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1、第二节第二节 状态观测器状态观测器1.1.1.1.状态观测器的原理和构成状态观测器的原理和构成状态观测器的原理和构成状态观测器的原理和构成2.2.2.2.状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件3.3.3.3.状态观测器极点配置条件和算法状态观测器极点配置条件和算法状态观测器极点配置条件和算法状态观测器极点配置条件和算法4.4.4.4.构成状态观测器的原则构成状态观测器的原则构成状态观测器的原则构成状态观测器的原则2024/7/252024/7/251 1状态重构问题和状态观测器 通过状态反馈可以直接配置系统的闭环极点，从而通过状态反馈可以直接配置系统的
2、闭环极点，从而可使原不稳定系统为稳定。但是，实际上并不是系可使原不稳定系统为稳定。但是，实际上并不是系统的所有状态都是可以直接测量的，通常只有输出统的所有状态都是可以直接测量的，通常只有输出可以测量。可以测量。 状态重构问题是重新构造一个系统，利用原系统中状态重构问题是重新构造一个系统，利用原系统中 可直接测量的变量，从输出变量和输入变量作为起可直接测量的变量，从输出变量和输入变量作为起 输入信号，并使其输出信号输入信号，并使其输出信号 在一定程度在一定程度上等价于原系统状态上等价于原系统状态 ，通常称，通常称 为为 的重构状态或估计状态。一般来说，的重构状态或估计状态。一般来说， 与与 之间
3、的等价关之间的等价关 系为：系为：2024/7/252024/7/252 2状态重构状态重构状态重构状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入可量测参量，如输入u u和输出和输出y y来估计系统状态来估计系统状态 。状态观测器状态观测器状态观测器状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量状态观测器基于可直接量测的输出变量y y和控制变量和控制变量u u来估计状态来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。2024/7/252024/7/253 32
4、024/7/252024/7/254 4若构造则似乎也可以达到状态重构的目的，但存在问题：1. 在实际中是不可能实现的。2.若 是不稳定的，则 与 的一点很小的误差都有可能扩大。2024/7/252024/7/255 5如果如果 是状态完全能观测的，是状态完全能观测的，那么根据输出那么根据输出y y的测量，可以唯一地确定系统的初始状态的测量，可以唯一地确定系统的初始状态 x(0) 0) ，系统任意时刻的状态：系统任意时刻的状态：所以只要满足一定的条件，可从可测量所以只要满足一定的条件，可从可测量y y和和u u中把中把x x间接重构出来。间接重构出来。一、状态观测器的原理和构成一、状态观测器的
5、原理和构成一、状态观测器的原理和构成一、状态观测器的原理和构成2024/7/252024/7/256 6原受控系统：原受控系统：状态观测器：状态观测器：原系统和状态观测器之间状态的误差：原系统和状态观测器之间状态的误差：有：有： ，即：，即： 原系统状态原系统状态 状态观测器的状态状态观测器的状态如果如果 ，必有，必有 ，即两者完全等价，实际很难满足。，即两者完全等价，实际很难满足。也就是说原状态和状态观测器的估计状态之间必存在误差，也就是说原状态和状态观测器的估计状态之间必存在误差，从而导致原系统和状态观测器的输出也必存在误差。从而导致原系统和状态观测器的输出也必存在误差。渐近状渐近状态观测
6、器态观测器。2024/7/252024/7/257 72024/7/252024/7/258 82024/7/252024/7/259 9由上图可见，状态观测器的方程为：2024/7/252024/7/2510102024/7/252024/7/251111前提：设计全维状态观测器， 是状态观测器期望的特征值。则目的是确定观测器增益矩阵，使得G-LH具有期望的特征值。等同于状态反馈系统的设计。三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题：三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题：1、针对对偶系统来设计状态反馈阵F： 线性反馈规律仍然为：则希望 取得一组期望的特征值，将特征值选择为原系统的观测器
