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1、数的整除数的整除 复习策略与试卷浅析从哥德巴赫说起从哥德巴赫说起 200200多多年年前前，德德国国数数学学家家哥哥德德巴巴赫赫根根据据他他的的发发现现，提提出出数数学学猜猜想想：每每一一个个大大于于2 2的的偶偶数数都都可可写写成成两两个个素素数数的和。的和。 数的整除属于数论范畴之一，内容数的整除属于数论范畴之一，内容虽不多，却是数学的精髓。虽不多，却是数学的精髓。 1、研究整除特性，可以提高教师、研究整除特性，可以提高教师的数学涵养，提升教师的数学品位。的数学涵养，提升教师的数学品位。 研究意义研究意义2、回顾整除知识，可以促进学生抽象、回顾整除知识，可以促进学生抽象思维的发展，提高解决
2、问题的能力。思维的发展，提高解决问题的能力。 整整除除知知识识安安排排在在小小学学数数学学五五年年级级下下册册教教材材中中，它它不不仅仅对对整整数数以以及及相相关关的的计计算算进进行行了了概概括括和和整整理理，可可以以进进一一步步扩扩展展学学生生对对整整数数的的认认识识；而而且且，数数的的整整除除直直接接为为学学习习分分数数概概念念、分分数数计计算算等等作作准准备备，发发展展学学生生的的抽抽象象思思维维；为为学学生生将将来来学学习习因式分解等代数知识创造条件。因式分解等代数知识创造条件。 因此对因此对“数的整除数的整除”的复习是使学生进一的复习是使学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统
3、化步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程，是小学数学教学中的重中之重。过程，是小学数学教学中的重中之重。一、复习内容一、复习内容 ：1 1因数和倍数因数和倍数2. 22. 2、5 5、3 3的倍数的特征的倍数的特征3. 3. 质数与合数质数与合数4. 4. 公因数与最大公因数公因数与最大公因数5. 5. 公倍数与最小公倍数公倍数与最小公倍数1.1.因数与倍数因数与倍数（1 1）因数和倍数的概念：）因数和倍数的概念： 浙浙教教版版：用用abn（a、b、c都都是是不不为为0的的整整数数）表表示示a能能被被b整整除除，此此时时a是是b的的倍倍数数，b是是a的的约数（即因数）。约数（即因数）。
4、人人教教版版：用用ab=n直直接接引引出出因因数数和和倍倍数数的的概概念，没有涉及整除、除尽的知识。念，没有涉及整除、除尽的知识。 虽虽然然不不出出现现“整整除除”一一词词，但但本本质质上上仍仍是是以以整整除除为为基基础础。因因此此，复复习习时时应应让让学学生生了了解解“整整除除与除尽与除尽” 知识。知识。（2 2）一个数的因数）一个数的因数求一个数的因数： 用不同的方法求出数n的因数列出积是n的乘法算式或列出被除数是n的除法算式，应引导学生有序思考。一个数的因数的特点： 一个数的最大因数是其自身，最小因数是1。 一个数的因数个数是有限的。 教材通过不完全归纳法得出因数特点，体现了从具体到一般
5、的思路。求一个数的倍数：求一个数的倍数： 用用该该数数乘乘任任一一非非0自自然然数数，所所得得的的积积都是该数的倍数。都是该数的倍数。一个数的倍数的特点：一个数的倍数的特点： 一一个个数数的的最最小小倍倍数数是是其其自自身身，一一个个数数没有最大的倍数。没有最大的倍数。 一个数的倍数个数是无限的。一个数的倍数个数是无限的。（3 3）一个数的倍数）一个数的倍数22、5、3的倍数的特征的倍数的特征 因因为为2、5的的倍倍数数的的特特征征在在个个位位上上就就体体现现出出来来了了，而而3的的倍倍数数涉涉及及到到各各数数位位上上的的数数字字之之和和，较较为为复复杂杂，因因此此对对3的的倍倍数数的的特征应
