可以以作作为为全全同同粒粒子子来来处处理。理。偶数偶数偶数偶数个个Fermi Fermi 子
24、子子子组成组成奇数奇数奇数奇数个个FermiFermi子子子子组成组成397 全同粒子体系的波函数全同粒子体系的波函数一、一、2 个全同粒子波函数个全同粒子波函数1、2个全同粒子个全同粒子Hamilton 量量2、单粒子波函数、单粒子波函数无相互作用无相互作用40粒粒子子1 1 在在 i i 态态，粒粒子子2 2 在在 j j 态态，体系能量和波函数为：体系能量和波函数为：粒粒子子2 2 在在 i i 态态，粒粒子子1 1 在在 j j 态态，体系能量和波函数为：体系能量和波函数为：3、交换简并、交换简并41全同粒子体系的波函数要满足对称性条件，全同粒子体系的波函数要满足对称性条件，而而 (
25、(q q1 1, ,q q2 2) ) 和和 ( (q q2 2, ,q q1 1) )仅当仅当 i i = = j j 二态相同时，才二态相同时，才对称对称对称对称；当当 i i j j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数构造具有构造具有对称性的体系波函数对称性的体系波函数对称性的体系波函数对称性的体系波函数C 为归一化系数为归一化系数显显然然 S S( (q q1 1, ,q q2 2) ) 和和 A A( (q q2 2, ,q q1 1) ) 都都是是 HH 的的本本征征函函数数，本本征征值值皆皆为为 ：4、满足对称条件的波
26、函数、满足对称条件的波函数42 若若单单粒粒子子波波函函数数是是正正交交归归一一化化的的，则则 ( (q q1 1, ,q q2 2) ) 和和 ( (q q2 2, ,q q1 1) ) 也是正交归一化的。也是正交归一化的。5、 S 和和 A 的归一化的归一化43然后考虑然后考虑 S S 和和 A A 归一化归一化44上述讨论适用于二粒子无相互作用情况，上述讨论适用于二粒子无相互作用情况，粒子间有相互作用时粒子间有相互作用时但是下式仍然成立但是下式仍然成立归一化的归一化的 S S 和和 A A 与上面相同。与上面相同。45上上述述对对2个个全全同同粒粒子子的的讨讨论论可可以以推推广广到到N个
27、个全全同同粒粒子子体体系系，设设粒粒子间无相互作用，单粒子子间无相互作用，单粒子HH0 0 不显含时间，则体系不显含时间，则体系单单粒粒子子本本征征值值方程：方程：二、二、N 个全同粒子体系波函数个全同粒子体系波函数1、Schrdinger 方程的解方程的解462个个Bose子体系的对称波函数是：子体系的对称波函数是：N个个Bose子体系，其对称波函数可类推：子体系，其对称波函数可类推：N个个粒粒子子在在 i i，j j k k 态中的一种排列态中的一种排列对各种可能排列对各种可能排列 求和求和n nk k是是单单粒粒子子态态 k k 上的粒子数上的粒子数 2、Bose 子体系的对称波函数子体
28、系的对称波函数1，2 粒粒子子在在i i，j j态中的一种排列态中的一种排列472 个个Fermi 子体系，其反对称波函数是：子体系，其反对称波函数是：行行列列式式性性质质保保证证了了波波函数的反对称函数的反对称推广到推广到N 个个Fermi 子体系：子体系：3、Fermi 子体系的反对称波函数子体系的反对称波函数48两点讨论：两点讨论：I、行行列列式式展展开开后后，每每一一项项都都是是单单粒粒子子波波函函数数乘乘积积形形式式，因因而而 A A 是是 本征值方程本征值方程 H H = = E E 的解。的解。II、交交换换任任意意两两个个粒粒子子，等等价价于于行行列列式式中中相相应应两两列列对
29、对调调，行行列列式式要变号，故是反对称波函数。此行列式称为要变号，故是反对称波函数。此行列式称为 Slater Slater 行列式行列式行列式行列式。49若二粒子处于相同态，例如都处于若二粒子处于相同态，例如都处于 i i 态，则态，则Slater 行列式行列式两两行行相相同同，行列式为行列式为 0三、三、Pauli 原理原理1、二、二 Fermi 子体系子体系2 个个Fermi 子不能处于同一状态子不能处于同一状态！50如如果果 N 个个单单粒粒子子态态 i i j j k k 中中有有两两个个相相同同，则则行行列列式式中中有有两行相同，于是行列式为两行相同，于是行列式为0，即，即这这表表
30、明明，N N Fermi 子子体体系系中中，不不能能有有 2 个个或或 2 个个以以上上Fermi 子子处处于于同同一一状状态态，这这一一结结论论称称为为 PauliPauli不不不不相相相相容容容容原原原原理理理理。波波波波函函函函数数数数的的的的反反反反对对对对称性称性称性称性保证了全同保证了全同Fermi 子体系的这一重要性质。子体系的这一重要性质。2、N Fermi 子体系子体系两两两两 行行行行同态同态同态同态51理想与现实世界理想与现实世界量子力学量子力学固体物理固体物理计算材料学思路计算材料学思路52量子力学单电子问题量子力学单电子问题 53EF多电子填充与基态多电子填充与基态
31、54多电子相互作用多电子相互作用 55u变分原理（基态）变分原理（基态）u计算复杂度：计算复杂度：uHartree-Fock 方法方法多元函数微分泛函泛函“波函数泛函波函数泛函”理论理论 56平均场与单电子近似平均场与单电子近似 57复杂势场方程求解复杂势场方程求解 58物理的唯一性原理物理的唯一性原理 59u19281928年年 HartreeHartree 方法方法HartreeHartree- -Fock Fock 方法方法后后 Hartree-Fock Hartree-Fock 方法方法量子化学领域量子化学领域u19641964年年 Hohenberg-Kohn Hohenberg-K
32、ohn 定理定理u19651965年年 Kohn-Sham Kohn-Sham 方程方程u19981998年年 诺贝尔化学奖诺贝尔化学奖 W. Kohn & J. PopleW. Kohn & J. Pople量子计算化学与密度泛函历史量子计算化学与密度泛函历史 60http:/nobelprize.org/index.html 61光辉的历史，光明的前景光辉的历史，光明的前景 62计算材料学地位计算材料学地位 63Materials Studio 软件软件 64原子物理与量子力学原子物理与量子力学 哈尔滨理工大学哈尔滨理工大学应用科学学院应用物理系应用科学学院应用物理系教案来源教案来源65Thank you!Thank you!66
