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1、第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节空间直角坐标系第二节向量代数第三节曲面及其方程第四节平面及其方程第五节空间曲线及其方程第六节空间的直线及其方程第七节二次曲面第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系一、空间点的直角坐标二、空间两点间的距离横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系. .一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示: :坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面
2、上的点二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为解解原结论成立原结论成立. .解解设设P P点坐标为点坐标为所求点为所求点为空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）三、小结三、小结第二节第二节 向量代数向量代数一、向量的概念二、向量的加减法三、向量与数量的乘积四、向量在轴上的投影五、向量的分解和向量的坐标六、向量的模与方向余弦坐标表示式七、两向量的数量积八、两向量的向量积向量：向量：既有大小又有方向的量
3、既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . 11加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则
4、）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3 3）22减法减法三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系注意注意：两个向量的平行：两个向量的平行分为同向和反向分为同向和反向按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的
5、规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量. .例例1 1化简化简解解四、向量在轴上的投影与投影定理四、向量在轴上的投影与投影定理空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值. .空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证关于向量的关于向量的投影定理（投影定
6、理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）五、向量在坐标轴上的分向量与向量五、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标空间的点空间的点有序数组有序数组建立了直角坐标系后，建立了直角坐标系后，也就是说空间的点可以用坐标也就是说空间的点可以用坐标表示表示那么，向量能不能用坐标的形式表示呢？那么，向量能不能用坐标的形式表示呢？ 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊
7、地：特殊地：向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .六、向量的模与方向余弦的坐标表示式六、向量的模与方向余弦的坐标表示式由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为解
8、解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或解解定义定义七、两向量的数量积七、两向量的数量积数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”. .结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .1 1、数量积的定义及性质、数量积的定义及性质关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：若若 、 为数为数：设设数量积的坐
9、标表达式数量积的坐标表达式2 2、数量积的坐标计算公式、数量积的坐标计算公式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为3 3、两非零向量夹角余弦的坐标表示式、两非零向量夹角余弦的坐标表示式解解八、两向量的向量积八、两向量的向量积定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”. .b b a a c=abc=ab 证证/ / /关于基本单位向量有关于基本单位向量有关于向量积的说明：关于向量积的说明：/ /向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1 1）反交换律：）反交换律：（2 2）分配律：分配律：（3
10、3）若若 为数：为数：设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示/ /由上式可推出由上式可推出例如，例如，注意注意 a a b b q abab 解解解解三角形三角形ABCABC的面积为的面积为第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心
11、在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放二、旋转曲面二、旋转曲面旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入将将 代入代入得方程得方程例例3 3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面播放播放定义定义观察柱
12、面的形观察柱面的形成过程成过程: :平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线. .三、柱面三、柱面柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴 在空间直角坐标系下，含两个变量的方程为柱面在空间直角坐标系下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴于哪
13、一个坐标轴 . . 曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法. .柱面的概念柱面的概念( (母线、准线母线、准线). ).四、小结四、小结第四节第四节 平面及其方程平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般式方程三、两平面的夹角如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不
14、在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点解：因为平面垂直于向量，所以平面可以取法向量为解：因为平面垂直于向量，所以平面可以取法向量为又因为平面过点（又因为平面过点（2 2，1 1，1 1），所以由平面的点法式方程得：），所以由平面的点法式方程得：解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般方
15、程二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. .三、
16、两平面的夹角三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/ / /例例6 6研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合. .平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角. .点法式方程点法式方程. .一般方程一般方程. .截距式方程截距式方程. .（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征
17、）小结小结第五节第五节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标平面上的投影第六节第六节 空间的直线及其方程空间的直线及其方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/ /二、空间直线的对称式方程
18、与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程直线的对称式方程 （点向式方程）（点向式方程）令令直线的一组直线的一组方向数方向数直线的参数方程直线的参数方程解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为垂直的直线方程垂直的直线方程. . 为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量. . 例例1. 1. 求过点求过点(1,(1,2 , 4)2 , 4) 且与平面且与平面例例2 2用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两
19、平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程定义定义直线直线直线直线 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之. .（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：/ /直线直线直线直线例如，例如，解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/ / 解解为所求夹角为所求夹角空间直线的一般方程空间直线的一般方程. .空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程. .两直线的夹角两直线的夹角. .直线与平面的夹角直线与平面的夹角. .（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）小结小结第七节第七节 二次曲面二次曲面一、椭球面二、双曲面三、抛物面