6、有所侧重。特征应有所侧重。 本部分内容对于熟练掌握约分、通分、本部分内容对于熟练掌握约分、通分、分数的四则运算有很重要的作用。分数的四则运算有很重要的作用。 （1） 2的倍数的特征的倍数的特征2的倍数的特征 个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。奇数和偶数的概念 2的倍数，即偶数；不是2的倍数的数，即奇数。 自然数按是否是2的倍数分，可分为偶数与奇数两大类。（2 2）5 5的倍数的特征的倍数的特征 5的倍数的特征 个位上是0或5的数，都是5的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征 个位上是0的数，是2、5的公倍数。（3）3的倍数的特征的倍数的特征 一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数也
7、是3的倍数。 3 3质数和合数质数和合数 按按因因数数个个数数分分，自自然然数数可可分分成成三三类类：1 1、质数、合数。质数、合数。 1 1 ：只有一个因数；：只有一个因数； 质数：只有质数：只有1 1和它本身两个因数。和它本身两个因数。 合数：除了合数：除了1 1和它本身，还有其它因数。和它本身，还有其它因数。 知道知道100100以内的质数，熟悉以内的质数，熟悉2020以内的质数。以内的质数。会用短除法将合数分解质因数。会用短除法将合数分解质因数。4.4.公因数与最大公因数公因数与最大公因数（1）公因数、最大公因数的概念）公因数、最大公因数的概念（2）最大公因数的求法）最大公因数的求法
8、分别列出两个数的所有因数，再找公因数与最大公因数。 用分解质因数的方法求最大公因数的方法。 两类特殊数的最大公因数：两数存在因数和倍数的关系，两数互质。 了解互质数。5.公倍数与最小公倍数公倍数与最小公倍数（1）公倍数、最小公倍数的概念：）公倍数、最小公倍数的概念：（2）最小公倍数的求法）最小公倍数的求法 分别列出两个数的倍数，再找公倍数与最小公倍数。 利用短除法求最小公倍数。 两类特殊数的最小公倍数：两数存在因数和倍数的关系，两数互质。二、知识框架二、知识框架 ：三、复习目标：1. 使学生理解与区分因数和倍数、质数与合数、奇使学生理解与区分因数和倍数、质数与合数、奇数与偶数、最大公因数与最小
9、公倍数、质因数与数与偶数、最大公因数与最小公倍数、质因数与互质数等概念的意义互质数等概念的意义；掌握掌握能被能被2 2、3 3、5 5整除的整除的数的特征；数的特征；掌握掌握分解质因数、求最大公约数、最分解质因数、求最大公约数、最小公倍数的方法。小公倍数的方法。 2.培养学生独立解决问题的能力。培养学生独立解决问题的能力。3. 宏扬数学文化，激励学生勇于克服困难，培养积宏扬数学文化，激励学生勇于克服困难，培养积极探索的数学精神。极探索的数学精神。四、设计意图：1.填空：填空： 进行系统性的复习与整理。进行系统性的复习与整理。2.选择：选择： 区分概念，发展、渗透数论知识。区分概念，发展、渗透数
10、论知识。3.综合应用：综合应用： 巩固数学方法。巩固数学方法。4.解决问题：解决问题： 回归生活，解决生活中的问题。回归生活，解决生活中的问题。（一）填空题1、式子43=1.333表示4不能被3（ ）；式子84=2表示8能被4（ ）。 复习目标：复习目标： 理解整除、除尽的意义；懂得整除理解整除、除尽的意义；懂得整除与除尽的从属关系。与除尽的从属关系。2、当a、b都是非零整数时，若ab=c，则a、b是c的（ ），c是a、b的（ ）。 复习目标：复习目标： 理解因数、公因数、倍数、公倍数理解因数、公因数、倍数、公倍数的意义。的意义。注意：注意：1、a、b是是c的因数，而非公因数；的因数，而非公因
11、数；2、c是是a、b的公倍数，而非倍数。的公倍数，而非倍数。3、36的因数有（ ），它的因数（ ）。 复习目标：复习目标： 会用穷举法求一个数的因数个数，会用穷举法求一个数的因数个数，知道一个数的因数个数是有限的，最大知道一个数的因数个数是有限的，最大因数是它本身，最小因数是因数是它本身，最小因数是1等。等。 同时也要对一个数的倍数的个数进同时也要对一个数的倍数的个数进行复习。行复习。4、自然数按照因数的个数来分，可以分为（ ）、（ ）和（ ）三大类；而根据（ ）来分，可以分为奇数、偶数两大类。 复习目标：复习目标： 知道自然数可按不同的标准进行知道自然数可按不同的标准进行分类，按不同的标准分
