现代控制理论-4

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1、4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法4.4 非线性系统的非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析4.5 线性定常系统的线性定常系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析4.6 Lyapunov第二方法在线性系统设计中的应用第二方法在线性系统设计中的应用4 4控制系统的稳定性控制系统的稳定性LyapunovLyapunov第二方法第二方法2021/6/161现代控制理论基础引引 言言 1892年，李雅普诺夫（Lyapunov）提出了两种用于确定由常微分方程描述的系统稳定性的方法：第一方法和

2、第二方法。n第一方法又称间接法，它的基本思路是先求解系统的线性化微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。它包括了用微分方程显式解来进行系统分析的所有步骤。n第二方法通过构造一个称之为Lyapunov函数的纯量函数来判别系统的稳定性，所以这种方法也叫做Lyapunov直接方法。它是分析线性和非线性、时变和定常的动力学系统稳定性的一种普遍原理，而且还可有效地应用于系统分析和综合问题的许多方面。2021/6/162现代控制理论基础 4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义n4.1.1 平衡状平衡状态 定定义 动力学系统 的平衡状态是满足 的那一类状态，用 表示。即 对于线性定常

3、系统 如果矩阵A是非奇异的，则系统只存在唯一的一个平衡状态 =0，而当A为奇异时，则存在无限多个平衡状态。n 对于非线性系统，通常有一个或几个平衡状态。2021/6/163现代控制理论基础n4.1.2 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性n系统受扰动作用后将偏离其平衡状态，随后系统可能出现下列情况：（1）系统的自由响应有界；（2）系统的自由响应不但有界，而且最终回到平衡状态；（3）系统的自由响应无界。Lyapunov把上述三种情况分别定义为稳定、渐近稳定和不稳定。下面分别给出其定义。n(1) Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性 用下式表示以平衡状态 为圆心、半径为k的球域：

4、式中， 称为欧几里德范数，即 4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义2021/6/164现代控制理论基础n定义定义4-1 4-1 对于任意给定的每个实数 ，都对应存在另一实数 ，使得一切满足不等式 的任意初始状态x0出发的系统响应 x，在所有时间内都满足 则称系统的平衡状态 在Lyapunov意义下是稳定的。若 与t0选取无关，则平衡状态 是一致稳定的。 几何含义：几何含义：给定以任意正数 为半径的球域，当t无限增大时，从球域内 出发的轨迹总不越出球域 ，那么平衡状态是 Lyapunov 意义下稳定的。以二维空间为例，上述定义几何解释如右图所示。 4.1 4.1 关于稳定性的

5、几个定义关于稳定性的几个定义二维空间中稳定平衡状态示意图二维空间中稳定平衡状态示意图2021/6/165现代控制理论基础n( (2 2) )渐近稳定渐近稳定 定义定义4-2 4-2 若平衡状态 是Lyapunov意义下稳定的，并且当t 趋近于无穷大时，x(t)趋近于 ，即 ，则称平衡状态 渐近稳定。以二维空间为例，上述定义几何解释右图所示。n（3 3）大范围渐近稳定）大范围渐近稳定 定定义义4-3 4-3 如果平衡状态 是渐近稳定的，且其渐近稳定的最大范围是整个状态空间，那么平衡状态 就称为大范围渐近稳定。 4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义二维空间中渐近稳定平衡状态示意

6、图二维空间中渐近稳定平衡状态示意图2021/6/166现代控制理论基础 很明显，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只存在一个平衡状态。 对于线性系统，如果其平衡状态是渐近稳定的，那么它一定是大范围渐近稳定的。如果系统不是大范围渐近稳定的，那么就要遇到一个确定渐近稳定的最大范围的问题，这通常非常困难。n（4）不稳定不稳定 定义定义4-4 如果对于某一实数 ，不论 取得多么小，在 内总存在一个初始状态x0 ，由此出发的轨迹最终越出 ，即 ，则称平衡状态不稳定。 以二维空间为例，上述定义几何解释右图所示。 4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义二维空间中不稳定平衡状态示意图二

