《高考数学 第七章 第五节 平行、垂直的综合问题课件 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第七章 第五节 平行、垂直的综合问题课件 文 北师大版（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 平行、垂直的综合问题考向考向 1 1 平行与垂直关系的综合问题平行与垂直关系的综合问题 【典例【典例1 1】如图，直三棱柱如图，直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，B B1 1C C1 1=A=A1 1C C1 1，ACAC1 1AA1 1B B，M M，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，ABAB的中点的中点. .求证：（求证：（1 1）C C1 1MM平面平面AAAA1 1B B1 1B.B.（2 2）A A1 1BAM.BAM.（3 3）平面）平面ACAC1 1MM平面平面B B1 1NC.NC.【思路点拨【思路点拨】（1 1）由）由B B1
2、 1C C1 1=A=A1 1C C1 1，M M为为A A1 1B B1 1的中点可知的中点可知C C1 1MAMA1 1B B1 1，再根据，再根据C C1 1MAMA1 1A A即可得证即可得证. .（2 2）要证）要证A A1 1BAMBAM，可转化为证明，可转化为证明A A1 1BB平面平面ACAC1 1M.M.（3 3）要证面面平行，应转化为证明线面平行）要证面面平行，应转化为证明线面平行. .【规范解答【规范解答】（1 1）在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，B B1 1C C1 1=A=A1 1C C1 1，M M是是A A1 1B B
3、1 1的中点，的中点，C C1 1MAMA1 1B B1 1. .又又C C1 1MAMA1 1A A，A A1 1AAAA1 1B B1 1=A=A1 1，A A1 1A A，A A1 1B B1 1 平面平面AAAA1 1B B1 1B B，C C1 1MM平面平面AAAA1 1B B1 1B.B.（2 2）A A1 1B B 平面平面AAAA1 1B B1 1B B，由（，由（1 1）知）知C C1 1MM平面平面AAAA1 1B B1 1B B，A A1 1BCBC1 1M.M.又又A A1 1BACBAC1 1，ACAC1 1，C C1 1M M 平面平面ACAC1 1M M，ACA
4、C1 1CC1 1M=CM=C1 1，A A1 1BB平面平面ACAC1 1M.M.又又AM AM 平面平面ACAC1 1M M，A A1 1BAM.BAM.（3 3）在矩形）在矩形AAAA1 1B B1 1B B中，易知中，易知AMBAMB1 1N N，AM AM 平面平面B B1 1NC,BNC,B1 1N N 平面平面B B1 1NCNC，AMAM平面平面B B1 1NC.NC.又又C C1 1MCNMCN，CN CN 平面平面B B1 1NCNC，C C1 1M M 平面平面B B1 1NCNC，C C1 1MM平面平面B B1 1NC.NC.又又C C1 1MAM=MMAM=M，C
5、C1 1M M，AM AM 平面平面ACAC1 1M M，平面平面ACAC1 1MM平面平面B B1 1NC.NC.【互动探究【互动探究】将本例条件将本例条件“B B1 1C C1 1=A=A1 1C C1 1，ACAC1 1AA1 1B B，M M，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，ABAB的中点的中点”改为改为“AB=BBAB=BB1 1，ACAC1 1平面平面A A1 1BDBD，D D为为ACAC的中的中点点”，求证：（，求证：（1 1）B B1 1CC平面平面A A1 1BD.BD.（2 2）B B1 1C C1 1平面平面ABBABB1 1A A1 1. .【证明【证明】
6、（1 1）如图，连接）如图，连接ABAB1 1. .令令ABAB1 1AA1 1B=OB=O，则则O O为为ABAB1 1的中点的中点. .连接连接ODOD，DD为为ACAC的中点，的中点，在在ACBACB1 1中，有中，有ODBODB1 1C.C.又又OD OD 平面平面A A1 1BDBD，B B1 1C C 平面平面A A1 1BDBD，B B1 1CC平面平面A A1 1BD.BD.(2)AB=BB(2)AB=BB1 1，三棱柱，三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1为直三棱柱，为直三棱柱，四边形四边形ABBABB1 1A A1 1为正方形为正方形. .AA1 1BA
