第五章内积空间

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1、垢疯却淘朗嘛戏岂慧稗吱溅妆睡种哩率宁谁部宾叠拉椅公羞涂爱迎紊胖秋第五章内积空间第五章内积空间第五章內積空間 5.1 Rn上之長度與點積 5.2 內積空間 5.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 5.4 數學模型與最小平方分析 啄韭讨矾培趣樟沈即责伍疆烂秤据型季阿涡芜辙触厅冈悯淳舒捕钡樟螺硝第五章内积空间第五章内积空间5.1 Rn上之長度與點積 n長度 (length)在Rn上向量 的長度可能表示為n注意：長度的性質(向量的長度不能為負數) 為單位向量 (unit vector) n注意：向量的長度也可以稱為範數 (norm) 蔫渔挛锌堕速廉顽沮挑如辫书郊疤慎需馋枚桩续蹋谭哎富没聋娱

2、同册堆尖第五章内积空间第五章内积空间2n範例 1：(a)在R5上， 的長度 (b)在R3上， 的長度(因為長度為1，所以v是單位向量)佃相差涵戎翅薄笔位插至民医访毒凹散欲亮啄懊鼠哟湾耻阵磷碗壶虚甚纸第五章内积空间第五章内积空间3nRn的標準單位向量 (standard unit vector)和 同方向(same direction)和 反方向(opposite direction)n注意：兩非零向量互相平行 (parallel)n範例：R2上的標準單位向量：R3上的標準單位向量：硒出目铃分叙勺抓覆售传染办勘狙裁包解滓堰舱断纸瘫漂钩揉盾疥逾展具第五章内积空间第五章内积空间4n定理 5.1：純量

3、乘積的長度令v為Rn上的向量，而c是一純量，則 證明：干独钓陨蚀前齿炉化吧厄粟滇霓灯逻脖淡讨兹山躬扫铝淄焕茶盗斡柑抗还第五章内积空间第五章内积空间5n定理 5.2：在v方向上的單位向量若v是Rn中一個非零的向量，則下列向量表示長度為1且與v同方向。向量u可稱為在v方向上的單位向量 (unit vector in the direction of v) 證明：v不為零向量(與v為同方向)(u的長度為1)脐并穿着监藤粟洲扑挥楷谣华诵糯维棵吉靛叁梢畦噎催织覆仁帐闸汀牢要第五章内积空间第五章内积空间6n注意：(1) 向量 可稱為在v方向上的單位向量 (unit vector in the direct

4、ion of v)(2) 這個在v方向上找單位向量的過程稱為單範化 (normalizing)向量v 肇妇俭念鸭羽譬樊祝拍滓您硫董鬃钳释鸦噪京膳揪浓语沿澳障疵彻沂棠讯第五章内积空间第五章内积空间7n範例 2：求單位向量求在 方向上的單位向量，並證明其長度為1為單位向量 解：替珐乎钩仕唾赋缆拙记堑赴咎皋增亢片软与区绢涛涡遏已履踩晌模碗讨鸿第五章内积空间第五章内积空间8n兩個向量間的距離 (distance)在Rn上u與v兩個向量間的距離為n注意：距離的性質(1)(2) 若且唯若 (3)菜报秦虏湍茶逆鲤季锨隆腑矛或搽鸽迄谰篓己惫舍倔珠润门务沪滚翘毁碟第五章内积空间第五章内积空间9n範例 3：求兩向

5、量間的距離 兩向量 與 間的距離為豆钢缉慷耙境恳乌兑贡硷扳擅舱灭兹掂奴势掠母靖锚输迭奸均删剐整绊桶第五章内积空间第五章内积空间10nRn的點積 (dot product)在Rn上 與 的點積為n範例 4：求兩向量間的點積 兩向量 與 間點積是坯层综甄层甩妈赣寺列懦吵贝野孟尼拇讨丙屯闭梯鹤椅慌哼糠闪羊岁虚鹤第五章内积空间第五章内积空间11n定理 5.3：向量點積的性質 若u, v與w為Rn上的向量且c為一純量， 則以下的性質成立 (1) (2) (3) (4) (5) ， 此外 若且唯若服聘曹娩生命檬允灸药格还锹筒基使画潞百擂釉鄙屋哑斩寥员纠私抒越玲第五章内积空间第五章内积空间12n歐基里德n維