7、维空间中不稳定平衡状态示意图2021/6/167现代控制理论基础4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法n Lyapunov第一方法又叫间接法。它的基本思路是解系统方程，然后根据方程的解判别系统的稳定性。(1)对于线性定常系统只需求出特征值就可判别其稳定性。(2)对于非线性系统，则必须首先将系统的状态方程线性化，然后用线性化方程（即一次近似式）的特征值来判别系统的稳定性。 （1 1）线性系统稳定性的判别）线性系统稳定性的判别 定定理理4-1 4-1 线性连续定常系统渐近稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 例例4-1 试分析如下系统的稳定性。 解解 矩阵A的特征方程

8、为 于是得矩阵A的特征值为 。故系统不是渐近稳定的。2021/6/168现代控制理论基础n定定义义4-5 4-5 若所有的有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称系统为有界输入有界输出稳定。 有界是指如果一个函数h(t)，在时间区间 内，它的幅值不会增至无穷大，即存在一个实常数K，使得对于 内所有，恒有 ，则称h(t)有界。n定理定理4-2 4-2 线性连续定常系统 的传递函数为 当且仅当其极点都在S左半平面内，则系统是输入输出稳 定。 结结论论：若系统 是渐近稳定的，则它也是输入输出稳定的；若系统是输入输出稳定的，且又是能控能观测的，则系统是渐近稳定的。4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法

9、李亚普诺夫第一方法2021/6/169现代控制理论基础n（2）非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 设系统在零输入下的状态方程为 f(x)是与x同维数的向量函数，它对于状态向量x是连续可微的。 将非线性向量函数f(x)在平衡状态 附近展开成泰勒级数，即4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法 雅可比（Jacobian）矩阵。引入偏差向量 ，即可导出系统的线性化方程，或称一次近似式为式中2021/6/1610现代控制理论基础n假如矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态 是渐近稳定的，且系统的稳定性与高阶项无关。n如果一次近似式中矩阵A的特征值中至少有一个实部

10、为正的特征值，那么原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。n如果一次近似式中矩阵A的特征值中虽然没有实部为正的特征值，但有实部为零的特征值，那么原非线性系统的平衡状态 的稳定性要由高阶项决定。4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法2021/6/1611现代控制理论基础n例例4-3 描述振荡器电压产生的Vanderpol方程为 试确定系统渐近稳定Q的取值范围。( )n解解 令 ， ，上式可化为 显然，这是一个非线性方程，其平衡状态xe为 4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法 将状态方程线性化，有 且A的特征方程为 根据Lyapunov第一方法，若原非线性系统平衡状态 x

11、e 是渐 近稳定的，则要求 和 。由于 ，则欲 使 ，必须有 即 。2021/6/1612现代控制理论基础4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法n Lyapunov第二方法又称直接法。它不必通过对运动方程的求解而直接确定系统平衡状态的稳定性，它是建立在用能量观点分析稳定性的基础上。若系统的平衡状态是渐近稳定的，则系统受激励后其贮存的能量将随着时间推移而衰减，当趋于平衡状态时，其能量达到最小值。反之，如果系统的平衡状态是不稳定的，则系统将不断地从外界吸收能量，其贮存的能量将越来越大。 Lyapunov第二方法就是用V(x)和 的正负来判别系统的稳定性。 对于一个给定系统，只要能找到

12、一个正定的标量函数V(x),而 半负定的，那么这个系统就是稳定的称V(x)为系统的一个Lyapunov函数。 本节介绍Lyapunov关于稳定、渐近稳定和不稳定的几个定理。在介绍这些定理前先介绍一下有关标量函数V(x)符号性质的几个定义。2021/6/1613现代控制理论基础n4.3.1预备知识预备知识(1)标量函数标量函数V(x)符号性质的几个定义符号性质的几个定义 设V(x)为由n维矢量x所定义的标量函数， 且在 x=0处，恒有V(x)=0。对所有在域 中的任何非零矢量 x， ，则称V(x)是正定的。 ，则称V(x)是半正定的。 ，则称V(x)是负定的。 ，则称V(x)是半负定的。 或 ，