7、BBAB1 1. .又又ACAC1 1平面平面A A1 1BDBD，A A1 1B B 平面平面A A1 1BDBD，ACAC1 1AA1 1B.B.又又ACAC1 1 平面平面ABAB1 1C C1 1，ABAB1 1 平面平面ABAB1 1C C1 1，ACAC1 1ABAB1 1=A=A，A A1 1BB平面平面ABAB1 1C C1 1. .又又B B1 1C C1 1 平面平面ABAB1 1C C1 1，A A1 1BBBB1 1C C1 1. .又又A A1 1AA平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，B B1 1C C1 1 平面平面A A1 1B B1 1C C1 1，
8、A A1 1ABAB1 1C C1 1. .又又A A1 1A A 平面平面ABBABB1 1A A1 1，A A1 1B B 平面平面ABBABB1 1A A1 1，A A1 1AAAA1 1B=AB=A1 1，B B1 1C C1 1平面平面ABBABB1 1A A1 1. .【拓展提升【拓展提升】解决平行与垂直关系的综合应用问题的方法解决平行与垂直关系的综合应用问题的方法解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图解答立体几何综合题时，要学会识图、用图与作图. .图在解题图在解题中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几中起着非常重要的作用，空间平行、垂直关系的证明，都与几何
9、体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特何体的结构特征相结合，准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线平行与垂直关系是证明的关键征找出平面图形中的线线平行与垂直关系是证明的关键. .【提醒【提醒】在利用线面平行、垂直关系的判定与性质证明问题时，在利用线面平行、垂直关系的判定与性质证明问题时，一定要把条件写全，否则不一定成立一定要把条件写全，否则不一定成立. .【变式备选【变式备选】如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥A-BCDEA-BCDE，其中，其中AB=BC=AC=BE=1AB=BC=AC=BE=1，CD=2CD=2，CDCD平面平面ABCABC，BECDBECD，F
10、 F为为ADAD的中点的中点. .（1 1）求证：）求证：EFEF平面平面ABC.ABC.（2 2）求证：平面）求证：平面ADEADE平面平面ADC.ADC.（3 3）求四棱锥）求四棱锥A-BCDEA-BCDE的体积的体积. .【解析【解析】（1 1）取）取ACAC中点中点G G，连接，连接FGFG，BGBG，F,GF,G分别是分别是ADAD，ACAC的中点，的中点，FGCDFGCD，且，且FG= CD=1.FG= CD=1.BECDBECD，BE= CDBE= CD，FGFG与与BEBE平行且相等，平行且相等，四边形四边形BEFGBEFG是平行四边形是平行四边形. .EFBG.EFBG.又又
11、EF EF 平面平面ABCABC，BG BG 平面平面ABCABC，EFEF平面平面ABC.ABC.（2 2）ABCABC为等边三角形，为等边三角形，BGACBGAC，又又DCDC平面平面ABCABC，BG BG 平面平面ABCABC，DCBG.DCBG.ADAC=C,BGADAC=C,BG平面平面ADC.ADC.EFBGEFBG，EFEF平面平面ADC.ADC.EF EF 平面平面ADEADE，平面平面ADEADE平面平面ADC.ADC.（3 3）方法一：连接）方法一：连接ECEC，该四棱锥分为两个三棱锥：，该四棱锥分为两个三棱锥：E-ABCE-ABC和和E-ACD.E-ACD.方法二：取方
12、法二：取BCBC的中点为的中点为O O，连接，连接AOAO，则，则AOBCAOBC，又又CDCD平面平面ABCABC，CDAOCDAO，又，又BCCD=CBCCD=C，AOAO平面平面BCDEBCDE，AOAO为四棱锥为四棱锥A-BCDEA-BCDE的高且的高且又又考向考向 2 2 平面图形的折叠问题平面图形的折叠问题【典例【典例2 2】（1 1）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，E E，F F分别为分别为PAPA，PDPD的中点，在此几何体中，给的中点，在此几何体中，给出下面三个结论：出下面三个结论： 直线直线B
