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1、26.3实际问题与二次函数 1. 1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求利润的最值；方法，并会应用函数关系式求利润的最值； 2. 2.会应用二次函数的性质解决实际问题会应用二次函数的性质解决实际问题. .1.如何求二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的最值？有哪几种方法？写出求二次函数最值的公式.（1 1）配方法求最值）配方法求最值 （2 2）公式法求最值）公式法求最值基础操练基础操练2.当x= 时，二次函数y=y=x x2 22x2x2 2有最大值. 1在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关在日常生
2、活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？26.326.3实际问题与二次函数实际问题与二次函数第一课时第一课时如何获得最大利润问题如何获得最大利润问题基础训练基础训练 某种品牌的电脑进价为3000元，售价3580元.十月份售出20台，则每台电脑的利润为 ，十月份的利润为 .十一月份每台售价降低100元，结果比十月份多售出10台，则销售每台电脑
3、的利润为 ，十一月份的利润为 .580580元元1160011600元元480480元元1440014400元元每件产品的利润每件产品的利润= =售价售价- -进价进价销售总利润销售总利润= =每件产品的利润每件产品的利润 销售数量销售数量销售问题常用数量关系：销售问题常用数量关系：一、自主探究一、自主探究问题1. 某商品现在的售价是每件某商品现在的售价是每件6060元，每星期元，每星期可卖出可卖出300300件。市场调查反映：如果调整价格件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价，每涨价1 1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出1010件；已知商件；已知商品的进价为每件品的进价为每件4040元，
4、要想获得元，要想获得60006000元的利润，元的利润，该商品应定价为多少元？该商品应定价为多少元？问题问题1 1 某商品现在的售价是每件某商品现在的售价是每件6060元，每星期可元，每星期可卖出卖出300300件。市场调查反映：如果调整价格件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨，每涨价价1 1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出1010件，已知商品的进价为件，已知商品的进价为每件每件4040元，要想获得元，要想获得60006000元的利润，该商品应定元的利润，该商品应定价为多少元？价为多少元？若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为元，每周的销售量可表示为件，一周的利润可表示为元，要想获
5、得6000元利润可列方程.x-40300-10(x-60)(x-40)300-10(x-60)(x-40)300-10(x-60)=6000问题问题2. 2. 某商品现在的售价是每件某商品现在的售价是每件6060元，元，每星期可卖出每星期可卖出300300件。市场调查反映：如件。市场调查反映：如果调整价格果调整价格，每涨价，每涨价1 1元，每星期要少卖元，每星期要少卖出出1010件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件4040元元. .该该商品定价为多少元时，商场能获得商品定价为多少元时，商场能获得最大利最大利润润？ 例例1 1：某商品现在的售价为每件：某商品现在的售价为每件6060元
6、，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件件. .市场调查市场调查反映：每涨价反映：每涨价1 1元，每星期要少卖元，每星期要少卖出出1010件；每降价件；每降价1 1元，每星期可多元，每星期可多卖出卖出2020件件. .已知商品的进价为每件已知商品的进价为每件4040元，如何定价才能使利润最大元，如何定价才能使利润最大？来到商场来到商场请大家带着以下几个问题读题请大家带着以下几个问题读题: :（1 1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？（2 2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？自变量？哪些量随之发生了变化？
7、某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件6060元，每星期元，每星期可卖出可卖出300300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1 1元，元，每星期少卖出每星期少卖出1010件；每降价件；每降价1 1元，每星期元，每星期可多卖出可多卖出2020件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件4040元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？来到商场来到商场分析分析: : 调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：先来看涨价的情况：设每件涨价设每件涨价x x元，则每星期售出商元，则每星期售出商品的利润品的利润y y也随之变化，我们