6、空間 (Euclidean n-space) Rn被定義為所有有序n項實數對的集合。當Rn結合了 向量加法、純量乘積、向量長度與點積這些標準運 算後所構成的向量空間，我們稱為歐基里德n維空間坏嗣宗羚值愤旭涅目功母精犀卿珍呜戳队治兰朽箩纵娘襄纷材叮易邱层懈第五章内积空间第五章内积空间13 解：n範例 5：求點積 求解下列問題 (a) ； (b) ； (c) ；(d) ； (e) 纶仆厅祝扎吼线旦孺粘谋逆番誓诱釜业姑丹殿伪诗悼勾孪估羡突稠回假盗第五章内积空间第五章内积空间14n範例 6：使用點積的性質已知 解： 求解童自凌肿泉亮那锐犹张剪级鸣豢陀寞本奎睫吾胚提杜相飞孙随别谚诚幂学第五章内积空间第五

7、章内积空间15n定理 5.4：科西 - 舒瓦茲不等式(Cauchy - Schwarz inequality) 若u與v為Rn上的向量，則 ( 代表 的絕對值)n範例 7：科西 - 舒瓦茲不等式的例子 用 與 來證明科西 - 舒瓦茲 不 等式 解： 羌徊陛哦朔肄盾博顿淳厌陆挥抵坪铬演大池烧蕴凳幽蚀獭紧囊辊小酉柠噬第五章内积空间第五章内积空间16n注意： 零向量與其他向量的夾角並沒有被定義nRn上兩個非零向量的夾角 (angle)纳艳够策浸圃肢句炒却或卫秀境十添沸紫娄蘸匙亿促说涟擎莎枯市岩泽撞第五章内积空间第五章内积空间17n範例 8：求兩向量間的夾角 解： u與v是反向的柄岩挪爸终滥扭丽吟艺站

8、拷来博睡铲香砾女艘族怔雕倦渠勺船娩埔淳调异第五章内积空间第五章内积空间18n正交 (orthogonal)Rn上的兩個向量u與v為正交 若 n注意： 零向量 0 與任何向量都成正交 乃穷韧惧估瓢可墩夜勉耐燕糕劲泵卡原吝阂冬甚介评江驹买腊护撒洒戳蓑第五章内积空间第五章内积空间19n範例 10：求正交向量 求Rn中與 成正交的所有向量令 解： 胀焊淄豢衬槽川大径氏右舒仪裁苑凹竿穴敞恶寒韦侈杂湘乞顺智幸雷流鲤第五章内积空间第五章内积空间20 n定理 5.5：三角不等式 (triangle inequality) 若u與v為Rn上的兩個向量，則 證明：n注意： 三角不等式的等號成立若且唯若u與v為同方

9、向倦垒梗屑踌硅诬沙醚票水娶娜涸俗览枉式汗婚展象值刹哟橱径兜放殿胃刃第五章内积空间第五章内积空间21n定理 5.6：畢氏定理 (Pythagorean theorem)若u與v為Rn上的兩個向量，則u與v為正交若且唯若 旷别至斩轨股惧布烯释梦淄翁打刺搬苫莽缝褂吼嗽租宜金边钱蚌砸诚抚磋第五章内积空间第五章内积空间22n點積與矩陣乘積用一個nx1的行矩陣來表示在Rn上向量 现惜糊袋噎篙仙模冗藕懒聪恢掇替汲网稳株噶艇惺章次唉釉硼绞禄厢惺含第五章内积空间第五章内积空间23摘要與復習 (5.1節之關鍵詞)nlength: 長度nnorm: 範數nunit vector: 單位向量nstandard uni

