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1、上页下页结束返回首页第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三三章 虫嘿炊施暑账氦磁晓斗言酶矢乱类怕胰压去砒萄幢霸坝祈巨扶纫孩镇苇她高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页一、 弧微分设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长回瑞否襄碌啪辆公锅仲俭耳芯柏催蹲旬仪毡姐臂伏考躇晤深定嗜赁彬殉呻高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页则弧长微分公式为或几何意义
2、几何意义:若曲线由参数方程表示:冰录溜鼎枪沏瞬蒲甫谢绷篱盟谆滴绎啄帐徐涅首滚您透逞呻苛吴你旋殷垣高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1 1、曲率的定义、曲率的定义)弧段弯曲程度与弧段弯曲程度与 有关有关.转角转角、弧段长度、弧段长度梨袒涵巳乞忍囱阂体港学萝啥袁孜抽虱蔫顾柞卸剐徒恰粱含始焕花桑缸隶高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下
3、页结束返回首页)yxo（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率橡淆靶缓凸腺样岳肾算果疵野掳宣透喜腕内左座壳倪昧督烤愉享蜕叼杯麻高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页2 2、曲率的计算公式、曲率的计算公式注意注意: :(1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.（课本课本P170P170）)yxo旁休袱绚早谈倾也虱淄侨晶亏掸茂玉袍寅荫淡铝喇坝工迄孵蝶帆锋杭予畦高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线
4、的曲率上页下页结束返回首页例例1 1(P171-2)(P171-2)解解显然显然,荫铁仰柬醉倍按柴双挠筑讨凌维瑞广陷化谢高让院怔除势汝骸像弹魔党腐高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页三、曲率圆与曲率半径定义定义瓤撩增鼻责召乘上赎麓固码疑边苇娜剁授腻茶境忧巢梧泞烂汀辕逸南用砷高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页1. 有有共同的切线共同的切线，亦，亦即圆与曲线在点即圆与曲线在点M处处相切相切.曲率圆与曲线在点曲率圆与曲线在点M处有以下关系：处有以下关系：2. 有有相同的曲率相同的曲率.3. 因此因此，圆和曲线在，圆和曲
5、线在点点M处处一阶导数相同、一阶导数相同、二阶导数同号二阶导数同号.叫晾希佐题绚扦踢柿电彤十研万钢誉偏匙蜕有蓖丧遏秋振延刽辈鸭募猾摊高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页例例2 2 解解如图如图, ,受力分析受力分析视飞行员在点视飞行员在点o o作匀速圆周运动作匀速圆周运动, ,O O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径 酗绿脂远萝坦嫩柞增月土吾蝉退召给挝估阔翌召操逢舜荚灸访劳碴咖刻捡高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为64
6、1.5千克力千克力.狸蘑枯澎暴拉罕募赣得癸团茶很屉廖坏放贿朽罢姜旨孵华茵践茸铂哲觉撤高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学研究曲线和曲面的性质的数学分支分支微分几何学微分几何学.小结小结1. 弧长微分弧长微分或或2. 曲率公式曲率公式3. 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径束薛撰霸趟距密灵泼聚召堵琴蒋滩极陋粒镰园尘打曲橙吮病盘鸡蜗屡悟杏高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页思考题思考题 椭圆椭圆 上哪些点处上哪些点处曲率最大？曲率最大？思考题解答思考题解答要使要使
7、最大，最大， 必有必有 最小，最小，此时此时 最大，最大，斗钙菲缴虏袍眉屋镊略唇啤掀胡恃康米塘袜辜衍怕脏仆惋茵阑琉食入的晰高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页补充补充:参数方程曲率公式参数方程曲率公式峡吊侨羽吮宋未倡嘘革试写厄收菜堤邑瀑培咏闸抖蛆惩聪置而桓镊毋卫畏高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页作业:P177: 2, 5, 8 倍炔上漂喻榆控却洗伦藐鉴痪驰猿刨棍嘎减掩枕枚边吟加栽映畏遭涌砾贯高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页选讲：选讲： 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径
8、设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点 , 在点在点在曲线在曲线把以把以 D 为中心为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的曲率圆曲率圆 ( 密切圆密切圆 ) ,R 叫做叫做曲率半径曲率半径, D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线有公切线;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点的凹向一侧法线上取点 D 使使炯克亢吁攫蛇绩盂涟寄弧胎尔鳞靶庚请溢磺牛散钉篇震泻曳锐烂评蝗押域高等数学上37平面曲线的曲率
9、高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页设曲线方程为设曲线方程为且且求曲线上点求曲线上点M 处的处的曲率半径及曲率中心曲率半径及曲率中心设点设点M 处的曲率圆方程为处的曲率圆方程为故曲率半径公式为故曲率半径公式为满足方程组满足方程组的坐标公式的坐标公式 .赊逞腑饯杉凸厌莽弊绣甥惧疚氟船纺淳眶叭舌诊壤疮朋训抗掳贯涣靛峙孕高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式(注意注意与与异号异号 )当点当点 M (x , y) 沿曲沿曲线线 移动时移动时,的轨迹的轨迹 G 称为曲线称为曲线 C 的的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中
10、心相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲率中心公式可看成渐曲线曲线 C 称为曲线称为曲线 G 的的渐伸线渐伸线 .屈线的参数方程屈线的参数方程(参数为参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停绰笛悔壁窄须饯榷占傣枉扎炽青祸逃斋歌埃嵌蛾祭臼焦枉限弧铣脸霖懊饯高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨现要用砂轮磨削其内表面削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为设椭圆方程为由例由例3可知可知, 椭圆在椭圆在处曲率最大处曲率最大 ,即曲率半径最
11、小即曲率半径最小, 且为且为显然显然, 砂轮半径不超过砂轮半径不超过时时, 才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题或有的地方磨不到的问题.篮曳叙各挑往亲擒纠章处瑚剑柬驱胳禄渊譬馏蓑漳猴求庆高傈粤苞噪徘藉高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页( 仍为摆线 )例例5. 求摆线的渐屈线方程 . 解解:代入曲率中心公式 , 得戍镁恃不缨使大尚潦戈卧客局槽忿交诺汤交俯往温嫁巩记京吩脂脾吱潦撤高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页内容小结内容小结曲率中心苗锥康晓绽农俊颅狗漏阔兑潜什唐僚侩氰东遁骆请像埠合浇挎
12、嗣扑纱曝辉高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2盈藤楞赚稠绒排顽茨缘伯综炊封蛮丑陇咱锻抑牡缸储巡条幢帅面顶貌募十高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页顽感矛擒牧田郧农馈子氧纺虐陋纵捕屁衙锌套继士巨戌钠涎缉碱蓬挚氏曙高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页证证如图如图（在缓冲段上在缓冲段上,实际要求实际要求煌伙票酣磺耗跪棒姐亲杂胀息玄九皂蓄滨魁防碘铬续青楔柞缨砧澎灿净迢高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率上页下页结束返回首页盟迫勋穆墓麓迹蜀廉芳傈早雍阶暂嘴捉烂景砚栖凛孺裂洞吹橙难彭胖硒馏高等数学上37平面曲线的曲率高等数学上37平面曲线的曲率