8、先来确定也随之变化，我们先来确定y y与与x x的函数关系式。的函数关系式。涨价涨价x x元元, ,则每星期少卖则每星期少卖件，实际卖出件，实际卖出件件, ,销售销售额为额为元，买进商品需付元，买进商品需付元元, ,因因此所得利润为此所得利润为元元10x10x(300-10x)(300-10x)( (60+x)(300-10x)60+x)(300-10x)40(300-10x)40(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)即即(0X30)(0X30)怎样确定怎样确定x的的取值范围？取值范围？解：设每件涨
9、价为解：设每件涨价为x x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y y元元. .y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x-600) =-10(x-5)2-25-600 =-10(x-5)2+6250当当x=5时，时，y的最大值是的最大值是6250.定价定价:60+5=65:60+5=65（元）（元）(0x30)怎样确定怎样确定x的的取值范围？取值范围？还可以用可以用顶点坐点坐标公式解公式解:(0X30)(0X30)可以看出，这个函数的可以看出，这个函数的可以看出，这个函数的可以看出，这个函数的图像是一条
10、抛物线的一图像是一条抛物线的一图像是一条抛物线的一图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，点是函数图像的最高点，点是函数图像的最高点，点是函数图像的最高点，也就是说当也就是说当也就是说当也就是说当x x x x取顶点坐取顶点坐取顶点坐取顶点坐标的横坐标时，这个函标的横坐标时，这个函标的横坐标时，这个函标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可数有最大值。由公式可数有最大值。由公式可数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标以求出顶点的横坐标以求出顶点的横坐标以求出顶点的横坐标. . . . 当当当当x x = _ =
11、_时，时，时，时，y y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_元，元，元，元，即定价即定价即定价即定价_元时，利润最大，最大利润是元时，利润最大，最大利润是元时，利润最大，最大利润是元时，利润最大，最大利润是_._. 5 5 5 5 65 65 6250 6250元元元元(5,6250)(5,6250)结合图结合图像理解像理解在降价的情况下，最大利润是多少？在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考请你参考（1 1）的过程得出答案。的过程得出答案。解：设降价解：设降价x x元时利润为元时利
12、润为y y元，则每星期可多卖元，则每星期可多卖20x20x件，实际卖出件，实际卖出（300+20x)300+20x)件，销售额为件，销售额为(60-x)(300+20x)(60-x)(300+20x)元，买进商品需付元，买进商品需付40(300+20x)40(300+20x)元，因此，得利润元，因此，得利润做一做做一做由由(1)(2)的讨论及现在的销售的讨论及现在的销售情况情况,你知道应该如何定价能你知道应该如何定价能使利润最大了吗使利润最大了吗?(0x20)所以定价为所以定价为60-2.5=57.560-2.5=57.5时利润最大时利润最大, ,最大值为最大值为61256125元元. .答答
13、: :综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为6565元时可元时可获得最获得最大利润为大利润为62506250元元. .（1 1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；实际意义，确定自变量的取值范围；（2 2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。过配方求出二次函数的最大值或最小值。解这类题目的一般步骤解这类题目的一般步骤四、自主拓展 在在上上题题中中, ,若若商商场场规规定定试试销销期期间间获获利利不不得得低低于于40%40%又又不不得得高高于于
14、60%60%，则则销销售售单单价价定定为为多多少少时时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？商场可获得最大利润？最大利润是多少？某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件6060元，每星期可元，每星期可卖出卖出300300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1 1元，每星元，每星期少卖出期少卖出1010件；每降价件；每降价1 1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出2020件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件4040元，如何定价元，如何定价才能使利润最大？才能使利润最大？解：设商品售价为x元，则x的取值范围为40(140%)x40(160%)即56x64若涨价促销若涨价
15、促销, ,则利润则利润 y=(x-40)300-10(x-60)=(x-40)(900-10x)=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2-4225-36000=-10(x-65)2+625060x64由函数图像或增减性知当x=64时y最大,最大值为6240元 若降价促销若降价促销, ,则利润则利润y=(x-40)300+20(60-x)=(x-40)(1500-20x)=-20x+2300x-60000=-20(x2-115x+3000)=-20(x-57.5)2+612556x60当x=57.5时y最大,最大 值为6125元. 综上：综上：x=64x=64时利润最大时利润最