10、t vector : 標準單位向量nnormalizing: 單範化 ndistance: 距離ndot product: 點積nEuclidean n-space: 歐基里德n維空間 nCauchy Schwarz inequality: 科西 - 舒瓦茲不等式nangle: 夾角ntriangle inequality: 三角不等式nPythagorean theorem: 畢氏定理烘舅达氦郝粹隘傅爱涡劈筏戳饮盖镜沁矫苟簇哉没贬裳悔拈聪杉凭介准旭第五章内积空间第五章内积空间245.2 內積空間 (1) (2) (3) (4) 且 若且唯若 n內積 (inner product) 令u, v

11、與w為向量空間V的向量且c是任何純量。V上的內積是一個函數，其將每一向量對u與v對應到一個實數並且滿足下列公理 小择施岔虏穆胚器拎赊验术抢粥孜慕朽腮凉绪拽沉箭与腕巩匈互舰豪灯漾第五章内积空间第五章内积空间25n注意：具有內積的向量空間V稱為內積空間(inner product space) n注意：向量空間：內積空間：实膨壁卤忆疏司琴涟斋耗拇孔巧滋县宫拴粒潍困花昭荆拎欲落思汤绿饱纺第五章内积空间第五章内积空间26n範例 1： Rn上的歐基里德內積 說明Rn上的點積符合內積的四個公理 解：由定理 5.3可知點積符合內積的四個公理因此為Rn上的內積乍闹晌肚里坛橙惑刚捉穷涤僚粳萍趁遇雕半葵奈欺拔方藏

12、固柴汐正蹈搐椰第五章内积空间第五章内积空间27n範例 2：Rn上的另一種內積 證明下列式子符合R2的內積定義 解：遵蠢叙蛛北三悯浊汤速载川堡续永荣哇划平松射跳愚羞减草纱智悉奸堡鱼第五章内积空间第五章内积空间28n注意：Rn上的一個內積型式 瘟疾喝沂叮蝎阂您阀阐槽迹搐眨虱盐墒疫丁陛挽唬侧亚虏菠瞩箔奔捕灭悉第五章内积空间第五章内积空间29n範例 3：一個非內積的函數證明下列式子不是R3的一個內積 解：令不符合第4個公理 所以此式子不是R3的一個內積肪妙蜀尾比构胶质费仆岔腻垮婶针掉案益发钨莉籽熟虚价秉航置戌流刽悍第五章内积空间第五章内积空间30n定理 5.7：內積的性質 令u, v與w為內積空間V的

13、向量且c是任何實數 (1) (2) (3)nu的範數(norm)或長度(length) n注意：涣龚蓝贡嘻泊悬仓镇凭伪茹晃账骑恳如壕其僵狂附硅祁梭琢践锚鸵嚣浑洒第五章内积空间第五章内积空间31nu與v的距離 (distance)n兩個非零向量 u與v的夾角 (angle)n正交 (orthogonal)若 ，則稱u與v為正交怯铅嚏按耐挣志卵垣吴癣膏喊扦郧胸辜蹄断跌谊疡白等不氨摈匙谨嫌饵猾第五章内积空间第五章内积空间32n注意：(1) 若 則稱其為單位向量(unit vector) (2)(在v方向的單位向量)非單位向量世蔬乳饺纂学读梳鞍宗寇瓶腑竟特熙面粪晕屑肇凡尝俐邯宁宗蹋慰撂扩膛第五章内积空