12、类产生不同的分类，按不同的标准分类产生不同的数数1、质数、合数；奇数、偶数。、质数、合数；奇数、偶数。 5、 质数 偶数 奇数 质数 合数18（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）26 复习目标：复习目标： 理解质数、合数、奇数、偶数理解质数、合数、奇数、偶数的意义。的意义。 从按一定标准分类，到各种数从按一定标准分类，到各种数的产生，按一定的脉络复习数学知的产生，按一定的脉络复习数学知识，比单个、零散地呈现要有效得识，比单个、零散地呈现要有效得多。多。6 6、在、在6 6、1414、1515、3232、4545、6060这六个数中，这六个数中，3 3的倍数有（的倍数有（ ）；）；含有因数含有因数5
13、5的数有（的数有（ ）；既是）；既是2 2的倍数又是的倍数又是3 3的倍数的数有（的倍数的数有（ ）；同时是）；同时是2 2、5 5、3 3倍数的数有（倍数的数有（ ）。）。 复习目标：复习目标： 掌握掌握2、5、3的倍数的特征，并的倍数的特征，并能根据能根据 特征进行判别。特征进行判别。 7、一个数的最小倍数是42，这个数是（ ），把它分解质因数是（ ）。 复习目标：复习目标： 懂得一个数的最小倍数就是它懂得一个数的最小倍数就是它本身，理解质因数的意义，能将合本身，理解质因数的意义，能将合数分解质因数。数分解质因数。 8、最大公因数为（ ）的两个数，称为互质数。如（ ）和（ ）、（ ）和（
14、）等。 复习目标：复习目标： 理解互质数的意义，知道理解互质数的意义，知道1和任何和任何自然数、相邻两个自然数、两个不同自然数、相邻两个自然数、两个不同质数一定是互质数，而质数与合数、质数一定是互质数，而质数与合数、合数与合数可能是互质数。合数与合数可能是互质数。 互质数是产生最简分数的基础，互质数是产生最简分数的基础，要与质因数进行区分。要与质因数进行区分。 9、明明把一张长24cm、宽18cm的长方形纸板剪成一些面积相等的正方形而没有剩余，那么每个正方形的边长是（ ）厘米，他至少可以剪出（ ）个这样的正方形。 复习目标：复习目标： 理解公因数、最大公因数的意义。理解公因数、最大公因数的意义
15、。 教师可引导学生通过画图分割去推断出教师可引导学生通过画图分割去推断出边长最长值（最大公因数）。边长最长值（最大公因数）。 10、一次数学竞赛，结果参赛学生 中获得一等奖， 获得二等奖， 获得三等奖，其余是纪念奖，参加竞赛的至少有（ ）名同学。 复习目标：复习目标： 理解公倍数、最小公倍数的意义。理解公倍数、最小公倍数的意义。 教师可引导学生获得一、二、三等奖的教师可引导学生获得一、二、三等奖的学生分别是该班学生除以学生分别是该班学生除以7、3、2得到的商得到的商（整数个），由此推断该班学生一定是（整数个），由此推断该班学生一定是7、3、2的最小公倍数。的最小公倍数。 该题具有隐蔽条件（整数
16、人），还需将该题具有隐蔽条件（整数人），还需将分数转化成除法从整除的意义入手去思考。分数转化成除法从整除的意义入手去思考。小结： 填空题，从除尽与整除，因数与倍数；填空题，从除尽与整除，因数与倍数；质数与合数，奇数与偶数；互质数与质因质数与合数，奇数与偶数；互质数与质因数；到最大公因数与最小公倍数，按知识数；到最大公因数与最小公倍数，按知识体系有序地呈现，凸显出整除单元的网络体系有序地呈现，凸显出整除单元的网络构造。构造。 这样复习，能有效地让学生重建与完这样复习，能有效地让学生重建与完善知识系统，形成更完整的整除观念。善知识系统，形成更完整的整除观念。 （二）选择：2、整数a的所有因数为1、
17、2、3、4、6、a，它的最小倍数（ ）。A、是1 B、可能是6 C、一定是a D、可能是6或a 分析：分析： 该题应从倍数的外延去考虑该题应从倍数的外延去考虑一一个数的最小倍数是它本身，则应选个数的最小倍数是它本身，则应选C。4、1、4、9、16、25、36称为平方数，它们的因数个数有（ ）个。A、奇数 B、偶数 C、合数 D、质数分析：分析： 该题介绍了完全平方数的数论知识该题介绍了完全平方数的数论知识，探讨探讨了平方数与非平方数的本质区别了平方数与非平方数的本质区别平方数因平方数因数个数有奇数个。数个数有奇数个。 我们应引导学生用不完全归纳法去寻找规我们应引导学生用不完全归纳法去寻找规律：
