《高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和课件 理（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节等差数列及其前n项和【知识梳理【知识梳理】 1.1.等差数列的有关概念等差数列的有关概念(1)(1)定义定义: :文字语言文字语言: :从从_起起, ,每一项与它的前一项的每一项与它的前一项的_都等于都等于_一个常数一个常数. .符号语言符号语言:_(nN:_(nN* *,d,d为常数为常数).).第第2 2项项差差同同a an+1n+1-a-an n=d=d(2)(2)等差中项等差中项: :数列数列a,A,ba,A,b成等差数列的充要条件是成等差数列的充要条件是A=A= 其中其中_叫做叫做a,ba,b的等差中项的等差中项. .2.2.等差数列的有关公式等差数列的有关公式(1)(1)通项
2、公式通项公式:a:an n=_.=_.(2)(2)前前n n项和公式项和公式:S:Sn n=_.=_.A Aa a1 1+(n-1)d+(n-1)d3.3.等差数列的性质等差数列的性质(1)(1)通项公式的推广通项公式的推广:a:an n=a=am m+_(n,mN+_(n,mN* *).).(2)(2)若若aan n 为等差数列为等差数列, ,且且k+k+l=m+n(k,=m+n(k,l,m,nN,m,nN* *),),则则_._.(n-m)d(n-m)da ak k+a+al=a=am m+a+an n(3)(3)若若aan n 是等差数列是等差数列, ,公差为公差为d,d,则则a ak
3、k,a,ak+mk+m,a,ak+2mk+2m, ,(k,mN(k,mN* *) )是公差为是公差为_的等差数列的等差数列. .(4)(4)若若S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,则数列则数列S Sm m,S,S2m2m-S-Sm m, ,S S3m3m-S-S2m2m, ,也是等差数列也是等差数列. .mdmd【特别提醒【特别提醒】等差数列与函数的关系等差数列与函数的关系(1)(1)通项公式通项公式: :当公差当公差d0d0时时, ,等差数列的通项公式等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d=dn+a+(n-1)d=dn+a1 1-d-d
4、是关于是关于n n的一次函数的一次函数, ,且斜率为公且斜率为公差差d.d.若公差若公差d0,d0,则为递增数列则为递增数列, ,若公差若公差d0,d0,0,当当n12n12时时,a,an n0,0,d0,d0时时, ,满足满足 的项数的项数m m使得使得S Sn n取得最大值取得最大值为为S Sm m; ;当当a a1 100时时, ,满足满足 的项数的项数m m使得使得S Sn n取得最小取得最小值为值为S Sm m. .【变式训练【变式训练】已知等差数列已知等差数列aan n 中中,S,Sn n是它的前是它的前n n项和项和, ,若若S S16160,0,且且S S17170,0,)0,
5、S S1717= =17a= =17a9 90,0,a0,a9 90,0,且且d0,d21n21时时,T,Tn n=S=Sn n-2S-2S2121= = 综上综上,T,Tn n= = 考向三考向三等差数列的识别与证明等差数列的识别与证明 【考情快递【考情快递】命命题方向方向命命题视角角等差数列等差数列的的识别在具体的在具体的问题情境中情境中, ,识别数列的等差关数列的等差关系系, ,并解决相并解决相应的的问题等差数列等差数列的的证明明主要考主要考查等差数列的定等差数列的定义及及递推关系的推关系的处理理【考题例析【考题例析】 命题方向命题方向1:1:等差数列的识别等差数列的识别【典例【典例3
6、3】(2016(2016广州模拟广州模拟) )已知每项均大于零的数已知每项均大于零的数列列aan n 中中, ,首项首项a a1 1=1=1且前且前n n项和项和S Sn n满足满足 (nN(nN* *且且n2),n2),则则a a6161=_.=_.【解题导引【解题导引】两边约去两边约去 再求解再求解. .【规范解答【规范解答】由已知由已知 可得可得, , =2, =2,所以所以 是以是以1 1为首项为首项,2,2为公差的等为公差的等差数列差数列, ,故故 =2n-1,S=2n-1,Sn n=(2n-1)=(2n-1)2 2, ,所以所以a a6161=S=S6161-S-S6060=121
7、=1212 2-119-1192 2=480.=480.答案答案: :480480命题方向命题方向2:2:等差数列的证明等差数列的证明【典例【典例4 4】(2016(2016兰州模拟兰州模拟) )已知数列已知数列aan n 中中, , (n2,nN (n2,nN* *),),数列数列bbn n 满足满足b bn n= =(nN(nN* *).).(1)(1)求证求证: :数列数列bbn n 是等差数列是等差数列. .(2)(2)求数列求数列aan n 中的通项公式中的通项公式a an n. .【解题导引【解题导引】(1)(1)根据等差数列的定义证明根据等差数列的定义证明.(2).(2)先求先求