16、大, ,最大值为最大值为62406240元元. .三、自主展示: 某某超超市市经经销销一一种种成成本本为为每每件件4040元元的的商商品品据据市市场场调调查查，如如果果按按每每件件5050元元销销售售，一一周周能能售售出出500500件件；若若销销售售单单价价每每涨涨1 1元元，每每周周销销量量就就减减少少1010件件设设销销售单价为售单价为x x元元(x50)(x50)，一周的销售量为，一周的销售量为y y件件. .(1)(1)写出写出y y与与x x的函数关系式的函数关系式( (标明标明x x的取值范围的取值范围) )(2)(2)设设一一周周的的销销售售利利润润为为S S，写写出出S S与
17、与x x的的函函数数关关系系式式，并并确确定定当当单单价价在在什什么么范范围围内内变变化化时时，利利润润随随着单价的增大而增大？着单价的增大而增大？(3)(3)在在超超市市对对该该种种商商品品投投入入不不超超过过1000010000元元的的情情况况下下，使使得得一一周周销销售售利利润润达达到到80008000元元，销销售售单单价价应应定为多少？定为多少？ （2 2）S=(xS=(x40)(1000-10x) 40)(1000-10x) = =10x10x2 21400x-400001400x-40000 = =10(x10(x70)70)2 2+9000+9000当当50x7050x70时，利
18、润随着单价的增大而增大时，利润随着单价的增大而增大. . 解：（解：（1 1）y=500y=50010(x10(x50)50) =1000- =1000-10x(50x100)10x(50x100)(3)(3)在在超超市市对对该该种种商商品品投投入入不不超超过过1000010000元元的的情情况况下下，使使得得一一周周销销售售利利润润达达到到80008000元元，销销售售单单价价应应定为多少？定为多少？解：（解：（3 3）10x10x2 21400x-40000=80001400x-40000=8000 解得：解得：x x1 1=60,x=60,x2 2=80=80当当x=60x=60时，成本
19、时，成本=40500=405001010（60605050） =16000 =160001000010000不符要求不符要求, ,舍去舍去. .当当x=80x=80时，成本时，成本=40500=405001010（80805050） =8000 =80001000010000符合要求符合要求所以销售单价应定为所以销售单价应定为8080元，才能使一周销售利润元，才能使一周销售利润达到达到80008000元的同时，投入不超过元的同时，投入不超过10000 10000 元元1.谈谈这节课你的收获谈谈这节课你的收获.2.总结解这类最大利润问题的一般步骤总结解这类最大利润问题的一般步骤:（1）列出二次函
20、数的解析式，并根据自变量的）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值过配方求出二次函数的最大值或最小值.利利达达销售售店店为某某工工厂厂代代销一一种种建建筑筑材材料料（这里里的的代代销是是指指厂厂家家先先免免费提提供供货源源，待待货物物售售出出后后再再进行行结算算，未未售售出出的的由由厂厂家家负责处理理）。当当每每吨吨售售价价为260元元时，月月销售售量量45吨吨，该经销店店为提提高高经营利利润，准准备采采取取降降价价的的
21、方方式式进行行促促销，经市市场调查发现，当当每每吨吨售售价价每每下下降降10元元时，月月销售售量量就就会会增增加加7.5吨吨，综合合考考虑各各种种因因素素，每每售售出出一一吨吨建建筑筑材材料料共共需需支支付付厂厂家家及及其其他他费用用100元元，设每每吨吨材材料料售售价价为x元元，该经销店的月利店的月利润为y元。元。（1）当每吨售价是）当每吨售价是240元元时，计算此算此时的月的月销售量；售量；（2）求出）求出y与与x的函数关系式（不要求写出的函数关系式（不要求写出x的取的取值范范围）；）；（3）该经销店要店要获得最大月利得最大月利润，售价，售价应定定为每吨多少元；每吨多少元；（4）小小明明说
22、：“当当月月利利润最最大大时，月月销售售额也也最最大大”，你你认为对吗？请说明理由。明理由。练习巩固练习巩固 1 1（20102010包头中考）将一条长为包头中考）将一条长为20cm20cm的铁丝剪成两的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是这两个正方形面积之和的最小值是 cmcm2 22.2.某商店某商店购进一种一种单价价为4040元的元的篮球，如果以球，如果以单价价5050元售元售出，那么每月可售出出，那么每月可售出500500个，据个，据销售售经验，售价每提高，售价每提高1 1元，元，销
23、售量相售量相应减少减少1010个个. . (1)(1)假假设销售售单价提高价提高x x元，那么元，那么销售每个售每个篮球所球所获得的利得的利润是是_元，元，这种种篮球每月的球每月的销售量是售量是 个个( (用用x x的代数式表示的代数式表示) ) (2)8000(2)8000元是否元是否为每月每月销售售篮球的最大利球的最大利润? ?如果是，如果是，说明理由，如果不是，明理由，如果不是，请求出最大月利求出最大月利润, ,此此时篮球的售价球的售价应定定为多少元多少元? ?x x+10+10500500 1010x x 8000 8000元不是每月最大利润，最大月利润为元不是每月最大利润，最大月利润
24、为90009000元，元，此时篮球的售价为此时篮球的售价为7070元元. . 3. 3.某商店经营一种小商品，进价为某商店经营一种小商品，进价为2.52.5元，据市场调查，元，据市场调查，销售单价是销售单价是13.513.5元时平均每天销售量是元时平均每天销售量是500500件，而销售单件，而销售单价每降低价每降低1 1元，平均每天就可以多售出元，平均每天就可以多售出100100件件. .（1 1）假设每件商品降低）假设每件商品降低x x元，商店每天销售这种小商品的元，商店每天销售这种小商品的利润是利润是y y元，请你写出元，请你写出y y与与x x之间的函数关系式，并注明之间的函数关系式，并
