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1、【引入】为什么提出(t ch)“角动量”概念？问题一：两个质点如右图，以不同半径的轨道转动，动量大小相等，位移(wiy)方向相同时连动量方向也相同，该如何区别两个质点？但是系统有机械运动，说明不宜使用动量(dngling)来量度转动物体的机械运动量(dngling)。问题二：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为CM*引入与动量 对应的角量 角动量（动量矩）动量对参考点（或轴）求矩第1页/共30页第一页，共31页。一、相关(xinggun)概念 1. 质点的角动量(angular momentum)定义：大小：方向(fngxing)：yzmo质点(zhdin)相对O点的矢
2、径 第2页/共30页第二页，共31页。质点(zhdin)的角动量的方向 质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量 的方向符合右手法则。1）从位矢 转向速度 2）夹角小于180度 注意四指代表质点相对(xingdu)于0点的转动趋势，则大拇指代表角动量的方向【特别】在圆轨迹(guj)运动时第3页/共30页第三页，共31页。直角坐标(zh jio zu bio)系中角动量的分量表示 注意*必须指明参考点，角动量才有实际意义。*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动(yndng)的强弱。第4页/共30页第四页，共31页。2、力矩(l j)(moment of force) 单位(
3、dnwi)：牛米（N m）定义(dngy)：力对定点的力矩大小：方向： 服从右手定则力矩 mo四指代表该力作用下质点相对于0点的转动趋势，则大拇指代表力矩的方向【特别】在圆轨迹运动时第5页/共30页第五页，共31页。例题(lt)、解：求角动量和力矩(l j)直角坐标(zh jio zu bio)系中力矩的分量式:第6页/共30页第六页，共31页。合力为零时，其合力矩是否一定为零？合力矩为零时，合力是否一定为零？例：不一定作用力和反作用力对同一参考点合力矩为零。从而，质点系内力矩矢量(shling)和一定为零。讨 论第7页/共30页第七页，共31页。 作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于
4、质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.二、质点(zhdin)的角动量定理(theorem of angular momentum) 第8页/共30页第八页，共31页。质点(zhdin)的角动量定理(theorem of angular momentum) 质点角动量对时间的变化率等于作用于质点的力矩质点角动量定理的微分形式。质点角动量的增量等于外力矩对质点的角冲量（冲量矩）角动量定理的积分(jfn)形式冲量(chngling)矩第9页/共30页第九页，共31页。 例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面(pngmin)内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于
5、圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面(pngmin)上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.质点(zhdin)的角动量定理ABGR第10页/共30页第十页，共31页。小球(xio qi)受重力和支持力作用,圆环的支持力为有心力，力矩为零；重力矩垂直纸面向里由质点(zhdin)的角动量定理质点(zhdin)的角动量定理ABGR 解 得第11页/共30页第十一页，共31页。由题设条件(tiojin)积分上式 本题(bnt)也可以用质点的功能原理（或质点和地球构成的质点系的机械能守恒定律）求解。第12页/共30页第十二页
6、，共31页。因为(yn wi)三、质点(zhdin)的角动量守恒定律所以(suy)角动量守恒定律（2）力 的作用线与矢径 共线，即过0点（即 ，有心力）力矩为零的情况（1）力 等于零；h2h1讨论1这也是自然界普遍适用的一条基本规律。力心第13页/共30页第十三页，共31页。 如果作用于质点(zhdin)的合力矩不为零, 而合力矩沿z轴的分量为零,则恒量 ( 当Mz = 0时 ) 当质点(zhdin)所受对z轴的力矩为零时,质点(zhdin)对该轴的角动量保持不变质点(zhdin)对轴的角动量守恒定律。讨论2第14页/共30页第十四页，共31页。例、 已知：地球 R=6378 km（地球均匀球
7、体(qit)） 卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1 远地: h2= 2384 km 求 ： v2=?解：由于卫星是在地球的万有引力(wn yu ynl)有心力作用下运动，故卫星 m 对地心 o的 角动量守恒h1h2R.o近地(jn d)远地第15页/共30页第十五页，共31页。 例：行星运动的开普勒第二定律(dngl)认为, 对于任一行星, 由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定律(dngl)证明之。 解:将行星看为质点,在dt 时间内以速度 完成的位移为 ,矢径 在d t 时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。 根据质点(zhdin)角动量的