13、则称V(x)是不定的。4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2021/6/1614现代控制理论基础 (2) 二次型标量函数二次型标量函数（3）P的各阶主子行列式为的各阶主子行列式为 ， ,4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2021/6/1615现代控制理论基础n二二次次型型函函数数V(x)的的符符号号性性质质可可用用赛赛尔尔维维斯斯特特（Sylvester）准则来判断。准则来判断。二次型函数V(x)为正定的充分必要条件为矩阵P的所有主子行列式为正。二次型V(x)为负定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足 二次型V(x)为半正定的充分必要条件为P的各阶主子式行

14、列式满足二次型V(x)为半负定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2021/6/1616现代控制理论基础n4.3.2 Lyapunov第二方法的几个定理第二方法的几个定理 定理定理4-3 设系统的状态方程为 如果存在一个有连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，并且满足下列条件： ； ，则平衡状态xe渐近稳定。 如果随着 ，有 ，则平衡状态xe是大范围 渐近稳定的。定理应用需要注意两点：定理应用需要注意两点：1. 定理只是充分条件，不是充分必要条件。即如果所选取的正定函数的导数不是负定的，并不能断言该系统不稳定，因为很可能还没有找到合适的函数

15、。2. 寻找 Lyapunov函数V(x)的困难在于必须是负定的，而这个条件是相当苛刻的。能否把为负定的这个条件用为半负定来代替？4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2021/6/1617现代控制理论基础n例例4-4 某非线性系统的状态方程为 xe=0是其唯一的平衡状态，试判别平衡状态xe的稳定性。解解 取标量函数V(x)为显然V(x)是正定的。V(x)对时间的导数为将状态方程代入上式，得 显然， 是负定的，函数V(x)满足定理4-3的条件和，则系统的平衡状态是渐近稳定的，V(x)是系统的一个Lyapunov函数。由于当 ，有 ，满足定理4-3的条件，所以系统的平衡状态是大范围

16、渐近稳定的。4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2021/6/1618现代控制理论基础n定理定理4-4 设系统的状态方程为 xe =0是系统唯一的平衡状态。若存在 V(x) 满足下列条件 ； ， 则称系统在原点处的平衡状态是稳定的。 对于任意的 的任意初始状态 ，在 时 除了在 x=0 时有 外，不恒等于零。 则系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。n定理定理4-5 4-5 设系统的状态方程为 xe =0是系统平衡状态。如果存在一个标量函数V(x)，它具有连续的一阶偏导数且满足下列条件： 在原点的某一邻域内是正定的； 在同样的邻域内也是正定的。 那么系统的平衡状态是不稳定的。4.3

17、 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2021/6/1619现代控制理论基础现代控制理论基础204.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法n例例4-5 设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。解解 令 ， ，求得原点(0,0) 为给定系统的唯一平衡状态。如仍取标量函数V(x)为则当 时， ，因此 不是负定的，而是半负定的，因此所选V(x)不满足定理4-3的条件。现另选取显然V(x)是正定的。计算得 , 是负定的，所以该V(x)是系统的一个Lyapunov函数。系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又因为 ，有 ，故系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。2021/6/1620n

18、例例4-6 设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。 解解 显然 ，即原点为平衡状态。选取正定的标量函数 ，则 V(x)为正定的，又 也为正定的，故定理4-5的条件均满足，因此系统的平衡状态是不稳定的。4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2021/6/1621现代控制理论基础n4.3.3 几点几点说明明 应用Lyapunov第二方法分析系统稳定性的关键在于如何找到Lyapunov函数V(x)，然而Lyapunov稳定性理论本身并没有提供构造Lyapunov函数的一般方法。下面简略概括一下Lyapunov函数的属性。 Lyapunov函数是一个标量函数。 对于给定系统，如

19、果存在Lyapunov函数，它不是唯一的。 Lyapunov函 数 最 简 单 的 形 式 是 二 次 型 函 数 。 即 。其中P为实对称正定阵。对于一般情况而言，Lyapunov函数不一定都是简单的二次型函数。但对线性系统而言，其Lyapunov函数一定可以用二次型函数来构造。4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2021/6/1622现代控制理论基础n在线性系统中，如果平衡状态是局部渐近稳定的，那么该系统一定也是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，在大范围内不是渐近稳定的平衡状态有可能是局部渐近稳定的。因此，线性系统的渐近稳定性和非线性系统的渐近稳定性含义是不同的。n两种

