《高三数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和课件文.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和课件文.ppt（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文数课标版第三节等比数列及其前n项和1.等比数列的定义等比数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(nN*).教材研读教材研读2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式等比数列an的通项公式为an=a1qn-1.3.等比中项等比中项若G2=ab(ab0),那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN*).(2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman.(3)若an,b
2、n(项数相同)是等比数列,则an(0),anbn,仍是等比数列.5.等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=.6.等比数列前等比数列前n项和的性质项和的性质公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项G2=ab.()(3)如果数列an为等比数列,bn=a2n-1+a2n是等差数列.()(4)如果
3、数列an为等比数列,则数列lnan是等差数列.()(5)数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.()1.已知an是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()A.-B.-2C.2D.答案答案D由通项公式及已知得a1q=2,a1q4=,由得q3=,解得q=.故选D.2.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=()A.4B.4C.4D.4答案答案B由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以q=,则an=4.3.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=()A.10B.25C.50D.75答案答案Ba7a1
4、2=5,a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.4.已知在等比数列an中,a2=,a3=,ak=,则k=.答案答案7解析解析设an的公比为q.a2=,a3=,q=,a1=1,由ak=a1=,解得k=7.5.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则=.答案答案-11解析解析设数列an的公比为q,则8a1q+a1q4=0,又a10,q0,q=-2,=-11.考点一等比数列的基本运算考点一等比数列的基本运算典例典例1(1)(2016山西太原一模)已知等比数列an单调递减,若a3=1,a2+a4=,则a1=()A.2B.4C.D.2(2)在等比数列an中
5、,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或(3)(2015课标,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.答案答案(1)B(2)C(3)6考点突破考点突破解析解析(1)设等比数列an的公比为q,由题易知q0.由等比数列的性质及题意知=a2a4=1,又a2+a4=,且an单调递减,所以a2=2,a4=,则q2=,q=(舍负),所以a1=4,故选B.(2)根据已知条件得得=3.整理得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.(3)由已知得an为等比数列,公比q=2,由首项a1=2,Sn=126得=12
6、6,解得2n+1=128,n=6.方法指导方法指导解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时,an的前n项和Sn=.1-1已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1答案答案D设等比数列an的公比为q,由可得=2,q=,代入解得a1=2,an=2=,Sn=4,=2n-1,选D.1-2设数列an的前n项和Sn满足6Sn+1=9an(
7、nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=,求数列bn的前n项和Tn.解析解析(1)当n=1时,由6a1+1=9a1,得a1=.当n2时,由6Sn+1=9an,得6Sn-1+1=9an-1,两式相减得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1),即6an=9(an-an-1),an=3an-1.数列an是首项为,公比为3的等比数列,其通项公式为an=3n-1=3n-2.(2)bn=,bn是首项为3,公比为的等比数列,Tn=b1+b2+bn=.考点二等比数列的性质及应用考点二等比数列的性质及应用典例典例2(1)(2016广东广州综合测试)已知数列an为等比数列,若a4+a6=
8、10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为()A.10B.20C.100D.200(2)(2016吉林长春调研)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.(3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3=.答案答案(1)C(2)14(3)34解析解析(1)a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100,故选C.(2)设数列an的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12可得q9=3,由于an-1anan+1=q3n-3=324,因
9、此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,解得n=14.(3)由题意可知q-1,故由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3(S9-S6),将S6=S3代入可得=.易错警示易错警示(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是“若m+n=p+q(m、n、p、qN*),则aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意对设而不求思想的运用.2-1已知x,y,zR,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为()A.-3
10、B.3C.-3D.3答案答案C由题意知y2=3,y=,又y与-1,-3符号相同,y=-,又y2=xz,所以xyz=y3=-3.2-2记等比数列an的前n项积为Tn(nN*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m的值为()A.4B.7C.10D.12答案答案A因为an是等比数列,所以am-1am+1=,故由am-1am+1-2am=0,可知am=2(am=0舍去).由等比数列的性质可知前(2m-1)项积T2m-1=,22m-1=128,故m=4.考点三等比数列的判定与证明考点三等比数列的判定与证明典例典例3设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知a1=1,a2=,a3=,
11、且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值;(2)证明:为等比数列.解析解析(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1,整理得a4=,因为a2=,a3=,所以a4=.(2)证明:当n2时,有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1,所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1),即an+2=an+1-an(n2).经检验,当n=1时,上式成立.因为=,为常数,且a2-a1=1,所以数列是以1为首项,
12、为公比的等比数列.方法技巧方法技巧证明数列an(各项不为零)是等比数列的常用方法:一是定义法,证明=q(n2,q为非零常数);二是等比中项法,证明=an-1an+1(n2).若判定一个数列不是等比数列,则可以举反例,也可以用反证法.3-1在数列an中,“an=2an-1,n=2,3,4,”是“an是公比为2的等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案答案B因为当an=0时,也有an=2an-1,n=2,3,4,但an是等差数列,不是等比数列,因此充分性不成立.当an是公比为2的等比数列时,有=2,n=2,3,4,即an=2an-1,n=2,3,4,所以必要性成立.3-2设数列an的前n项和为Sn,数列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2).若an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:数列cn是等比数列;(2)求数列bn的通项公式.解析解析(1)证明:由an+Sn=n,得an-1+Sn-1=n-1(n2),两式相减得2an-an-1=1(n2),即2(an-1)=an-1-1(n2),所以cn=cn-1(n2).又由解得a1=,所以c1=a1-1=-0,所以数列cn是等比数列.(2)由(1)知cn=-,所以an=cn+1=1-,所以bn=an-an-1=(n2).又b1=a1=适合上式,所以bn=.