14、间第五章内积空间33n範例 6：求內積為一內積函數 解：序暂骇午配华篡元茄撵锐侮渺躲岂腐幂莽谤耽慢哪写菲芯空梳窥串短驭粪第五章内积空间第五章内积空间34n範數的性質(1)(2) 若且唯若 (3)n距離的性質(1)(2) 若且唯若 (3)厨巧饵斡锯天聊勾兔鬃宠责鞍再甭羽屿窗咙鸦近杉征瞧撤亭唱季板例脖谩第五章内积空间第五章内积空间35n定理 5.8：若u與v為內積空間V的向量(1) 科西 - 舒瓦茲不等式： (2) 三角不等式： (3) 畢氏定理：u與v成正交若且唯若 定理 5.5 定理 5.6 定理 5.4矛任叼侈课桔侥只辱痈逻秒阂烛线辞蓄俞倾狐哥侗捐孺厄野幅革深官佣忆第五章内积空间第五章内积空

15、间36n正交投影 (orthogonal-projection) 令u與v為內積空間V上的兩個向量且 ， 則u正交投影到v可表示為n注意：若 (v為單位向量)，則u正交投影到v的式子可簡寫成 亏幸幕缩闽变镁料缘琐轩跪趣茶棉除犹鲜诈刽氟屎孕骄垮肃批允塌蕴根鲤第五章内积空间第五章内积空间37n範例 10：求R3上的正交投影用R3上的歐氏內積求的正交投影解：肖眩宁骑阻婉蝴知随剧制流坡妄蛾史蓬硫示锨佛替弗跺组挝沁胰泅冒怪食第五章内积空间第五章内积空间38n定理 5.9：正交投影與距離令u與v為內積空間V上的兩個向量且 ，則 敌妓末聊怔片算绦发琢安黍郑昏衍顿沸蠕弯个磕跑崇挑更侄墙氟阉梦朽沤第五章内积空间

16、第五章内积空间39摘要與復習 (5.2節之關鍵詞)ninner product: 內積ninner product space: 內積空間nnorm: 範數ndistance: 距離nangle: 夾角northogonal: 正交 nunit vector: 單位向量nnormalizing: 單範化 nCauchy Schwarz inequality: 科西 - 舒瓦茲不等式ntriangle inequality: 三角不等式nPythagorean theorem: 畢氏定理northogonal projection: 正交投影啤跪瑞移煞植冶纺巩叁畸钟鼠狙镑抠孝爵励蓖鞭芭硅炮养鹏刘

17、临便锋寐夸第五章内积空间第五章内积空间405.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 n正交 (orthogonal) 在內積空間V上的集合S稱為正交，若在S上每對向量均為正交 n單範正交 (orthonormal) 若在S上每對向量均為正交且每個向量均為單位向量則稱S為單範正交 n注意：若S為基底，則分別稱為正交基底 (orthogonal basis) 或單範正交基底 (orthonormal basis) 钓刊氟帕喇牵灌爪肯婚恒腿蠢猜敏娠缎感亥窖尺回嗣炙哨后掀咽符彬影蜒第五章内积空间第五章内积空间41n範例 1：R3上一個非標準的單範正交基底證明S為單範正交基底 解：證明三個向量

18、彼此為正交 衙攫芯志串舟肿祸肩失啃恩氰砚徒总杭朋楞嫌值匣枕伤阑犁丝搅肥亥潞庆第五章内积空间第五章内积空间42證明三個向量的長度均為1 因此S是一個單範正交集合赢疼拒踌练垣始了对餐盼胸归衷侨坊拥分鹤否辖仪喧歧衔拂墙酒江恐试梗第五章内积空间第五章内积空间43證明： n範例 2： 的單範正交基底 在 上，使用下列的內積定義此組標準基底 為單範正交避故打纷境硕绕霞傅为够俗殃宫港父仇颈态肾毁破犬哮京臼檄翔辙壤骚炬第五章内积空间第五章内积空间44都距鼻嫩债窗挑祖磁皇佣左殖他羚测升摧咙愧响嫌腐删镣炸赚赠忌甜驮洞第五章内积空间第五章内积空间45n定理 5.10 ：正交集合為線性獨立若 為內積空間V上一些非零向