13、EBE与与AFAF异面；异面；直线直线BEBE与与CFCF异面，异面，EFEF平面平面PBCPBC；平平面面BCEBCE平面平面PAD=EF.PAD=EF.其中正确的有其中正确的有_（把所有正确结论的序号都填上）（把所有正确结论的序号都填上）. .（2 2）（）（20132013宝鸡模拟）图宝鸡模拟）图1 1是由菱形是由菱形BCDEBCDE和和ABCABC组成的五组成的五边形，其中边形，其中P P为为ABAB的中点，现沿的中点，现沿BCBC将菱形将菱形BCDEBCDE折起，使得折起，使得AD=ABAD=AB，得到如图，得到如图2 2所示的几何体所示的几何体. .证明：证明：ADAD平面平面PC
14、E.PCE.平面平面ABDABD平面平面ACE.ACE.【思路点拨【思路点拨】（1 1）该几何体是一个四棱锥，先画出四棱锥，）该几何体是一个四棱锥，先画出四棱锥，然后再判断然后再判断. .（2 2）由于由于P P为为ABAB的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理证明；证明；要证平面要证平面ABDABD平面平面ACEACE，可证明，可证明BDBD平面平面ACE.ACE.【规范解答【规范解答】（1 1）如图所示，）如图所示，显然正确；由已知可得显然正确；由已知可得EFADEFAD，ADBCADBC，EFBCEFBC，即即E E，F F，B B，C C共面，共面
15、，错误；错误；正确正确. .答案：答案：（2 2）如图，设菱形如图，设菱形BCDEBCDE的两条对角线交于点的两条对角线交于点Q Q，连接，连接AQAQ，PQ.PQ.在在ABDABD中，中，Q Q为为BDBD的中点，的中点，P P为为ABAB的中点，的中点，则则ADPQ.ADPQ.又又PQ PQ 平面平面PCEPCE，AD AD 平面平面PCEPCE，ADAD平面平面PCE.PCE.四边形四边形BCDEBCDE为菱形，为菱形，BDCEBDCE，且，且BQ=DQ.BQ=DQ.又在又在ABDABD中，中，AB=ADAB=AD，BQ=DQBQ=DQ，AQBD.AQBD.又又AQCE=QAQCE=Q，
16、BDBD平面平面ACE.ACE.又又BD BD 平面平面ABDABD，平面平面ABDABD平面平面ACE.ACE.【拓展提升【拓展提升】解决折叠问题的关注点解决折叠问题的关注点（1 1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量和不变量. .一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口. .（2 2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的
17、图形，也要分析折叠前的图形折叠后的图形，也要分析折叠前的图形. .【变式训练【变式训练】已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，ABBCABBC，AB=1AB=1，BC=2BC=2， 过过A A作作AECDAECD，垂足为，垂足为E E，G G，F F分别为分别为ADAD，CECE的中点，现将的中点，现将ADEADE沿沿AEAE折叠，使得折叠，使得DEEC.DEEC.（1 1）求证：）求证：BCBC平面平面CDE.CDE.（2 2）求证：）求证：FGFG平面平面BCD.BCD.（3 3）在线段）在线段AEAE上找一点上找一点R R，使得平面，使得平面BDRBDR平面平
18、面BCDBCD，并说明理，并说明理由由. .【解析【解析】（1 1）由已知得：）由已知得：DEAEDEAE，又，又DEECDEEC，DEDE平面平面ABCEABCE，DEBC.DEBC.又又BCCEBCCE，DECE=EDECE=E，BCBC平面平面CDE.CDE.（2 2）取）取ABAB的中点的中点H H，连接，连接GHGH，FH.FH.GG为为ADAD的中点，的中点，GHBDGHBD，FHBC.FHBC.又又BD BD 平面平面BCDBCD，GH GH 平面平面BCDBCD，BC BC 平面平面BCDBCD，FH FH 平面平面BCDBCD，GHGH平面平面BCDBCD，FHFH平面平面B
