《群的定义(离散数学).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《群的定义(离散数学).ppt（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2 群的定义群的定义l 6.2.1半群半群l6.2.2群群l6.2.3群的性质群的性质 6.2.1 半群半群-半群的定义半群的定义设设G是一个非空集合，若是一个非空集合，若为为G上上的的二元代数运算，且满足二元代数运算，且满足结合律结合律，则，则称该代数系统（称该代数系统（G，）为半群。为半群。6.2.1 半群半群 - 半群的例半群的例例例.设设S是是一一个个非非空空集集合合，（S）是是S的的幂幂集集，和和是是（S）上上的的交交运运算算和和并并运运算算，则则（S），），（S），），）都为半群。都为半群。例例.设设Z为整数集，为整数集，+、-、 是数是数的加法、减法和乘法，则（的加法、减法和
2、乘法，则（Z，+）、）、（Z，）都是半群；（都是半群；（Z，-）不不是半群。是半群。半群的例半群的例例例.设设N为为自自然然数数集集，规规定定N上上的的运运算算“ ”如下：如下：a b=a+b+ab，显显然然， 为为N上上的的二二元元代代数数运运算算。对对N中中任任意意三个元素三个元素a，b，c，有：有：（a b） c=（a+b+ab） c=（a+b+ab）+c+（a+b+ab）c=a+b+c+ab+bc+ac+abc，a （b c）=a （b+c+bc）=a+（b+c+bc）+a（b+c+bc）=a+b+c+ab+bc+ac+abc，故，（故，（ab）c=a（bc）. .因此，（因此，（N，
3、）为半群。为半群。设（设（G，）为为半群半群，如果满足下面条件：，如果满足下面条件：(1)有有壹壹（单单位位元元）：G中中有有一一个个元元素素1，适适合合对于对于G中任意元素中任意元素a，都有都有1a=a1=a;(2)有有逆逆：对对于于G中中任任意意a，都都可可找找到到G中中一一个个元素元素a-1，满足满足aa-1=a-1a=1，则称（则称（G，）为群。为群。 如果群如果群G包含的元素个数有限，则称包含的元素个数有限，则称G为为有有限群限群，否则称，否则称G为为无限群无限群。6.2.2 群群 - 群的定义群的定义6.2.2 群群 - 群的例群的例设设Z为整数集，为整数集，+、是数的加法和乘法，
4、则是数的加法和乘法，则半半群群（Z，+）是是群群，称称为为整整数数加加法法群群。因因为为存存在在元元素素0，适适合合对对于于Z中中任任意意元元素素a，都都有有0+a=a+0=a；且且对对于于Z中中任任意意a，都都可可找找到到Z中中一个元素一个元素-a，满足满足a+（-a）=（-a）+a=0。半群（半群（Z，）不是群。因为虽然存在单位不是群。因为虽然存在单位元素元素1，适合对于，适合对于Z中任意元素中任意元素a，都有都有1a=a1=a，但除了但除了1和和-1外，其它元素均无逆元外，其它元素均无逆元素。素。设设Q Q为为所所有有有有理理数数组组成成的的集集合合，R R为为所所有有实实数数组组成成的
5、的集集合合，C C为为所所有有复复数数组组成成的的集集合合，Q Q* *为为所所有有非非零零有有理理数数组组成成的的集集合合，R R* *为为所所有有非非零零实实数数组组成成的的集集合合，C C* *为为所所有有非非零零复复数数组组成成的集合，的集合，+ +、是数的加法和乘法，则是数的加法和乘法，则（Q Q，+ +）、（）、（R R，+ +）、（）、（C C，+ +）都是群；都是群；（Q Q， ）、（R R， ）、（C C，）都都不不是是群；群；（Q Q* *， ）、（）、（R R* *， ）、（）、（C C* *，）都是都是群。群。 6.2.2 群群 - 群的例群的例设设S是是一一个个非非空
6、空集集合合，（S）是是S的的幂幂集集，和和是是（S）上的交运算和并运算，则上的交运算和并运算，则半半群群（S），）不不是是群群，单单位位元元素素:S，但除了但除了S，其它元素都不存在逆元素；其它元素都不存在逆元素；半群（半群（S），），）也不是群，单位元素：也不是群，单位元素： ，但除了，但除了 ，其它元素都不存在逆元素。其它元素都不存在逆元素。6.2.2 群群 - 群的例群的例设设N为为自自然然数数集集，规规定定N上上的的运运算算“ ”如如下：下：a b=a+b+ab。 已证：（已证：（N，）为半群。为半群。 但但（N，）不是群。不是群。反证：若不然，反证：若不然， （N，）是群，则一定有是