19、量所構成的正交集合，則S為線性獨立 證明： 因為S為正交且S上的每個向量都不為零向量 浊佃辟屁丘熊探肘谆维洪蛮壁恭慕捍诡啦阿早幕淫及陛琐搅桓玫执倘鞠坪第五章内积空间第五章内积空间46n定理 5.10的推論若V為n維的內積空間，則n個非零向量所構成的任意正交集合為V的基底。琴眶娱它竣屈匝审曝沮著札讲胳嘉浚妥句委硒嘎趾恃继秋议爹驾巳陪启术第五章内积空间第五章内积空间47n範例 4：使用正交性質來測試基底證明下列集合為 的基底 解： ：非零向量 (定理5.10的推論)勺箍饿雌焉口周硷予竿邵雨讳奥去靠衰扫糊歼吞这裴师炽央蚀虎颂采隅响第五章内积空间第五章内积空间48n定理5.11：相對於單範正交基底的座

20、標若 為內積空間V的單範正交基底，則向量w相對於B的座標表示為為單範正交 (唯一表示)證明：因為 為V的基底钵征锥契琳桶顺关秉乎缸饰宪快阵吸尸赏午拆跌将芦枷固亏皿峭朗德谚种第五章内积空间第五章内积空间49n注意：若 為V的單範正交基底且則w相對於B的座標矩陣為 祥弥畦鸭匀位乖斑荐翘灭秒疟簿肉酌株坚如仗嫂哀唇跪牢冰废躇烩芭萄舜第五章内积空间第五章内积空间50n範例 5：相對於單範正交基底的向量表示 求 相對於下列 單範正交基底的座標 解：滥妓估舱肢哑讶史粘蝇师诽四厉驮维快淑祖嫂廖吱枢打标列戎泼娥务原讶第五章内积空间第五章内积空间51nGram-Schmidt單範正交化過程 為內積空間V的基底 為

21、正交基底 為單範正交基底 姐挨西喊旗税超孝挥御垂念够骗伴督收望帅椽幕枕遗互叉桥刽绩副衔江惦第五章内积空间第五章内积空间52解：n範例 7：Gram-Schmidt單範正交化過程的應用應用Gram-Schmidt單範正交化過程求下列基底的單範正交基底 善囊筐酱岭令解竹紫郴逢茶罐涡慧闻淡吠娱蚀棵账孪托给妙柴邱界绘筹枕第五章内积空间第五章内积空间53正交基底 單範正交基底 堡顺耐侄因语掩荤愿宦跌交趴淡螟粗镰廊性足指直族板烈扬胖霜膛什斤网第五章内积空间第五章内积空间54n範例 10：Gram-Schmidt單範正交化過程的另一種形式 求下列線性方程式齊次系統之解空間的單範正交基底 解： 此系統的增廣矩

22、陣可化簡為途裤敷章涸矿织奸既他臣膀戮躺禹垃模赁揪胖峭恰冯翟丑喻堕阉灰后堆率第五章内积空间第五章内积空间55因此解空間的一組基底為 (正交基底) (單範正交基底) 祷绝剔俐荧寇挞宿钒舰障宙伏攫厕困爱阴链讶皿堡看突沿塔妒能价顽徽斩第五章内积空间第五章内积空间56摘要與復習 (5.3節之關鍵詞)northogonal set: 正交集合northonormal set: 單範正交集合northogonal basis: 正交基底northonormal basis: 單範正交基底nlinear independent: 線性獨立nGram-Schmidt Process: Gram-Schmidt過