8、定义 om则第16页/共30页第十六页，共31页。矢径在单位时间内扫过的面积(min j)（称为掠面速度） 万有引力属于有心力, 行星相对于太阳所在处的点O的角动量是守恒的, 即 = 恒矢量,故有 恒量 行星对太阳所在点O 的角动量守恒,不仅角动量的大小不随时间变化(binhu), 即掠面速度恒定, 而且角动量的方向也是不随时间变化(binhu)的, 即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的。第17页/共30页第十七页，共31页。 例：质量为m的小球系于细绳的一端 ,绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上, 小球被放在水平桌面上内绕细棒旋转, 某时刻(shk)角速度为1，细绳的长度为r1。当旋转了若干
9、圈后, 由于细绳缠绕在细棒上, 绳长变为r2, 求此时小球绕细棒旋转的角速度2 。解：小球受力 绳子的张力 ,指向细棒；重力 ，竖直向下；支撑力 ,竖直向上。 与绳子平行, 不产生力矩； 与平衡，力矩始终为零。所以, 作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零, 故小球对细棒的角动量必定是守恒的。 第18页/共30页第十八页，共31页。根据(gnj)质点对轴的角动量守恒定律 式中v1是半径(bnjng)为r1时小球的线速度, v2是半径(bnjng)为r2时小球的线速度。 代入上式得解得 可见, 由于细绳越转越短, , 小球的角速度必定越转越大, 即 。而第19页/共30页第十九页，共31页。 例：
10、光滑的水平面上(min shn)用一弹性绳（k）系一小球(m)。开始时，弹性绳自然伸长(L0)。今给小球与弹性绳垂直的初速度V0, 试求当弹性绳转过90度且伸长了L 时，小球的速度大小与方向。v0vmL0L0+L习 题 训 练第20页/共30页第二十页，共31页。 解 由机械能守恒(shu hn)有： 如何(rh)求角度？ 由于质点在有心力作用(zuyng)下运动，故角动量守恒。有：v0vmL0L0+L第21页/共30页第二十一页，共31页。 例2 一质量 的登月飞船, 在离月球表面高度 处绕月球作圆周运动.飞船采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短时间喷气 , 使飞船与月球相
11、切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知月球半径 ; 在飞船登月过程中,月球的重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量 是多少?BhORA第22页/共30页第二十二页，共31页。 解 设飞船在点 A 的速度 , 月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律BhORA已知求 所需消耗燃料的质量 .第23页/共30页第二十三页，共31页。得得当飞船在A点以相对速度u 向外喷气的短时间里 , 飞船的质量减少了m 而为 , 并获得速度的增量 , 使飞船的速度变为 , 其值为质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒BhORA
12、第24页/共30页第二十四页，共31页。飞船(fi chun)在 A点喷出气体后, 在到达月球的过程中, 机械能守恒即于是而BhORA第25页/共30页第二十五页，共31页。 例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行? 解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后(qinhu)系统角动量守恒系统(xtng)角动量守恒第26页/共30页第二十六页，共
13、31页。由角动量定理(dngl)即考虑到第27页/共30页第二十七页，共31页。 例4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来(q li).设跷板是匀质的,长度为l,质量为 ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh 解 碰撞(pn zhun)前 M 落在 A点的速度 碰撞(pn zhun)后的瞬间, M、N具有相同的线速度第28页/共30页第二十八页，共31页。 把M、N和跷板作为一个系统(xtng), 角动量守恒解得演员 N
14、 以 u 起跳(qtio), 达到的高度ll/2CABMNh第29页/共30页第二十九页，共31页。谢谢您的观看(gunkn)！第30页/共30页第三十页，共31页。内容(nirng)总结【引入】为什么提出“角动量”概念。问题二：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为。四指代表质点相对于0点的转动趋势，则大拇指代表角动量的方向。四指代表该力作用下质点相对于0点的转动趋势，则大拇指代表力矩的方向。合力矩为零时，合力是否一定为零。小球受重力和支持力作用,圆环的支持力为有心力，力矩为零。行星, 由太阳到行星的径矢在相等(xingdng)的时间内扫过相等(xingdng)。球的力对细棒的力矩始终等于零, 故小第三十一页，共31页。