20、构造非线性系统两种构造非线性系统Lyapunov函数的方法：函数的方法： (1)克拉索夫斯基（Krasovskii）方法; (2)变量梯度法。n4.4.1 Krasovskii方法方法 非线性系统的状态方程为 假设xe =0。 Krasovskii用状态向量x的导数来构造Lyapunov函数。即令 其中P为对称正定矩阵。4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析2021/6/1623现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析为验证 是否为负定， V(x)对时间t求导数，有考虑到式

21、中 称为系统的Jacobian矩阵。整理得 式中可以证明，若Q是负定的，则 也是负定的。2021/6/1624现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析n结论：结论： 对于非线性系统 若选取正定对称矩阵P，且使为 负定的，则 统在xe=0处是渐近稳定的。 如果 ， 有 ，则系统在xe=0处 是大范围渐近稳定的。n例例4-7 试用Krasovskii方法判别下列系统 在原点处是大范围渐近稳定的。 解解 按照Krasovskii方法选取P=I，故有 由于2021/6/1625现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的L

22、yapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析从而有 , 故有且 由Sylvester判据，知Q是负定的。则系统的Lyapunov函数为显然，当 ， 。所以该系统在原点处是大范围渐近稳定的。 当非线性特性能用解析式表达时，且系统的阶次又不太高时，用Krasovskii方法分析这类非线性系统的渐近稳定性还是比较方便的。它是充分条件，而非必要条件。2021/6/1626现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析n4.4.2 变量梯度法变量梯度法 D.G.Shultz和J.E Gibson在1962年提出来的。主要思路是先假设一个

23、旋度为零的梯度gradV，然后根据它再确定V(x)。 假设非线性系统 的平衡状态xe =0是渐近稳定的，则其Lyapunov函数V(x)存在，且函数V(x)一定具有唯一的梯度gradV 若Lyapunov函数V(x)是x的显函数,而不是时间t的显函数，则V(x)对时间的导数为2021/6/1627现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析写成矩阵的形式为因此D.G.Shultz和J.E Gibson提出，先假设gradV为某一形式，譬如为并根据 为负定的要求确定gradV，进而确定上式中的未定系数，然后由这个gradV 按下式导

24、出V(x) 2021/6/1628现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析 如果求出的V(x)是正定的，这就是给定系统所要构造的Lyapunov函数。 如果V(x)的梯度向量gradV的线积分与路径无关的话，那就必须要求gradV的旋度为零。即要求gradV满足如下方程 其中 对于一个n阶系统，应有n(n-1)/2个旋度方程。如n=3，则有下列三个旋度方程。2021/6/1629现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析 综上所述，如果非线性系统的平衡状态xe=

25、0是渐近稳定，则可按如下步骤求得系统的Lyapunov函数V(x)： 按某一形式给出gradV；从gradV求出 ，并限定它为负定或至少是半负定的； 用式旋度方程确定gradV中的未定系数； 再核对一下 ，因为上一步计算可能使它改变； 求出V(x)。n例例4-8 试用变量梯度法判定非线性系统 在原点处是渐近稳定的。2021/6/1630现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析n解解 设所求Lyapunov函数V(x)的梯度为如下形式于是V(x)的导数为试探地选取 则如果 ， 则 是负定的，将代入梯度公式有2021/6/1631

26、现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析注意到满足旋度方程，所以上面所求得的Lyapunov函数V(x)对于 的所有点都是正定的，所以系统在上述范围内是渐近稳定的。 为了说明由上式所确定的Lyapunov函数不是唯一的，我们重新选择梯度表达式中未定系数为2021/6/1632现代控制理论基础4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析于是 ，在整个状态平面上是负定的。此时 ，由于显然，若 ，则满足旋度方程，所以V(x)为从这个Lyapunov函数可以看出，系统的原点在 范围内是渐

27、近稳定的。系统渐近稳定的范围比前面的大，因此这次构造的Lyapunov函数优于前者。2021/6/1633现代控制理论基础4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析n主主要要内内容容：用Lyapunov第二方法来分析线性连续定常系统以及线性定常离散系统的稳定性。n 4.5.1 线性连续定常系统的稳定性分析线性连续定常系统的稳定性分析 线性连续定常系统的状态方程为 假设所选的Lyapunov函数为二次型函数 其中P为 维实对称正定矩阵。 V(x)对时间的导数为 则有 欲使系统在原点处是渐近稳定的，则要求 是负定的， 因此必须有 式中 为正定对

