《D124函数展开成幂级数2实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D124函数展开成幂级数2实用教案（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、泰勒一、泰勒(til)(Taylor)级数级数其中(qzhng)( 在 x 与 x0 之间)称为(chn wi)拉格朗日余项 .则在复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 :第1页/共24页第一页，共25页。为f (x) 的泰勒(ti l)级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒(ti l)级数又称为麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛(shulin)域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数, 第2页/共24页第二页，共25页。定理定理(dngl)1.各
2、阶导数(do sh), 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒(ti l)级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足:证明:令设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有第3页/共24页第三页，共25页。定理定理(dngl)2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数(j sh)相同.证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论(jiln)成立 .则这种展开式是第4页/共24页第四页，共25页。二、函数二、函数(hnsh)展展开成幂级数开成幂级数1. 直接(zhji)展开法由泰勒(ti l)级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0
3、处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开第5页/共24页第五页，共25页。例例1.将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数. 解解: 其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 第6页/共24页第六页，共25页。例例2.将将展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 得级数(j sh):其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足第7页/共24页第七
4、页，共25页。对上式两边(lingbin)求导可推出:第8页/共24页第八页，共25页。例例3.将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数, 其中m为任意(rny)常数 . 解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 第9页/共24页第九页，共25页。推导(tudo) 推导(tudo)则为避免研究(ynji)余项 , 设此级数的和函数为第10页/共24页第十页，共25页。称为(chn wi)二项展开式 .说明(shumng)：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关(yugun) .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m
5、 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.由此得 第11页/共24页第十一页，共25页。对应(duyng)的二项展开式分别(fnbi)为第12页/共24页第十二页，共25页。2.间接间接(jinji)展开法展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算(yn sun)性质, 例4. 将函数(hnsh)展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 第14页/共24页第十四页，共25页。例例5.将函数将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分(jfn), 得定义且连续, 域为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所
6、以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛第15页/共24页第十五页，共25页。例例6.将将展成(zhn chn)解: 的幂级数. 第16页/共24页第十六页，共25页。例例7.将将展成(zhn chn) x1 的幂级数. 解: 第17页/共24页第十七页，共25页。内容内容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh)的幂级数展开法(1) 直接(zhji)展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .第18页/共24页第十八页，共25页。当 m = 1 时第19页/共24页第十九页，共25页。思考思考(sko)与与练习练习1. 函数
7、(hnsh)处 “有泰勒(ti l)级数” 与 “能展成泰勒(ti l)级数” 有何不同 ?提示: 后者必需证明前者无此要求.2. 如何求的幂级数 ?提示:第20页/共24页第二十页，共25页。作业(zuy) P283 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第五节 第21页/共24页第二十一页，共25页。备用备用(biyng)题题1.将下列函数(hnsh)展开成 x 的幂级数解:x 1 时, 此级数(j sh)条件收敛,因此 第22页/共24页第二十二页，共25页。2.将将在x = 0处展为幂级数.解:因此(ync)第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的观看(gunkn)！第24页/共24页第二十四页，共25页。内容(nirng)总结一、泰勒 ( Taylor ) 级数。第1页/共24页。1) 对此级数, 它的收敛域是什么。第2页/共24页。则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要。f (x) 的泰勒公式余项满足:。展开成 x 的幂级数.。对任何有限数 x , 其余项满足。( 在0与x 之间)。解: 因为。把 x 换成。所以展开式对 x 1 也是成立(chngl)的,。展成 x1 的幂级数.。备用题 1.。将下列函数展开成 x 的幂级数。感谢您的观看第二十五页，共25页。