8、b bn n, ,然后求然后求a an n. .【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为a an n=2- (n2,nN=2- (n2,nN* *),),b bn n= = 所以所以n2n2时时,b,bn n-b-bn-1n-1= = 又又b b1 1= = 所以数列所以数列bbn n 是以是以 为首项为首项,1,1为公差的等差数列为公差的等差数列. .(2)(2)由由(1)(1)知知,b,bn n= = 则则a an n= = 【技法感悟【技法感悟】1.1.等差数列的识别依据等差数列的识别依据(1)(1)若数列若数列aan n 是等差数列是等差数列, ,则数列则数列aan n+b+b 仍为
9、等差数仍为等差数列列, ,公差为公差为dd. .(2)(2)若若bbn n,a,an n 都是等差数列都是等差数列, ,则则aan nb bn n 仍为等差数仍为等差数列列. .(3)a(3)an n=pn+q(p,q=pn+q(p,q为常数为常数) )aan n 是等差数列是等差数列. .(4)(4)数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=An=An2 2+Bn(A,B+Bn(A,B为常数为常数) )aan n 是是等差数列等差数列. .2.2.证明等差数列的两种基本方法证明等差数列的两种基本方法(1)(1)定义法定义法: :证明证明a an n-a-an-1n-1(n2)(
10、n2)为常数为常数. .(2)(2)等差中项法等差中项法: :证明证明2a2an n=a=an-1n-1+a+an+1n+1(n2).(n2).【题组通关【题组通关】 1.(20161.(2016唐山模拟唐山模拟) )已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且满足且满足a an+2n+2=2a=2an+1n+1-a-an n,a,a5 5=4-a=4-a3 3, ,则则S S7 7= =( () )A.7A.7B.12B.12C.14C.14D.21D.21【解析【解析】选选C.C.由由a an+2n+2=2a=2an+1n+1-a-an n, ,得得a an+
11、2n+2+a+an n=2a=2an+1n+1, ,即数列即数列aan n 为等差数列为等差数列, ,由由a a5 5=4-a=4-a3 3, ,得得a a5 5+a+a3 3=4,=4,则则S S7 7= = 2.(20162.(2016孝感模拟孝感模拟) )已知数列已知数列aan n 中中,a,a3 3=2,a=2,a7 7=1,=1,且数列且数列 是等差数列是等差数列, ,则则a a1111= =( () )【解析【解析】选选B.B.由由 得得d= d= 所以所以3.(20163.(2016雅安模拟雅安模拟) )有两个等差数列有两个等差数列2,6,10,2,6,10,190,190及及2
12、,8,14,2,8,14,200,200,由这两个等差数列的公共项按从小到由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列大的顺序组成一个新数列, ,则这个新数列的各项之和为则这个新数列的各项之和为_._.【解析【解析】由已知第一个数列的通项为由已知第一个数列的通项为4n-2(n4n-2(n48),48),第第二个数列的通项为二个数列的通项为6m-4(m6m-4(m34),34),易得这两个数列的公易得这两个数列的公共项为共项为2,14,26,2,14,26,182,182,共共1616项项, ,可得新数列是一个首可得新数列是一个首项为项为2,2,公差为公差为1212的等差数列的等差数列
13、, ,其通项为其通项为12n-10(n12n-10(n16),16),故各项之和为故各项之和为 =1 472.=1 472.答案答案: :1 4721 4724.(20164.(2016成都模拟成都模拟) )已知正项数列已知正项数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n满足满足 =a=an n+1.+1.求证求证:a:an n 是等差数列是等差数列, ,并求并求a an n. .【解析【解析】因为因为a an n0,0,所以所以a a1 1=S=S1 1= a= a1 1=1.=1.又又 =a=an n+1,+1,可整理为可整理为S Sn n= = 则则n2n2时时,S,Sn-1n-1= = 两式相减两式相减, ,得得a an n= = 即即 可得可得(a(an n+a+an-1n-1)(a)(an n-a-an-1n-1-2)=0,a-2)=0,an n+a+an-1n-10.0.故故a an n=a=an-1n-1+2(n2).+2(n2).所以所以aan n 是以是以1 1为首项为首项,2,2为公差的等差数列为公差的等差数列. .所以所以a an n=2n-1.=2n-1.
