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1、7.2 约束系数模型一、约束的四种情形二、约束的影响和作用三、模型的检验约束系数模型 在建立回归模型时，有时需要根据经济理论对模型中变量的参数施加一定的约束。例如，在估计以幂函数的形式表示的生产函数模型时，有时也施加产出关于资本与劳动的弹性为1的约束。模型施加约束后进行回归，称为受约束的回归受约束的回归。 对于约束的情形，有些是给定某些回归系数值，有些则是给出系数间的某种关系。主要考虑四种约束情形：定期约束，不等式约束，线性约束，非线性约束。一、定期约束以两个解释变量为例，设 （7.2.1）假定已知 ，回归方程变为用最小二乘估计法可以得到为推导公式，注意到一、定期约束一、定期约束从而可以得到：
2、一、定期约束可以用无偏估计量S2代替 ，计算出 方差注意：受约束的 的最小二乘估计包含了1=0的信息，而且受约束的方差比正常未受约束的方差要小。一、定期约束由上式可以得出同样对 也有一样的结果，即受约束的估计比不受约束的估计有较小的方差。一、定期约束现假定（7.2.1）的回归方程 已知回归系数 的斜率，则方程可以写为其中 ，此时 估计值在无约束和受约束时的方差比为其中r23是xi2和xi3的相关系数。由上式可以发现，除非r23为0，不然估计 时用到 会有附加的影响，且当r23近似为1时，影响相当大，即两个变量有很高的相关。二、不等式约束假设回归系数 约束是 。 由于方程的一个或者多个系数受到不
3、等式约束，会使回归估计变得比较复杂。为简化不等式约束，得到 的最小二乘估计，定义约束估计 如下： 被定义在一个有限的区间内，不服从正态分布，但是当样本增大时，通常不受限制的估计在不等式约束区间外的可能性就会变小，即对于大样本的情形，我们可以认为上式的分布合理地近似正态分布，另一种近似是“混合估计”二、不等式约束混合估计混合估计对于同样的约束 ， 在区间的可能性为1，但是其在区间的位置一无所知，一般认为 在区间内是均匀的，可写为其中：主要思想：将一个或是几个回归系数的先验信息同样本资料接合起来，把不等式约束看作一个附加的观察值，然后用最小二乘法“扩展样本”。二、不等式约束首先：上式表示第（n+1
4、）个观察值会引起异方差，将两边乘以 得到 此时，这就排除了异方差性。 yi第（n+1）个的观察值是不知道的，因为 是未知的，但我们可以用 代替 。 二、不等式约束对于只有两个解释变量且约束为 ，其混合估计是其中混合估计的 方差估计式在给定的特殊条件下， 混合估计是一致和渐近有效的。但是方差估计式以非线性的方式含有 ，无偏性较难证明，导致混合估计有可能在区间外。三、线性约束精确识别：约束参数由无约束参数唯一确定精确识别：约束参数由无约束参数唯一确定考虑单个解释变量的季节影响模型对后三个季节引入二态变量 三、线性约束原模型可写成： 这里有5个参数：1，2，3，4和。该问题的约束就是2等于Qt2的系
5、数加截距，3等于Qt3的系数加截距，4等于Qt4的系数加截距。对于上式，无约束形式无约束形式是三、线性约束对比两式系数可得 整理可得此时无约束和约束参数之间有一一对应的关系，这种情形称作“精确识别”，即约束参数可由无约束参数唯一确定，这样就可由无约束参数的最小二乘估计来得到约束系数的估计,并且无约束参数的性质也都可以转移到前者。三、线性约束过度识别：无约束参数多于约束参数过度识别：无约束参数多于约束参数考虑柯布-道格拉斯生产函数：现将其对数化，并规定回归斜率之和为1，模型变为其无约束形式为对应两式系数可得此时，无约束参数多于约束参数， 不是唯一解的情形叫做“过度识别”三、线性约束此时用前面所讲
6、的方法得到约束系数估计不再适用。直接对约束方程采用最小二乘估计，则结果等同于对下面的式子使用最小二乘法三、线性约束不定识别：约束参数多于无约束参数不定识别：约束参数多于无约束参数考虑家庭水果消费函数：家庭蔬菜消费函数：在实际中一般水果和蔬菜的资料是一起提供的，不能分开考虑，则将方程叠加在一起，即：无约束形式无约束形式：对比两式系数有有4个约束参数，只有2个无约束参数，故在不定识别的情形下不能用无约束参数来表示约束参数四、非线性约束精确识别精确识别考虑简单存储模型 t时刻的 期望储蓄量 t时刻的销售量进一步假定，任一时期对储蓄量的调整不和期望一样，则： 调整系数将 带入，可得无约束形式无约束形式
7、系数关系无约束系数和约束系数间有一一对应的关系， 和 是无约束 的非线性函数。用无约束的OSL估计参数。四、非线性约束可以通过无约束估计 的方差，可以定出 的无约束估计的方差。即 的方差的确定比较麻烦。但是在大样本下 的方差可近似为四、非线性约束过度识别过度识别考虑干扰遵守一阶自回归型式的简单模型：其中：将方程消去 ，滞后一个时期，将方程变换为：无约束形式对比系数可得有4个无约束参数，只有3个约束参数，的解不唯一，为过度识别情形。直接考虑对约束方程直接采用最小二乘法对于过度识别情形，极大似然估计是普遍而适用的，但计算复杂，且不能保证函数的极大值是否是整个区间上的四、非线性约束不定识别不定识别考
8、虑消费函数其中：无约束形式无约束形式对比系数可得从而和 是过度识别的，可从非线性最小二乘估计得出。K和无解存在，是不定识别的，从样本中得不出不出他们。五、约束的影响和作用约束对约束对R2的影响的影响在精确识别的情形下，约束估计和无约束估计有相同的样本回归方程，因此约束对R2无影响在过度识别的情形下，约束的回归方程的R2值等于或小于非约束方程的R2值约束对预测误差方差的影响约束对预测误差方差的影响假定解释变数值 和 ，想预测Y的值，用无约束方程无约束方程，得到利用公式，可得 的预测误差的方差五、约束的影响和作用 若使用约束回归方程约束回归方程预测y值，则预测误差的方差为两式差为：这说明无约束预测
9、值的方差值不小于约束预测值的方差。因此，约束估计给我们提供了一个较好的预测过程。五、约束的影响和作用约束的作用约束的作用约束影响的是总体回归方程，如果先验信息是正确的，我们就可以提高估计的效率，提高的程度取决于信息的类型和无约束估计的方差。先验信息的作用一般随着样本规模的变化而变化，因为一般情况下，无约束估计的方差随样本规模增加而减少。在小样本情况下，附加观察值非常有限，先验信息就很有价值。六、模型的检验沃尔德沃尔德(Wald)检验检验 估计线性模型时可对模型参数施加若干个线性约束条件，然而对所考察的具体问题是否能施加约束条件，或者说能否直接对施加约束后的模型进行回归，就还需要进一步的检验。常用的检验有F检验， 检验和t检验。在EVIEWS软件中，常用的是沃尔德检验。考虑线性回归模型：Y=XB+U若约束条件即原假设为：RB=r其中，R是一个已知的m(k+1)阶矩阵，B，r分别是K+1维和m维列向量。则沃尔德检验统计量为：在原假设下，统计量W近服从给定显著性水平，查自由度为m的 分布表，得临界值 。若W ,则拒绝原假设，约束条件不成立；反之，约束条件为真。谢谢！谢谢！28