19、CD.BCD.又又GHFH=HGHFH=H，GHGH，FH FH 平面平面FHGFHG，平面平面FHGFHG平面平面BCD.BCD.FG FG 平面平面FHGFHG，FGFG平面平面BCD.BCD.（3 3）R R点满足点满足3AR=RE3AR=RE时，平面时，平面BDRBDR平面平面BCD.BCD.证明如下：取证明如下：取BDBD中点中点Q Q，连接，连接DRDR，BRBR，CRCR，CQCQ，RQ.RQ.容易计算容易计算CD=2CD=2，在在BDRBDR中，中，根据余弦定理可得根据余弦定理可得在在CRQCRQ中，中，CQCQ2 2+RQ+RQ2 2=CR=CR2 2，CQRQ.CQRQ.又
20、在又在BCDBCD中，中，CD=BCCD=BC，Q Q为为BDBD的中点，的中点，CQBD.CQCQBD.CQ平面平面BDRBDR，又又CQ CQ 平面平面BCDBCD，平面平面BDRBDR平面平面BCD.BCD.考向考向 3 3 立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题【典例【典例3 3】（20132013海淀模拟）在四棱锥海淀模拟）在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是菱形，是菱形，ACBD=O. ACBD=O. （1 1）若）若ACPDACPD，求证：，求证：ACAC平面平面PBD.PBD.（2 2）若平面）若平面PACPAC平面平面ABCDABCD，求证
21、：，求证：PB=PD.PB=PD.（3 3）在棱）在棱PCPC上是否存在点上是否存在点M M（异于点（异于点C C）使得）使得BMBM平面平面PADPAD，若存在，求若存在，求 的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由. .【思路点拨【思路点拨】（1 1）利用菱形的对角线互相垂直求证）利用菱形的对角线互相垂直求证. .（2 2）可由面面垂直的性质得）可由面面垂直的性质得BDBD平面平面PACPAC，然后借助菱形的性，然后借助菱形的性质求得质求得PB=PD.PB=PD.（3 3）可假设存在点）可假设存在点M M，然后从，然后从BMBM平面平面PADPAD推得结论推得结论. .【规范解答【
22、规范解答】（1 1）因为底面）因为底面ABCDABCD是菱形，是菱形，所以所以ACBD.ACBD.因为因为ACPDACPD，PDBD=DPDBD=D，所以所以ACAC平面平面PBD.PBD.（2 2）由（）由（1 1）知）知ACBD.ACBD.因为平面因为平面PACPAC平面平面ABCDABCD，平面，平面PACPAC平面平面ABCD=ACABCD=AC，BD BD 平面平面ABCDABCD，所以，所以BDBD平面平面PAC.PAC.因为因为PO PO 平面平面PACPAC，所以所以BDPO.BDPO.因为底面因为底面ABCDABCD是菱形，是菱形，所以所以BO=DOBO=DO，所以，所以PB
23、=PD.PB=PD.（3 3）不存在满足题中条件的点）不存在满足题中条件的点M.M.下面用反证法说明下面用反证法说明. .假设在棱假设在棱PCPC上存在点上存在点M M（异于点（异于点C C）使得）使得BMBM平面平面PAD.PAD.在菱形在菱形ABCDABCD中，中，BCADBCAD，因为因为AD AD 平面平面PADPAD，BC BC 平面平面PADPAD，所以所以BCBC平面平面PAD.PAD.因为因为BM BM 平面平面PBCPBC，BC BC 平面平面PBCPBC，BCBM=BBCBM=B，所以平面所以平面PBCPBC平面平面PAD.PAD.而平面而平面PBCPBC与平面与平面PAD
24、PAD相交，矛盾相交，矛盾. .故假设不成立，即不存在这样的点故假设不成立，即不存在这样的点M.M.【拓展提升【拓展提升】1.1.探索性问题的类型探索性问题的类型（1 1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么. .（2 2）探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么）探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么. .2.2.求解探索性问题的方法求解探索性问题的方法（1 1）对命题条件的探索常采用以下三种方法：）对命题条件的探索常采用以下三种方法：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条
25、件探索出命题成立的条件，先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；再证明其充分性；把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件. .（2 2）对命题结论的探索常采用以下方法：）对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设结果就否定假设. . 【变式训练【变式训练】（20132013延安模拟）延安模拟）如图所示，直棱柱