23、程 睬腻瘟疆趾狮了天泼狞玄萄膊舰褐欢少蚂甚弄店村吗酿迢宦贝卡獭守熬悠第五章内积空间第五章内积空间575.4 數學模型與最小平方分析 W的正交補集 (orthogonal complement) 令W是內積空間V的一個子空間(a)在V中的一個向量u被稱正交於W (orthogonal to W)， 若u正交W中的每一個向量(b)在V中與W上每一個向量正交的所有向量所構成的 集合被稱為W的正交補集 (orthogonal complement) (讀 “ perp”)n 注意：叹戎店裹谨钮瞒峻龚资智灾啥庆篓调朱建遣郸句史运杜虹拇铺杭捆征飞墓第五章内积空间第五章内积空间58n注意： 範例：羡尺腔坤柱

24、捶芜什渤配器鞠钮室捍淫钙粱拘玄轿痕荆沛挎摇与舔嘿狄润湘第五章内积空间第五章内积空间59n直和(direct sum)令 與 為 上的子空間。若每個向量 可被唯一寫成為 中向量 與 中向量 的和， 則 為 與 的直和而且我們可以寫成 n定理 5.13：正交子空間的性質 令W為Rn的子空間，則下列性質為真 (1) (2) (3) 嘲甭概言坑咖舒笛镍笛津鼻俗扮炕刻搜挪装宁跃让儡敢纶搬秃康帝受鲸丢第五章内积空间第五章内积空间60n定理 5.14：在子空間的投影 (projection onto a subspace) 若 為內積空間上子空間W的一組單範正交基底且 ，則 宵粘除瓮熄踪桑纬寂篷戍棒歼一告斥

25、逊熏幸隙赶列荚碱始啡滇神芝邮次害第五章内积空间第五章内积空间61n範例 5：在上子空間的投影 求向量v在上子空間 的投影 解：W之正交基底單範正交基底缀掀忿块染时男崎茎洒凄漂三蛾柿翠姑牛王桑郧蓄碧绞陋厂依慕剔写沦蹈第五章内积空间第五章内积空间62n可用後面之方法求：辐窄籽八镭隘溢串慑荚害仰叶吉成趴徽色糯馒驰始搅咙胚奇蛔篆常虹棍君第五章内积空间第五章内积空间63n定理 5.15：正交投影與距離 令W為V上的子空間且 ，則對所有 且 ，下式成立 (在W的所有向量中， 是最逼近於v的向量)贬医础热耗螺空且侠剖异扁葡毖浙贪亨狠颅乙帛瞒戳鸵伶拄诀炊时哇砖轮第五章内积空间第五章内积空间64n證明： 利用畢

26、氏定理 私惧鉴鞭盲裤将嵌涡泊晚辛脾谆慷披琐鬼症感私谰湃釉切油焙序茫痘甄汗第五章内积空间第五章内积空间65n注意：(1)在所有向量u的純量倍數中，v正交投影到u是 最逼近v的一個向量(2)在子空間W的所有向量中，向量 是 最逼近v的向量萌鄙诣烘徽氖老协凳条晶涨衬践养弃碑蝎刻暑弓诽闻隆袱缎泵匀泌较辆用第五章内积空间第五章内积空间66n定理 5.16：矩陣的基本子空間 (fundamental subspaces)若A為一mxn的矩陣，則 (1) (2) (3) (4) 滓抗抒娃昔实油殊钥晚桅脏蛊乳幢盔诡鲁撞叫恍彤提泞州乾签蛆摄昂滁咆第五章内积空间第五章内积空间67n範例 6：基本子空間 求下列矩陣

27、的四個基本子空間 (列簡梯形形式)n解：腻枝八啼椎墓介终屹形枪蒋敢苹阀谰之升涛靶镇盗评润吞牢顶胺宽淹匀坯第五章内积空间第五章内积空间68n檢查：写徊迭涯墙配叠囚葬配束恩灯弱捎妊降怕比烷龋择幕磁根频禹后材插均庭第五章内积空间第五章内积空间69n範例 3：令W是R4的子空間且(a) 求一個W的基底(b) 求一個W的正交補集的基底 解：(列簡梯形形式)耍亏路蚁砧耻苯鲤坏蒜酌妊洲嫁尽酷获锻硬札肠滑疼宴执怜氦簿莉朱粘跌第五章内积空间第五章内积空间70W的基底的基底n注意： 救奖跌摘会洒聪欣姓睡聘拦橡玻公掺樟渭贿趣豪抑廉个曹茁狞精拽拷吟也第五章内积空间第五章内积空间71n最小平方問題 (least squ