28、称矩阵。2021/6/1634现代控制理论基础n 定理定理4-6 线性连续定常系统 在平衡状态xe =0处渐近稳定的充分必要条件是给定一个正定 对称矩阵Q，存在一个正定对称P满足方程 上式又称为Lyapunov方程。标量函数 是系统的一 个Lyapunov 函数。 注意：注意：如果 不恒等于零，则Q可取为半正定的 对称矩阵。例例4-9 设二阶线性定常系统的状态方程为 显然，原点是系统的平衡状态。试确定该系统的稳定性。 解解 设Lyapunov函数为4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析2021/6/1635现代控制理论基础矩阵P由下式确

29、定上式可写为将矩阵方程展开，可得联立方程组解方程组可得下面检验矩阵P的正定性，P的各阶主子行列式 P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态渐近稳定，而系统的一个Lyapunov函数为4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析2021/6/1636现代控制理论基础n4.5.2 线性定常离散系统的稳定性分析线性定常离散系统的稳定性分析 设线性定常离散系统状态方程为 式中，G为非奇异矩阵，系统的平衡状态是原点。 假设取如下正定二次型函数4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析 计算 有 令

30、上式称为离散系统的Lyapunov方程。于是有 2021/6/1637现代控制理论基础n定理定理4-7 线性定常离散系统 渐近稳定的充分必要条件是给定任一实正定对称矩阵Q，存在一个实正定对称矩阵P，使得 成立。 是系统的一个Lyapunov函数。在实际应用中，通常取Q=I。 如果 不恒为零，矩阵Q也可以取为半正定。n例例4-10 设线性定常离散系统为 式中 ， 试用Lyapunov第二方法确定xe=0渐近稳定的k值范围。4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析2021/6/1638现代控制理论基础4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统

31、的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析解解 ：取则有展开并整理成解得由定理可知，系统渐近稳定的充分必要条件是P必须正定，即 ，亦即 。2021/6/1639现代控制理论基础n4.6.1 线性定常系统的校正线性定常系统的校正例例4-11设待校正系统的状态方程为试用Lyapunov第二方法考虑其校正方案，使系统的平衡状态成为渐近稳定的。解解 设选取Lyapunov函数为将 对时间求导数，得4.6 Lyapunov4.6 Lyapunov第二方法在线性系统设计中的应用第二方法在线性系统设计中的应用2021/6/1640现代控制理论基础由于除当 时， 外， 不恒等于零，因此要使 成为该

32、系统的一个Lyapunov函数只需 为半负定，因此要求式中K为正常数。上述控制规律就是我们所熟知的速度反馈。其校正后的系统状态变量图如下图所示。4.6 Lyapunov4.6 Lyapunov第二方法在线性系统设计中的应用第二方法在线性系统设计中的应用速度反馈状态变量图速度反馈状态变量图2021/6/1641现代控制理论基础n二、二、估计线性系统动态响应的快速性估计线性系统动态响应的快速性 将Lyapunov函数V(x)看作是状态x到系统平衡状态的距离尺度，将 表征状态x向平衡状态运动的速度。当系统的平衡状态是状态空间的原点时，比值 可以作为在原点的某一邻域内系统向平衡状态运动的快速性指标。

33、对于一个渐近稳定的系统来说，具有负定的Lyapunov函数是可以找到的。于是渐近稳定系统的 总是正值，此值越大，系统状态向原点收敛的速度就越快。考虑在不同的x下将有不同的 。为此取其中最小的 用来估计动态响应的快速性。4.6 Lyapunov4.6 Lyapunov第二方法在线性系统设计中的应用第二方法在线性系统设计中的应用2021/6/1642现代控制理论基础作业：作业： 41； 42； 43（2）；）； 44（a）; 46; 49。4 4控制系统的稳定性控制系统的稳定性LyapunovLyapunov第二方法第二方法2021/6/1643现代控制理论基础 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！