26、如图所示，直棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，底面底面ABCDABCD是直角梯形，是直角梯形，BAD=ADCBAD=ADC=90=90,AB=2AD=2CD=2.,AB=2AD=2CD=2.(1)(1)证明：证明：ACAC平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)在在A A1 1B B1 1上是否存在一点上是否存在一点P P，使得，使得DPDP与平面与平面ACBACB1 1平行？证明你平行？证明你的结论的结论. .【解析【解析】(1)(1)直棱柱直棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，BBBB1 1
27、平面平面ABCDABCD，BBBB1 1AC.AC.又又BAD=ADC=90BAD=ADC=90,AB=2AD=2CD=2,AB=2AD=2CD=2,AC= CAB=45AC= CAB=45，又易知，又易知BC= BCAC.BC= BCAC.又又BBBB1 1BC=B,BC=B,ACAC平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)存在点存在点P P，P P为为A A1 1B B1 1的中点可满足要求的中点可满足要求. .由由P P为为A A1 1B B1 1的中点，有的中点，有PBPB1 1AB,AB,且且PBPB1 1= AB,= AB,又又CDAB,CD= AB,CDPBCDAB
28、,CD= AB,CDPB1 1, ,且且CD=PBCD=PB1 1, ,四边形四边形CDPBCDPB1 1为平行四边形，为平行四边形，DPCBDPCB1 1. .又又CBCB1 1 平面平面ACBACB1 1，DP DP 平面平面ACBACB1 1，DPDP平面平面ACBACB1 1. .【满分指导【满分指导】解答立体几何中的折叠问题解答立体几何中的折叠问题【典例【典例】（1212分）（分）（20122012江西高考）如图，在梯形江西高考）如图，在梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，E E，F F是线段是线段ABAB上的两点，且上的两点，且DEABDEAB，CFABCFAB，AB=
29、AB= 1212，AD=5AD=5， DE=4.DE=4.现将现将ADEADE，CFBCFB分别沿分别沿DEDE，CFCF折起，使折起，使A A，B B两点重合于点两点重合于点G G，得到多面体，得到多面体CDEFG.CDEFG.（1 1）求证：平面）求证：平面DEGDEG平面平面CFG.CFG.（2 2）求多面体）求多面体CDEFGCDEFG的体积的体积. .【思路点拨【思路点拨】已知条件已知条件条件分析条件分析ABCD,DEAB,CFABABCD,DEAB,CFAB证明四边形证明四边形DEFCDEFC为矩形为矩形求出求出AEAE，EFEF，FBFB的长度的长度A A，B B两点重合于点两点
30、重合于点G G根据根据AEAE，EFEF，FBFB的长度可判断的长度可判断EFGEFG为直角为直角三角形三角形多面体多面体CDEFGCDEFG其实质为四棱锥其实质为四棱锥G-DCFEG-DCFE 【规范解答【规范解答】（1 1）因为）因为DEABDEAB，CFABCFAB，CDABCDAB，所以四边，所以四边形形CDEFCDEF为矩形为矩形. .1 1分分2 2分分3 3分分在在EFGEFG中，有中，有EFEF2 2=EG=EG2 2+FG+FG2 2，所以，所以EGFG.EGFG.4 4分分又因为又因为CFEFCFEF，CFFGCFFG，EFFG=F,EFFG=F,得得CFCF平面平面EFG
31、EFG，5 5分分所以所以CFEGCFEG，CFFG=F,CFFG=F,所以所以EGEG平面平面CFGCFG，即平面，即平面DEGDEG平面平面CFG.CFG.6 6分分（2 2）在平面）在平面EGFEGF中，过点中，过点G G作作GHEFGHEF于点于点H H，则，则 8 8分分可证平面可证平面CDEFCDEF平面平面EFGEFG，得，得GHGH平面平面CDEFCDEF，1010分分 1212分分【失分警示【失分警示】（下文（下文见规范解答过程）见规范解答过程）1.1.（20132013延安模拟）设延安模拟）设表示平面，表示平面，a,ba,b表示两条不同的直线，表示两条不同的直线，给定下列四