18、律：5、将分数 通过约分，得到一个最简分数 ，其中没有涉及（ ）的知识。A、最大公因数 B、最小公倍数 C、短除法 D、分数的基本性质 分析：分析： 从约分的角度分析，它的基础是最大公因从约分的角度分析，它的基础是最大公因数，而求两个数的最大公因数要用到短除法；数，而求两个数的最大公因数要用到短除法；另一种思路是从分子、分母同时缩小另一种思路是从分子、分母同时缩小12倍，想倍，想到分数的基本性质（教师同时可复习比的基本到分数的基本性质（教师同时可复习比的基本性质、商不变的性质）。性质、商不变的性质）。 该题通过排除，得出正确结论：该题通过排除，得出正确结论：B。 7、m和n是非零自然数，mn1
19、，那么m，n的最大公因数是（ ）A、1 B、mn C、m D、n分析：分析： 该题从减法的角度，得出两个相邻的该题从减法的角度，得出两个相邻的自然数为互质数自然数为互质数，则最大公因数为则最大公因数为1。 教师可以改编该题，让学生进行以下教师可以改编该题，让学生进行以下辨析：辨析： 9、哥德巴赫猜想是数论中存在最久的未解问题之一。其陈述为：任一大于2的偶数，都可表示成两个质数的和。根据哥德巴赫猜想，24表示成两个质数之和有（ ）种方式。A、2 B、3 C、4 D、5分析：分析： 教师可通过介绍哥德巴赫猜想与陈景润教师可通过介绍哥德巴赫猜想与陈景润领先世界的研究，激起学生探究数学未解之领先世界的
20、研究，激起学生探究数学未解之谜的欲望；并激发中国人的自豪感。谜的欲望；并激发中国人的自豪感。 该题要引导学生拆数、列举，去得出正该题要引导学生拆数、列举，去得出正确结论。确结论。 12、下列四组数中，与众不同的一组数是（ ）。A、12和18 B、16和48 C、72与39 D、21和51 分析：分析： 该题主要复习能被该题主要复习能被3整除的数的特征。整除的数的特征。学生会发现学生会发现A、C、D的两个数都具有因数的两个数都具有因数3，而，而B没有，所以没有，所以B与众不同。与众不同。 如果如果 把把C改成改成12与与6，则该题具有开放，则该题具有开放性，你会怎样选呢？性，你会怎样选呢？ A、
21、30cm30cm B、40cm40cmC、50cm50cm D、60cm60cm13、小丽家的客厅（如右图）要铺地砖，（ ）规格的地砖铺地节约且完整，请你帮她选择。分析：分析： 该题考查最大公因数的知识。要引导该题考查最大公因数的知识。要引导学生从理解学生从理解“节约且完整节约且完整”的意思入手，的意思入手，体会体会“最大与公约最大与公约” 的意义。的意义。 19、下列关于合数的说法中，正确的有（ ）句。A是大于2的偶数，它一定是合数。任何一个合数的因数中，至少有一个是质数。如果整数s能分解质因数s=abc，那么s一定是合数。两个合数的最大公因数不可能是1。A、1句 B、2句 C、3句 D、4
22、句 分析：分析： 该种题型其实是四合一的判断题，因该种题型其实是四合一的判断题，因为难以使用排除法，所以错误率非常高。为难以使用排除法，所以错误率非常高。错因是学生的知识系统不具全面性。错因是学生的知识系统不具全面性。 因此，我们只能从概念之间的联系与区因此，我们只能从概念之间的联系与区别去逐个探讨，再进行选择。别去逐个探讨，再进行选择。 20、古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有四个因数，1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数。6123，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（ ）A、2
23、8 B、12 C、36 D、48 分析：分析： 与第与第4、9题一样，介绍数论中的题一样，介绍数论中的“完完全数全数” 。然后让学生通过列举与计算来选。然后让学生通过列举与计算来选择正确的答案。择正确的答案。 由于填空题打下了一定的基础，所以由于填空题打下了一定的基础，所以在选择题中将知识进行了拓展。具体策略在选择题中将知识进行了拓展。具体策略为：与分数、除法、比、可能性等知识相为：与分数、除法、比、可能性等知识相联系，体现知识的综合性；结合列举法、联系，体现知识的综合性；结合列举法、找规律、操作等方法，体现了一定的数学找规律、操作等方法，体现了一定的数学思想；介绍平方数、完全数、哥德巴赫猜思