7、群，则一定有单位元素，单位元素，设为设为e e，则对则对N N中任意元素中任意元素a a，都有都有e e a = a a = a，即即e + a + ee + a + ea = aa = a，因因此此，e=0e=0，但但0 0 N N，矛矛盾盾。因因此此，（N，）无单位元素，故不是群。无单位元素，故不是群。6.2.2 群群 - 群的例群的例例例.设设A是是实实数数域域上上所所有有n阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵的的集合，集合，*为矩阵的乘法，则（为矩阵的乘法，则（A，*）是群。是群。例例.设设S=0，1，2，m-1，规规定定S上上的的运算运算 如下：如下：a b= 其其中中a，b是是S中中任任意意元
8、元素素，+、-为为数数的的加加与与减。减。 则（则（S， ）是群，称为模是群，称为模m的整数加法群。的整数加法群。6.2.2 群群 - 群的例群的例设设S=a,b，使用乘法表定义使用乘法表定义S上的运上的运算算如下：如下：abaabbba问（问（S,）是否为群。是否为群。6.2.2 群群 - 群的例群的例lG=1,-1关于普通乘法运算是否构成关于普通乘法运算是否构成一个群？一个群？lG=1,-1,i,-i关于普通乘法运算是关于普通乘法运算是否构成一个群？其中否构成一个群？其中i=(-1)1/2.理解群的定义理解群的定义例例. 单位元是群中唯一的等幂元。单位元是群中唯一的等幂元。证明：证明：设设
9、(G,*)是群，其单位元是是群，其单位元是1，显然，显然，1是等幂元。设是等幂元。设x是是G中的等幂元中的等幂元，即，即x*x=x，则：则：x=1*x=（x-1*x）*x=x-1*（x*x）x-1*x=1（或由或由x*x=x，得得x-1*x*x=x-1*x，即即x=1）理解群的定义理解群的定义例例. 群中不可能有零元。群中不可能有零元。证明：设证明：设(G,*)是群，其单位元是是群，其单位元是1，当当G=1，它的唯一元素视为单位元。它的唯一元素视为单位元。当当 G 1，用用反反证证法法。假假设设（G，*）有有零零元元 ，则对，则对 x G，都有都有x* = *x= 1，即即不存在不存在x G，
10、使得使得x* = *x=1，亦即，亦即， 无逆元，这与无逆元，这与G是群矛盾。是群矛盾。理解群的定义理解群的定义例例.群中消去律一定成立。群中消去律一定成立。证明：设证明：设(G,*)是群，其单位元是是群，其单位元是1，对于对于G中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，（1）若若a*b=a*c，则则a-1*(a*b)=a-1*(a*c)，即即(a-1*a)*b=(a-1*a)*c，亦即亦即1*b=1*c，故故b=c。（2）同理可证：若同理可证：若b*a=c*a，则则b=c理解群的定义理解群的定义例例.元数为元数为1的群仅有的群仅有1个个元数为元数为2的群仅有的群仅有1个个*eee*eaeeaa
11、ae定理定理6.2.1群的单位元素是唯一的群的单位元素是唯一的, ,任意元任意元素素的的逆逆也也是是唯唯一一的的。即即, ,设设（G，）是是一一个个群，群，则则G中恰有一个元素中恰有一个元素1适合适合1a=a1=a,而且对而且对于任意于任意a恰有一个元素恰有一个元素a-1适合适合aa-1=a-1a=1。6.2.3 群的性质群的性质-（1）证明：证明：若若1和和1都是单位元素，则都是单位元素，则1=11=1，故故1=1。若若b和和c都有都有a-1的性质，则的性质，则b=b1=b(ac)=(ba)c=1c=c，故故b=c。结论结论v（a-1）-1=a因为因为aa-1=a-1a=1v(ab)-1=b
12、-1a-1因为因为abb-1a-1=1b-1a-1ab=1v1-1=1因为因为11=1定理定理6.2.2群定义中的条件（群定义中的条件（1）和（）和（2）可）可以减弱如下：以减弱如下：(1)有左壹：有左壹： G中有一个元素中有一个元素1，适合，适合对于对于G中任意元素中任意元素a，都有都有1a=a;(2)有左逆：有左逆：对于对于G中任意中任意a，都可找到都可找到G中一中一个元素个元素a-1，满足满足a-1a=1。6.2.3 群的性质群的性质-（2）证明：证明：只需证明只需证明a1=a和和aa-1=1。证法一证法一先证先证aa-1=1。因为（因为（a-1a）a-1=1a-1=a-1，故故 （a-