32、个命题：给定下列四个命题：aa，abab bb；ab,aab,abb；aa，ababbb；a,ba,babab. .其中正确的是其中正确的是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选B.B.在在中，当中，当aa，abab时，时，b b与与的位置关系无的位置关系无法确定；在法确定；在中，当中，当aa，abab时，可得时，可得bb或或b b ，故，故错，易证错，易证正确正确. .2.2.（20132013咸阳模拟）在正方体咸阳模拟）在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,点点M M，N N分别分别在在ABA
33、B1 1，BCBC1 1上，且上，且 则下列结论则下列结论AAAA1 1MNMN；A A1 1C C1 1MNMN；MNMN平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1；B B1 1D D1 1MNMN中，正确命题的个数是中，正确命题的个数是( )( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析【解析】选选B.B.如图过如图过M M，N N分别在平面分别在平面ABBABB1 1A A1 1和平面和平面BCCBCC1 1B B1 1中作中作MEABMEAB，NFBCNFBC，垂足分别为，垂足分别为E E，F,F,连接连接EFEF，易证四边形，易
34、证四边形MNFEMNFE为平行四边形，为平行四边形，MNEFMNEF，MNMN平面平面ABCDABCD，MNMN平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，故，故正确正确; ;AA1 1AA平面平面ABCDABCD，A A1 1AEFAEF，A A1 1AMN,AMN,故故正确；正确；EFEF与与ACAC相交，相交，ACAACA1 1C C1 1，故，故错误错误; ;由于由于BDBD与与EFEF不垂直，且不垂直，且BDBBDB1 1D D1 1, ,故故错误错误. .3.3.（20132013郑州模拟）正方体郑州模拟）正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D
35、 D1 1中中,E,F,E,F分别是分别是AAAA1 1, , CCCC1 1的中点，的中点，P P是是CCCC1 1上的动点（包括端点），过点上的动点（包括端点），过点E E，D D，P P作正作正方体的截面，若截面为四边形，则方体的截面，若截面为四边形，则P P的轨迹是的轨迹是( )( )(A)(A)线段线段C C1 1F (B)F (B)线段线段CFCF(C)(C)线段线段CFCF和一点和一点C C1 1 (D)(D)线段线段C C1 1F F和一点和一点C C【解析【解析】选选C.C.如图，如图，DEDE平面平面BBBB1 1C C1 1C C，则平面，则平面DEPDEP与平面与平面B
36、BBB1 1C C1 1C C的交线为的交线为PMPM且且PMEDPMED，连接，连接EMEM，易证，易证MP=EDMP=ED，MP EDMP ED，则，则M M到达到达B B1 1时仍可构成四边形，即时仍可构成四边形，即P P到到F F点点. .而而P P在在C C1 1F F之间，不满足之间，不满足要求，要求，P P在点在点C C1 1仍可构成四边形仍可构成四边形. .4.4.（20132013西安模拟）如图，四棱锥西安模拟）如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PDPD平面平面ABCDABCD，底面，底面ABCDABCD为矩形，为矩形，PD=DC=4PD=DC=4，AD=2AD=2
37、，E E为为PCPC的中点的中点. .（1 1）求证：）求证：ADPC.ADPC.（2 2）求三棱锥）求三棱锥A-PDEA-PDE的体积的体积. .（3 3）在线段）在线段ACAC上是否存在一点上是否存在一点M M，使得使得PAPA平面平面EDMEDM？若存在，求出？若存在，求出AMAM的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由. .【解析【解析】（1 1）因为）因为PDPD平面平面ABCDABCD，所以，所以PDAD.PDAD.又因为四边形又因为四边形ABCDABCD是矩形，所以是矩形，所以ADCD.ADCD.因为因为PDCD=DPDCD=D，所以，所以ADAD平面平面PCD.PC
