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1、学习必备 欢迎下载 指数函数 一、教学目标与重难点地位 指数函数（第一课时）是在学生已经较系统地学习了函数的概念，将指数扩充到实数范围之后，学习的第一个重要的基本初等函数。它既是对函数概念的进一步深化，又是今后学习对数函数、幂函数等函数的基础。在教材中占有极其重要的地位，起着承上启下的作用。但常规的课堂教学却通常把对其图像和性质的掌握， 作为教学的唯一目标与重点。 这种定位既是对教材的错误解读，也势必造成学生缺失对未知函数探究的一般思路与方法。既要“授之以鱼” ，又要“授之以渔” 。既要学生理解与把握指数函数图象与性质又要贯穿对于一类未知函数的基本思路和方法的探究。 一、教学过程设计 1、问题
2、提出 问题 1 请拿出一张白纸（面积记为单位 1） ，分别记录这张白纸经过一次、两次、三次对折后的层数与面积。经过x次对折后，其层数、面积分别与x有怎样的函数关系？ 设计意图 直指指数函数的定义。 虽然是一个特殊的问题， 但是将为后面特殊问题一般化作出铺垫。 2、定义建构 问题 2 2xy 与12xy 这两个函数关系式，和之前学过的函数2yx、1yx有任何区别，他们之间有什么共同特点？ 设计意图 引导学生对比之前所学的函数，观察自变量所处的不同位置，由特殊到一般，归纳出形如xya的函数关系式。 问题 3 讨论常量a作为底有何要求？ 问题 4 此函数的定义域是什么？ 设计意图 指数函数的定义，有
3、其产生的合理性与有用性。若告知学生a与x取值范围，提问原因，则会掩盖其本质属性及形成过程；采用问题串形式，可以层层深入，引导学生自主地对指数函数定义进行完整的建构。 3、方法探究 无论从本节课的教学目标还是重难点把握，我们都可以看出，本节课的教学有两条线路。一条是明线，即对于指数函数图象与性质的理解与把握；另一条是暗线，即怎样研究一类未知的函数，对其基本思路和方法的探究，这也是今后研究和学习的一条主线。从表面上看，我们的教学是按照明线的目标步步深入的，但从本质上看，对于暗线的探究更为重要。一方面它不但推动了明线发生和发展； 另一方面， 也着眼于将研究函数的方法内化为学生的一种能力，在探究过程中
4、锻炼思维，为今后的学习打下基础。 在此阶段，利用最近发展区讨论，我们依旧可以通过一个问题串，逐步深入，引导学生自主探究出贯穿暗线的几个要点，同时推动明线的研究，此部分为本节课的研究核心。 问题 5 指数函数与我们初中接触过的二次函数2yax有共同点吗？我们该如何研究一类未知的函数呢？ 设计意图 此问题对于高一学生而言是一个难点，通过回忆初中对于二次函数2yax的研究方法， 可以类比得到研究一类未知函数的基本思路和方法。 我们在处理它的时候回避和一语带过是不合适的。 学习必备 欢迎下载 要研究一般函数必须要研究它的特殊形式。 它的特殊形式是什么呢？对这个过程的探究和发掘不仅为下面的研究奠定了基础
5、，也为学生积累了解决此类问题一般思路和方法。 问题 6 讨论，结合之前所学的函数相关知识，我们应该从哪些方面、以何种顺序研究特殊的指数函数？ 设计意图 本节内容是在学生已经较系统地学习了函数的概念，将指数扩充到实数范围之后，学习的第一个重要的基本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化，又是今后学习对数函数、幂函数等函数的基础。因此，我们不仅要使学生掌握指数函数的图像与性质，更要让学生学会研究、分析一个未知函数的基本思路与方法。 师生互动：探究指数函数的性质，从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”图象突破，体会数形结合的思想。确定首先研究图像的研究顺序及研究内容。 如图 1，通过探究确定研
6、究路线： 单调性 定义域 图象 （已知） 如何得到 图 1 问题 7 我们该如何得到一个指数函数的图象？ 设计意图 从研究线路上来看，需要首先得到指数函数的图象。由问题 5、问题 6 的铺垫，此问题变成了解决整个矛盾的着手点和出发点。 师生互动：共同讨论、回顾思考，得出常用的两种方法： （1）利用已知函数图象； （2）描点作图，寻找其一般规律。 指数函数图象可以用第二种方法解决。 4、自主探究 设计意图 此阶段为学生自主操作、研究的环节。是明线上的重要一环，有了前一个阶段对基本方法和思路的梳理， 学生通过描点作图、 观察图像从感性和理性上都加深了对暗线上几个问题的回顾和理解。 但由于描点作图存
7、在较耗时、不够准确等弊端，所以，笔者建议有条件的学校，在此阶段可以利用图形计算器提高学生绘图的效率和准确性。如先作出函数0.3xy ，0.5xy ，0.7xy 和0.9xy 的图象（如图 2） 。 值域 奇偶性 其它 将指数扩充到实数范围之后学习的第一个重要的基本初等函数它既是对函数概念的进一步深化又是今后学习对数函数幂函数等函数的基础在教材中占有极其重要的地位起着承上启下的作用但常规的课堂教学却通常把对其图像和性质路与方法既要授之以鱼又要授之以渔既要学生理解与把握指数函数图象与性质又要贯对于一类未知函数的基本思路和方法的探究一教学过程设计问题提出问题请拿出一张白纸面积记为单位分别记录这张白纸