13、1a）a-1=a-1。由由( (2)，a-1也应该有一个左逆适合也应该有一个左逆适合ba-1=1。于是，一方面有：于是，一方面有：b（a-1a）a-1）)=ba-1=l，另一方面有：另一方面有：b（a-1a）a-1）=（ba-1）（aa-1）=1（aa-1）=aa-1，因此，因此，aa-1=1。 再证再证a1=a。a1=a（a-1a）=（aa-1）a=1a=a。 证毕。证毕。把（把（1 1），（，（2 2） 中对于左边的要求一律中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。改成对于右边的要求也是一样。 但是只满但是只满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左逆足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左
14、逆也未必成群。也未必成群。证法二证法二往证往证a 1=a.由（由（1） 知有知有11=1，由（由（2） 知知a-1a=1，用其部分代替上式中的用其部分代替上式中的1，得到，得到（a-1a）1=a-1a，由（由（2） 知知a-1有左逆有左逆,令其为令其为b，并用并用b左乘上左乘上式式两端得到两端得到b（a-1a）1=b(a-1a),即即（ba-1）（a1）=（ba-1）a，亦即亦即1（a1）=1a由（由（1） a 1=a。往证往证aa-1=1.同同证法一。证法一。证法三证法三往证往证a 1=a.同证法二。同证法二。往证往证aa-1=1.由（由（2） 知知a-1有左逆，令其为有左逆，令其为b，于是
15、于是ba-1=1，用用a右乘等式两端得到右乘等式两端得到(ba-1）a=1a，即即b（a-1a）=1a，亦即亦即b=a，故故aa-1=1。证毕证毕定定理理6.2.3群群定定义义中中的的条条件件（1）和和（2）等等于于下下列列可可除除条条件件：对对于于任任意意a，b，有有使使a=b，又有又有y使使ay=b。6.2.3 群的性质群的性质-（3）证明：首先证明在任一群中可除条件成立证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因为，取因为，取=ba-1，y=a-1b，即得即得a=b，ay=b，故，由（故，由（1）和（）和（2）可以推出可除条）可以推出可除条件成立。件成立。证明 再证明由可除条件也可以推再证明
16、由可除条件也可以推( (1),(),(2)，因而可以推出（因而可以推出（1），（），（2）。）。 取任意取任意cG，命命1为适合为适合c=c的的，则则1c=c。今对于任意今对于任意a，有有y使使cy=a，故故1a=1（cy）=（1c）y=cy=a，即即( (1)成立。成立。令令a-1为适合为适合a=1的的，则则a-1a=1，故故( (2)成立成立。 定定理理6.2.4 设设G G是是一一个个群群，在在一一个个乘乘积积a a1 1a an n中中可以任意加括号而求其值。可以任意加括号而求其值。6.2.3 群的性质群的性质-（4）证证明明： 要要证证定定理理，只只要要证证明明任任意意加加括括号号而
17、而得得的的积等于按次序由左而右加括号所得的积积等于按次序由左而右加括号所得的积（a a1 1a a2 2）a a3 3）a an-1n-1）a an n （1 1）用用数数学学归归纳纳法法证证明明。n=1n=1，2 2，3 3，命命题题显显然然。假假定定对对少少于于n n个个因因子子的的乘乘积积（1 1）式式成成立立，以以下下证对证对n n个因子的乘积（个因子的乘积（1 1）式也成立。）式也成立。设设A A为为由由a a1 1a an n任任意意加加括括号号而而得得到到的的乘乘积积，往往证证A A等于（等于（1 1）式。）式。设在设在A A中最后一次计算是前后两部分中最后一次计算是前后两部分B
18、 B与与C C相乘：相乘： A = A = （B B）（C C）由由归归纳纳假假设设，C C等等于于按按次次序序自自左左而而右右加加括括号号所得的乘积（所得的乘积（D D）a an n。由结合律，由结合律， A=A=(B B)(C C)= =(B B)(D D)a an n)=(B B)(D D)a an n。 证明证明 （B）（D）的的因因子子个个数数小小于于n，再再由由归归纳纳假假设设，(B B)(D D)等等于于按按次次序序由由左左而而右右加加括括号号所所得得的的乘乘积积： (B B)(D D)= =(a a1 1a a2 2)a a3 3)a an-n-2 2)a an-1n-1因而因