38、D.又因为又因为PC PC 平面平面PCDPCD，所以，所以ADPC.ADPC.（2 2）由（）由（1 1）知）知ADAD平面平面PCDPCD，所以所以ADAD是三棱锥是三棱锥A-PDEA-PDE的高的高. .因为因为E E为为PCPC的中点，且的中点，且PD=DC=4PD=DC=4，所以所以又又AD=2AD=2，所以所以（3 3）取）取ACAC的中点的中点M M，连接，连接EMEM，DMDM，因为因为E E为为PCPC的中点，的中点，M M是是ACAC的中点，的中点，所以所以EMPA.EMPA.又因为又因为EM EM 平面平面EDMEDM，PA PA 平面平面EDMEDM，所以所以PAPA平
39、面平面EDM.EDM.此时此时即在边即在边ACAC上存在一点上存在一点M M，使得，使得PAPA平面平面EDMEDM，且，且AMAM的长为的长为1.1.如图，三棱锥如图，三棱锥A-BCDA-BCD中，平面中，平面ABCABC平面平面BCDBCD，ACB= BDC=90ACB= BDC=90，E E，F F分别为分别为BCBC，BDBD的中点，的中点，G G为为ACAC上的动上的动点，满足点，满足（1 1）求证：平面）求证：平面ABDABD平面平面ACD.ACD.（2 2）当）当取何值时，取何值时，AFAF平面平面EDGEDG，说明理由，说明理由. .【解析【解析】（1 1）ACB=BDC=90
40、ACB=BDC=90，ACBCACBC，BDCD.BDCD.平面平面ABCABC平面平面BCDBCD，平面，平面ABCABC平面平面BCD=BCBCD=BC，且且AC AC 平面平面ABCABC，ACAC平面平面BCD.BCD.又又BD BD 平面平面BCDBCD，ACBD.ACBD.又又ACCD=CACCD=C，BDBD平面平面ACD.ACD.又又BD BD 平面平面ABDABD，平面平面ABDABD平面平面ACD.ACD.（2 2）连接）连接CFCF，交，交DEDE于点于点O O，连接，连接OGOG，EE，F F分别为分别为BCBC，BDBD的中点，的中点，OO为为BCDBCD的重心，的重
41、心，从而从而COOF=21.COOF=21.若若CGGA=21CGGA=21，则，则AFGO.AFGO.又又AF AF 平面平面EDGEDG，GO GO 平面平面EDGEDG，AFAF平面平面EDGEDG，即当即当 时，时，AFAF平面平面EDG.EDG.2.2.如图，在正方体如图，在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，中，E E，F F分别是棱分别是棱BCBC，CDCD的中点，的中点，G G为棱为棱CCCC上的动点上的动点. .（1 1）求证：平面）求证：平面AACAAC平面平面EFG.EFG.（2 2）若）若G G为棱为棱CCCC的中点，在棱的中点，在棱AAAA上是否存在点上是否
42、存在点H H，使得，使得CACA平面平面HEFHEF，且平面，且平面GEFGEF平面平面HEFHEF？若存在，求出？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. .【解析【解析】（1 1）连接）连接BD.BD.AAAA平面平面ABCDABCD，BD BD 平面平面ABCDABCD，AABD.AABD.又又BDACBDAC，ACAA=AACAA=A，BDBD平面平面AAC.AAC.又又E E，F F分别是分别是BCBC，CDCD的中点，的中点，EFBDEFBD，EFEF平面平面AAC.AAC.又又EF EF 平面平面EFGEFG，平面平面AACAAC平面平面EFG.EFG
43、.（2 2）存在点）存在点H H满足条件，且满足条件，且证明如下：设证明如下：设EFAC=OEFAC=O，连接，连接OHOH，CACA平面平面HEFHEF，平面，平面AACAAC平面平面HEF=OHHEF=OH，CAOHCAOH，连接连接OGOG，易知，易知HEFHEF，GEFGEF都是等腰三角形都是等腰三角形. .因为因为O O为为EFEF的中的中点，所以点，所以GOEF.GOEF.连接连接GHGH，设正方体的棱长为，设正方体的棱长为4.4.易知，在易知，在AOHAOH中，中， 在在GOCGOC中，中， 在直角梯形在直角梯形HACGHACG中，中， 由于由于 即在即在GOHGOH中中,OG,OG2 2+OH+OH2 2=HG=HG2 2, ,所以所以OGOH.OGOH.因为因为EFOH=OEFOH=O，所以，所以OGOG平面平面HEF.HEF.又又OG OG 平面平面GEFGEF，所以平面，所以平面GEFGEF平面平面HEF.HEF.故当点故当点H H为棱为棱AAAA上靠近点上靠近点AA的第一个四等分点时，满足条件的第一个四等分点时，满足条件. .
