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1、第二章第二章 随机变量随机变量问问2.1：引入随机变量有何意义？引入随机变量有何意义？ 答：答：随机变量的引入是概率论发展走向成熟的随机变量的引入是概率论发展走向成熟的一个标志，它弥补了随机试验下的随机事件种一个标志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多，不易一一总结它们取值规律的缺陷，类繁多，不易一一总结它们取值规律的缺陷，因为如果知道随机变量的分布，随机试验下任因为如果知道随机变量的分布，随机试验下任一随机事件的概率也随之可以得到；另则引入一随机事件的概率也随之可以得到；另则引入随机变量后，可以使用数学中的微积分工具讨随机变量后，可以使用数学中的微积分工具讨论随机变量的分布。论随机变量的分
2、布。 问问2.2：随机变量的分布函数、分布律、密度函随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？数有何联系与区别？ 答：答：随机变量的分布函数刻划了随机变量的取随机变量的分布函数刻划了随机变量的取值规律，不管是连续型还是离散型或既不是连值规律，不管是连续型还是离散型或既不是连续型又不是离散型随机变量都可用分布函数来续型又不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值规律；而分布律只能描述离散型随描述其取值规律；而分布律只能描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能描述连续型机变量的取值规律；密度函数只能描述连续型随机变量的取值规律。随机变量的取值规律。 它们的联系在于对离散型随机变量它们
3、的联系在于对离散型随机变量X，当知，当知道了道了X的分布律，可通过求概率的分布律，可通过求概率P(X x)（x取任意取任意的值）求得的值）求得X的分布函数的分布函数F(x)；反之也一样。对；反之也一样。对连续型随机变量连续型随机变量X，当知道了，当知道了X的密度函数的密度函数f(x)，可通过积分可通过积分 求得求得分布函数分布函数F(x)；反之，当知道了分布函数；反之，当知道了分布函数F(x)，可通过对可通过对F(x)求导，即求导，即 （对一切的连（对一切的连续点处）求得密度函数续点处）求得密度函数f(x)。 问问2.3：二项分布的背景是什么？二项分布的背景是什么？ 答：答：做做n次重复独立的
4、试验，在每次试验中事件次重复独立的试验，在每次试验中事件A发发生的概率为生的概率为p，如果记随机变量，如果记随机变量X为为n次试验中事件次试验中事件A发生的次数，则称随机变量发生的次数，则称随机变量X服从二项分布服从二项分布B(n,p).在实际生活中有很多问题都可归结为二项分布。例在实际生活中有很多问题都可归结为二项分布。例有一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项有一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是正确的。某位学的选择题，四个选项中只有一项是正确的。某位学生在做每道题时都是随机的选择，生在做每道题时都是随机的选择，X表示该学生十表示该学生十道题中答对的
5、题数，则道题中答对的题数，则X服从服从n=10,p=1/4(每道题答每道题答对的概率）的二项分布。该学生得零分的概率为对的概率）的二项分布。该学生得零分的概率为 问问2.4：设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 所求的分布函数为所求的分布函数为 X-1 0 1概率概率 问这样的求法正确吗？错在哪里？问这样的求法正确吗？错在哪里？ 答：答：这样的求法不正确，首先该弄清楚分布函数的定这样的求法不正确，首先该弄清楚分布函数的定义即义即F(x)=P(Xx)，F(x)表示事件表示事件Xx的概率，因此的概率，因此当当0 x1时，概率时，概率P(X x )=P(X=1)+P(X=0)=1/2+1/4=
6、3/4，当，当x 1时，时，事件事件X x为必然事件，因此，它也可用为必然事件，因此，它也可用 P(X x )=1 它也可用它也可用P(X x )=P(X=1)+P(X=0)P(X=1)=1/2+1/4+1/4=1求得。综合后正确的分布函数为求得。综合后正确的分布函数为 问问2.5： 正态分布有哪些特点？什么是正态分布有哪些特点？什么是“3”原则原则？ 答：设答：设 ，即密度函数，即密度函数 从从f(x)的图中可看到的图中可看到f(x)关于关于对称，当对称，当x = 时，时，f(x)取最大值取最大值 ，而这个值随，而这个值随增大而减少，增大而减少，事实上在数字特征这一章中可知事实上在数字特征这
7、一章中可知为为X的均值，的均值，为为X的标准差，因此正态分布描述这样一种随机变量，的标准差，因此正态分布描述这样一种随机变量，它取的值关于它取的值关于对称，且取在平均值对称，且取在平均值附近范围的可附近范围的可能性较大，取远离能性较大，取远离处的范围内的可能性较小。服处的范围内的可能性较小。服从正态分布的随机变量的取值可能性大小直观上可从正态分布的随机变量的取值可能性大小直观上可用用“两头小，中间大两头小，中间大”来形容。自然界中很多随机来形容。自然界中很多随机现象都有这一特点，因此正态分布在概率论中占有现象都有这一特点，因此正态分布在概率论中占有很重要的地位。很重要的地位。 所谓所谓“3”原
8、则原则是比较定量地说明正态分布的是比较定量地说明正态分布的“两头小，中间大两头小，中间大”的特点，具体为的特点，具体为 从以上计算中可看到服从正态分布从以上计算中可看到服从正态分布 的的随机变量随机变量X取在取在3的范围内的概率几乎达到的范围内的概率几乎达到1. 这这就是就是“3”原则。原则。 这样的计算是否正确，错在哪里？这样的计算是否正确，错在哪里？ 问问2.6：设连续型随机变量设连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为则则X的分布函数为的分布函数为 的形式依赖于变上限的形式依赖于变上限x.具体表现为当具体表现为当x0时，时，答：答：这样的计算是错误的，这是因为这样的计算是错误的，这是因为
9、f(x)是一个分是一个分段函数，分布函数段函数，分布函数 中的被积函中的被积函数数,当当 时，时，,当当 时，时，综合有综合有 这里这里 是一单调可导函数是一单调可导函数, 是是 的反函数。的反函数。问问2.7: 对于连续型随机变量对于连续型随机变量的密度函数为什么是的密度函数为什么是,答答:为了说明这个结果为了说明这个结果,我们先给出我们先给出Y的分布函数的分布函数 当当g(x)为单调增加函数时为单调增加函数时,可得可得 ,且且 此时此时当当g(x)为单调递减函数时为单调递减函数时,可得可得 , 且且 即即 在使用这条性质时在使用这条性质时,一定要注意一定要注意y=g(x)为单调函为单调函数且可导。数且可导。 此时此时