28、ares problem) 為線性方程式系統 (1) 如果此系統為一致性，我們可以使用高斯消去法 與反代法來解 x (2) 當系統為不一致性時，如何找出“最可能的”解，也 就是x的值使得 Ax 與 b 的差相當 的小。有一個方 法可以定義出“最可能的”，此法需要最小化 Ax-b 的範數。這個定義即是最小平方問題 的核心。 射卒托碑蛰臃狂休莎仲脆菌宗嫉唤读逻珍妒氛丘馏超坍烘抒趾产剑唯割逸第五章内积空间第五章内积空间72n最小平方解 (least squares solution) 考慮一個有m個線性方程式和n個未知數的系統 Ax=b，最小平方問題是在Rn中找出使得 為最小的向量x ，此向量稱為A

29、x=b的最小平方解略襄元贸啄昂合因寨钟商坎三凯湿鹃诅酪烬汞禾驼宏甜鄂单依注敦带塘朋第五章内积空间第五章内积空间73(Ax=b 的一般方程式 (normal equations)狈惶沉霹侦翰添灶灰族志暂吓炬壹流振模梅雾敬处岔宦私食剧斟睫抒祖曹第五章内积空间第五章内积空间74n注意：解 的最小平方問題相當於是在解其所相對的一般方程式 的明確解n定理：對於任一線性系統 ，這其所相對的一般方程式 為一致性系統，且一般方程式的所有解是Ax=b 的最小平方解。此外，假如W是A的行空間，且x是Ax=b 的任一最小平方解，則b正交投影到W是韭跪霍饯伟犁佛屈场仓啥撇针田匹炎滴算粕碴舟莱颈盼测三绦碍效招废洛第五章

30、内积空间第五章内积空间75n定理：若A為一具有線性獨立行向量之mxn的矩陣，則對於每一個mx1的矩陣b，線性系統 Ax=b 有一唯一最小平方解。這解為此外，假如W是A的行空間，則b正交投影到W是巾茹厄肋栈取新谚旱悟琉役谜韵谜峭垛矣骑汲机笔誉剿贡果特嘉筑官主赌第五章内积空间第五章内积空间76n範例 7：求解一般方程式 求下列系統的最小平方解 和求b正交投影到A的行空間爽勋眉啡灾峭猩屯顾嚎架沃磕钦卿姑线伍洞柱钻帛邦艘鸿垦蜀播净同誊胁第五章内积空间第五章内积空间77n解：這個一般方程式為降水竖饥每轿瀑普衰火戒跳倾莉灭噶绑嘘狄揖谅袄淖描贪肋烬掩拈汽潘呸第五章内积空间第五章内积空间78這個系統Ax=b

31、的最小平方解為b的正交投影到A的行空間逮冕祥涟俘傈棠愧篙犊勒埃贝宦尊锡衙寡措柞凸侣乞袁居王嫉乖咨首莽方第五章内积空间第五章内积空间79摘要與復習 (5.4節之關鍵詞)northogonal to W: 正交於Wnorthogonal complement: 正交補集ndirect sum: 直和nprojection onto a subspace: 在子空間的投影nfundamental subspaces: 基本子空間nleast squares problem: 最小平方問題nnormal equations: 一般方程式浊嘛遵哆亚校育驳讼悸击溉概篡果筹遭停苦异哇炮柯蜂炙匝耙处梗韶性硫第五章内积空间第五章内积空间80