25、注明x x的的取值范围；取值范围；（2 2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润= =销售收入购进成本）销售收入购进成本）解：解：（1 1）降低）降低x x元后，所销售的件数是（元后，所销售的件数是（500+100x500+100x）, ,y=y=100x100x2 2+600x+5500 +600x+5500 （0 0x11 x11 ）（2 2）y=y=100x100x2 2+600x+5500 +600x+5500 （0 0x11 x11 ）
26、配方得配方得y=y=100100（x x3 3）2 2+6400 +6400 当当x=3x=3时，时，y y的最大值是的最大值是64006400元元. .即降价为即降价为3 3元时，利润最大元时，利润最大. .所以销售单价为所以销售单价为10.510.5元时，最大利润为元时，最大利润为64006400元元. .答：答：销售单价为销售单价为10.510.5元时，最大利润为元时，最大利润为64006400元元. . 4. 4. 我市一家电子计算器专卖店每只进价我市一家电子计算器专卖店每只进价1313元，售价元，售价2020元，元，多买优惠多买优惠 ；凡是一次买；凡是一次买1010只以上的，每多买只
27、以上的，每多买1 1只，所买的全只，所买的全部计算器每只就降低部计算器每只就降低0.100.10元，例如，某人买元，例如，某人买2020只计算器，于只计算器，于是每只降价是每只降价0.10(20-10)=1(0.10(20-10)=1(元元),),因此，所买的全部因此，所买的全部2020只计只计算器都按照每只算器都按照每只1919元计算，但是最低价为每只元计算，但是最低价为每只1616元元. . (1). (1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ (2). (2).写出该专卖店当一次销售写出该专卖店当一次销售x x( (只只) )时，所获利润时，所获
28、利润y y( (元元) )与与x x之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）若店主一次卖的只数在）若店主一次卖的只数在1010至至5050只之间，问一次卖多少只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 【解析解析】(1)(1)设一次购买设一次购买x x只，才能以最低价购买，则有只，才能以最低价购买，则有: :0.1(x-10)=20-16,0.1(x-10)=20-16,解这个方程得解这个方程得x=50. x=50. 答：一次至少买答：一次至少买5050只，才能以最低价购买只，才能以最
29、低价购买 (2) (2) （说明：因三段图象首尾相连，所以端点（说明：因三段图象首尾相连，所以端点1010、5050包括在哪个区间均可）包括在哪个区间均可）(3)(3)将将 配方得配方得 ，所以店主一次卖，所以店主一次卖4040只时可获得最高利润，最高利润为只时可获得最高利润，最高利润为160160元元. .（也可用公式（也可用公式法求得）法求得） 5.5.（20102010安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用求，连续用2020天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、
30、销售九（的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（1 1）班数）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第学建模兴趣小组根据调查，整理出第x x天（天（1x201x20且且x x为为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1 1）在此期间该养殖场每天的捕）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？何变化的？（2 2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第能在当天全部售出，求第x x天的收入天的收入y y（元）与（元）与x x（天）之（天）之间的函数关
31、系式？（当天收入间的函数关系式？（当天收入= =日销售额日销售额- -日捕捞成本）日捕捞成本）试说明（试说明（2 2）中的函数）中的函数y y随随x x的变化情况，并指出在第几天的变化情况，并指出在第几天y y取得最大值，最大值是多少？取得最大值，最大值是多少？ 解：解：（1 1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg10kg； （2 2）由题意，得）由题意，得（3 3）-2-20 0，y=-2xy=-2x2 2+40x+14250=-2+40x+14250=-2（x-10x-10）2 2+14450+14450，又又1x201x20且且x x为整数
32、，为整数，当当1x101x10时，时，y y随随x x的增大而增大；的增大而增大；当当10x2010x20时，时，y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；当当x=10x=10时即在第时即在第1010天，天，y y取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为1445014450 1. 1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法. . 2. 2.利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键写出二次函数表达式是解决问题的关键. .谢谢谢谢!