19、而A A = =(B B)(D D)a an n= =(a a1 1a a2 2 ) a a3 3)a an-2 n-2 ) a an-1 n-1 ) a an n即即A A等于（等于（1 1）式。）式。 证明证明6.2.3 群的性质群的性质-（5）n个个a连乘所得的积称为连乘所得的积称为a的的n次方，记为次方，记为an。规定规定:a0=1，a-n=（an）-1。对于任意整数对于任意整数m，n，下面定律成立下面定律成立l第一指数律：第一指数律：aman=am+n，l第二指数律：（第二指数律：（am）n=amn但一般群中第三指数律但一般群中第三指数律(ab)b)n=anb bn不不成立。成立。A
20、bel群群 若群（若群（G，）的运算的运算 适合交换律，则适合交换律，则称（称（G，）为为Abel群或交换群。群或交换群。 例例. (Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)都是无限都是无限Abel群群。例例.(Q Q* *， ),(R ),(R* *， ),(C ),(C* *，)都是无限都是无限Abel群群。 例例. 实数域上所有实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合阶非奇异矩阵的集合在在矩矩 阵的乘法下不是阵的乘法下不是Abel群。群。 例例. 元数为元数为1、元数为、元数为2的群都是有限的群都是有限Abel群。群。Abel群群天才的挪威数学家天才的挪威数学家 Abel 例例. 设设(G,
21、)是一个群，则是一个群，则(G,)是是Abel群的群的充要充要条件是对条件是对 a,b G,有有(ab)2=a2b2证明：必要性。证明：必要性。若若(G，)是是Abel群，即对群，即对 a，b G，b=ba。故，故，(ab)2=(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2充分性。充分性。对对 a,b G,由由(ab)2=a2b2，得得a-1(ab)(ab)b-1=a-1(aa)(bb)b-1故，故，ba=ab，因此，因此，(G，)是是Abel群。群。定理定理6.2.5 在一个在一个Abel群（群（G，）中，一个乘中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。积可以任意
22、颠倒因子的次序而求其值。证明：证明：考虑一个乘积考虑一个乘积a1an。设设是是1，n上的一个一对一变换，欲证上的一个一对一变换，欲证a（1）a（n）=a1an对对n用数学归纳法，用数学归纳法，n=1时定理显然成立。假定时定理显然成立。假定n-1时定理已真，证明时定理已真，证明n时定理亦真。时定理亦真。6.2.3 群的性质群的性质（6: Abel群中的性质）群中的性质）设将设将a1an中各因子任意颠倒次序而得一式中各因子任意颠倒次序而得一式P=a（1）a（n）因子因子an必在必在P中某处出现，因而中某处出现，因而P可以写成可以写成P=（P）an（P）P或或P中可能没有元素，但照样适用以下中可能没
23、有元素，但照样适用以下的论证，由交换律，的论证，由交换律，P=P（anP）=P（Pan）=（PP）an，现在现在PP中只有中只有n-1个元素个元素a1，an-1，只不过次序有颠倒，故由归纳法假只不过次序有颠倒，故由归纳法假定，定，PP=a1an-1。因因此此，P=（PP）an=a1an-1an，从而归纳法完成，定理得证。从而归纳法完成，定理得证。在在Abel群中，群中，第三指数律第三指数律成立：成立：(ab)m=ambm，m为任意整数。为任意整数。6.2.3 群的性质群的性质（6: Abel群中的性质）群中的性质）加法群加法群:(G,+)永远假定加法群是一个永远假定加法群是一个Abel群群乘法群乘法群加法群加法群10：a+0=aa-1-a：a+（-a）=0anna加法群中三个指数定律：加法群中三个指数定律：(m+n)a=ma+na,m(na)=(mn)a,m(a+b)=ma+mb思考：乘法群中思考：乘法群中ab-1在在Abel群中写作？群中写作？6.2.3 群的性质群的性质（6: Abel群中的性质）群中的性质）