24、想；介绍平方数、完全数、哥德巴赫猜想，渗透了数论中相关研究，激励学生在想，渗透了数论中相关研究，激励学生在数学的长河里勇于跋涉。数学的长河里勇于跋涉。小结：（三）综合应用：易错点：易错点： 1、理解奇合数的意义。、理解奇合数的意义。 2、懂得与、懂得与18互质的数有无数个，并非互质的数有无数个，并非是是18的因数。的因数。 4、求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。5和8 24和32 14、28和42注意点：注意点： 1、能直接判断的应让学生直接得出最、能直接判断的应让学生直接得出最大公因数与最小公倍数。大公因数与最小公倍数。 2、应从集合（交集、并集）的角度让、应从集合（交集、并集）的角度
25、让学生去列举；或者使用短除法去求几个数学生去列举；或者使用短除法去求几个数的的 最小公倍数与最大公因数。最小公倍数与最大公因数。 （四）解决问题：2、20张卡片上分别写了120这二十个数字。你觉得这20张卡片可以按照怎样的标准来分分类呢？你是怎样分的？ 分析：分析： 该题具有开放性，教师可引导学生从该题具有开放性，教师可引导学生从能否被能否被2整除；按因数的个数；按位数；按整除；按因数的个数；按位数；按数字和是否数字和是否3的倍数等多种标准去分类。的倍数等多种标准去分类。 可采用画表法来简化解题过程。可采用画表法来简化解题过程。 分析：分析： 该题考查学生观察、审题、分析的能该题考查学生观察、
26、审题、分析的能力。应与最大公因数、植树问题建立起联力。应与最大公因数、植树问题建立起联系。系。 解：（120，160）=40米 （120160）401=8盏 （五）我来闯关：分析：分析： 选择题第选择题第13题是根据房间的长宽选地题是根据房间的长宽选地砖，该题根据地砖选房间，则要从各个房砖，该题根据地砖选房间，则要从各个房间的长、宽的公因数入手去思考。间的长、宽的公因数入手去思考。 解：能铺满“浴卫”间地面，因为30厘米是150厘米与300厘米的公因数。 （150300）（3030）=50块2、先计算再寻找规律：（6，4）= 6，4= （6，4）6，464（9，12）= 9，12= （9，12
27、）9，12912（10，25）= 10，25= （10，25）10，251025 通过以上的计算我发现 。 我能根据上面的发现解决问题： 小军与小玲比捐款钱数，他俩捐款钱数的最大公因数是15，最小公倍数是150，小军的捐款30元，小玲捐款多少元？ 分析：分析： 通过计算，可以发现规律通过计算，可以发现规律“两个两个数的积等于它们最小公倍数与最大公因数数的积等于它们最小公倍数与最大公因数的乘积。的乘积。” 再根据规律去解决问题。再根据规律去解决问题。 解：1515030=75元 总结： 数数的的整整除除是是一一门门相相对对独独立立的的数数学学分分支支。仅仅仅仅一一些些数数的的概概念念，就就已已足
28、足够够让让学学生生头头疼疼的的了了，可可见见其其抽抽象象性性。正正因因为为此此，所所以以人人教教版版教教材材中中大大量量使使用用列列举举法法，不不出出现现短短除除法法，还还把把最最大大公公因因数数、最最小小公公倍倍数数的的知知识识置置于于分分数数的的学学习习中中。这这些些都都是是降降低低难难度度，尽尽量量让让学学生生在在理理解解的的基基础础上上去去掌掌握握知知识识的的实实质质性性举举措措。但但事事实实上上，我我们们在在掌掌握握了了列列举举法法之之后后，总总觉觉得得书书本本上上的的方方法法太太肤肤浅浅，远远远远不不能能满满足足实实际际的的需需要要，所所以以大大家家还还会会教教给给学学生生运运用用短短除除法法分分解解质质因因数数、求求最最大大公公因因数数与与最最小小公公倍倍数数的的知知识识。方方法法上上是是这这样样，数数学学思思想想上上如如此此，我我们们所所编编拟拟的的试试题题也也是是如如此此，也也应应遵遵循循学学生生的的需需要要、时时代代的的需需求求，在学习中发展，在发展中提高。在学习中发展，在发展中提高。谢谢您的聆听！