8、经过一次两次三次对折后问题但是将为后面特殊问题一般化作出铺垫定义建构问题与这两个函数关系式和之前学过的函数有任何区别他们之间有什么共同特点设计意图引导学生对比之前所学的函数观察自变量所处的不同位置由特殊到一般归纳出形如的函数学习必备 欢迎下载 图 2 再作出函数2xy ，109xy 和107xy 的图象（如图 3） 。 图 3 图 2、3 是可预期的学生通过大量数学实验得到的指数函数的图象，01a ，1a 的图象显然有较大区别。为下阶段对于图象与性质的总结垫定了感性基础。 5、总结提升 问题 8 观察图象，总结指数函数的一般特征 设计意图 引导学生观察图象，由特殊到一般、分类讨论、归纳概括。
9、问题 9 观察1a 时的指数函数图象，你能得到哪些性质？可以类比得出01a 时的函数性质吗？ 设计意图 此问题直指明线上的终极目标，培养了学生数形结合、归纳总结的能力。通过类比，可以完善对指数函数图像与性质的全面认识。同时，此问题利用了暗线上对于 未知函数研究线路的探索成果，从时间上验证了我们的理论构想。是两条线路的交汇点，学生的知识和技能再次得到升华。 由于指数函数的图象及性质， 均由特殊指数函数图象经过归纳推理得到， 故最后引导学生从解析式，即从“数”上对其结论进行验证，体现严密的数学思维。 6、简单应用 例 1 比较下列各题中两个值的大小 （1）2.51.5，3.21.5 （2）1.20
10、.5，1.50.5 （3）0.31.5，1.20.8 思考 你还能想到哪些可以利用指数函数的图像与性质解决的问题吗？ 设计意图 比较大小是利用指数函数单调性的最简单直接的应用， ，熟练掌握指数函数的图像与性质并将其合理应用，还需要更多的时间才能完成。通过开放型的“思考” ，可以让学生感悟指数函数这部分知识广泛的实际意义和实用价值。 7、回顾升华 问题 10 回顾一下， 我们是怎样研究指数函数的， 你能总结一下指数函数的图像与性质吗？将指数扩充到实数范围之后学习的第一个重要的基本初等函数它既是对函数概念的进一步深化又是今后学习对数函数幂函数等函数的基础在教材中占有极其重要的地位起着承上启下的作用
11、但常规的课堂教学却通常把对其图像和性质路与方法既要授之以鱼又要授之以渔既要学生理解与把握指数函数图象与性质又要贯对于一类未知函数的基本思路和方法的探究一教学过程设计问题提出问题请拿出一张白纸面积记为单位分别记录这张白纸经过一次两次三次对折后问题但是将为后面特殊问题一般化作出铺垫定义建构问题与这两个函数关系式和之前学过的函数有任何区别他们之间有什么共同特点设计意图引导学生对比之前所学的函数观察自变量所处的不同位置由特殊到一般归纳出形如的函数学习必备 欢迎下载 在研究的过程中，你有哪些一会和收获？ 设计意图 开放型问题， 总结回顾本节课内容， 从知识和技能的角度都有不同的收获和体会。怎样研究新对象
12、、解决新问题更是需要不断地尝试与总结。 三、教后反思 （1）像数学家一样建构数学。对于指数函数的概念，要创设情境引导学生用数学的眼光看世界，从具体问题中看出数学对象的本质属性。体会此概念生成的合理性与必然性，像数学家一样对概念进行建构。 （2）“授之以渔” 。本节课研究问题的两条线路又可以理解为：明线是知识，是授之以鱼；暗线是方法与技能，是授之以渔。我们在教学中，让学生知道需要研究什么，该怎样研究，应当比研究出的结果是什么更为重要。 （3）将问题在学生的最近发展区。本节课暗线与明线均采用问题串的形式展开，每个问题均建在学生的最近发展区，并以此为生长点，环环紧扣，促进学生对问题认识的不断升华。
13、（4）突出数学思想。本节课涉及特殊 一般、一般 特殊、 数形结合及分类讨论的数学思想方法， ，潜移默化，渗透入学生思维。 （5）现代教育技术的应用。图形计算器是近年来被许多学校使用与普及的数学实验设备，其特点是携带方便，操作简便，图形准确直观。在本节课学生利用其得到特殊指数函数的图象，并对其特点进行归纳就更显高效与直观。 将指数扩充到实数范围之后学习的第一个重要的基本初等函数它既是对函数概念的进一步深化又是今后学习对数函数幂函数等函数的基础在教材中占有极其重要的地位起着承上启下的作用但常规的课堂教学却通常把对其图像和性质路与方法既要授之以鱼又要授之以渔既要学生理解与把握指数函数图象与性质又要贯对于一类未知函数的基本思路和方法的探究一教学过程设计问题提出问题请拿出一张白纸面积记为单位分别记录这张白纸经过一次两次三次对折后问题但是将为后面特殊问题一般化作出铺垫定义建构问题与这两个函数关系式和之前学过的函数有任何区别他们之间有什么共同特点设计意图引导学生对比之前所学的函数观察自变量所处的不同位置由特殊到一般归纳出形如的函数