7、的期望特征值。对偶系统：对偶系统：原系统为：原系统为：2024/7/252024/7/251212观察上式可以发现：与原系统状态观测器的特征方程相比：则有：其中，F是其对偶系统的状态反馈阵。结论：原系统的状态观测器增益矩阵L的设计，等同于其对偶系统状态反馈中反馈阵F的设计，两者互为转置。其中原系统的观测器特征值等于其对偶系统状态反馈的特征值。2024/7/252024/7/251313由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理：定理定理定理定理：线性定常系统的状态观测器极点任意配置：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意即具有任意逼近速度的充要条
8、件是原系统为状态完全能观测。逼近速度的充要条件是原系统为状态完全能观测。四、状态观测器极点配置条件和算法：四、状态观测器极点配置条件和算法：四、状态观测器极点配置条件和算法：四、状态观测器极点配置条件和算法：证明证明证明证明：根据以上的对偶关系，要使原系统的观测器极点能任意配：根据以上的对偶关系，要使原系统的观测器极点能任意配置，则要求其对偶系统的状态反馈系统极点能任意配置。置，则要求其对偶系统的状态反馈系统极点能任意配置。所以，其对偶系统状态能控。所以，其对偶系统状态能控。原系统为：原系统为：对偶系统：对偶系统：则要求：则要求：即：即：原系统状态能观原系统状态能观2024/7/252024/
9、7/251414状态观测器的设计步骤状态观测器的设计步骤状态观测器的设计步骤状态观测器的设计步骤：(3)(3)写出状态观测器的期望特征多项式：写出状态观测器的期望特征多项式：1 1 1 1、直接法、直接法、直接法、直接法（维数较小时，维数较小时，维数较小时，维数较小时，n 3n 3n 3n 3）(2)(2)求观测器的特征多项式：求观测器的特征多项式：(4)(4)由由 确定状态观测器的反馈矩阵确定状态观测器的反馈矩阵：(1)(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。2024/7/252024/7/251515为系统期望的特征
10、多项式系数，由下式确定：为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：推导过程：用前面讲述的对偶关系来推导。转化为对偶系统的推导过程：用前面讲述的对偶关系来推导。转化为对偶系统的状态反馈阵状态反馈阵K K的设计。的设计。此方法也非常适合于计算机此方法也非常适合于计算机matlabmatlab求解求解2 2 2 2、爱克曼公式、爱克曼公式、爱克曼公式、爱克曼公式(Ackermann(Ackermann(Ackermann(Ackermann公式法公式法公式法公式法) ) ) ) （维数较大时，（维数较大时，（维数较大时，（维数较大时，n3n3n3n3）其中其中 是在期望极点多项式中以是在期望极点多项式
11、中以GG代代 , ,得到的矩阵多项式：得到的矩阵多项式：2024/7/252024/7/251616 解解解解 ： (1)(1)传递函数传递函数 无零极点对消，系统能观测无零极点对消，系统能观测 可以写为第二能观测标准型：可以写为第二能观测标准型： 例例例例 系统的传递函数如下，试设计状态观测器，使观测器系统的传递函数如下，试设计状态观测器，使观测器的极点为的极点为0.10.1，0.10.1。(2)(2)设观测器的反馈增益阵为：设观测器的反馈增益阵为：直接法求解：直接法求解：直接法求解：直接法求解：2024/7/252024/7/251717(5)(5)由系数相等，得到观测器的反馈矩阵为：由系
12、数相等，得到观测器的反馈矩阵为：(4)(4)状态观测器期望的特征多项式为：状态观测器期望的特征多项式为：(3)(3)求观测器的特征多项式：求观测器的特征多项式：则观测器的系统矩阵为：则观测器的系统矩阵为：2024/7/252024/7/251818原系统的对偶系统，其原系统的对偶系统，其A A、B B阵如下：阵如下：设对偶系统的状态反馈阵为设对偶系统的状态反馈阵为用状态反馈和状态观测器的对偶关系求解：用状态反馈和状态观测器的对偶关系求解：用状态反馈和状态观测器的对偶关系求解：用状态反馈和状态观测器的对偶关系求解：将系统的特征值选择为原系统观测器的期望特征值。则将系统的特征值选择为原系统观测器的
13、期望特征值。则期望的特征多项式为：期望的特征多项式为：则对偶系统的加入状态反馈后的特征多项式为：则对偶系统的加入状态反馈后的特征多项式为：由系数相等，得到对偶系统状态反馈矩阵由系数相等，得到对偶系统状态反馈矩阵K K为：为：所以，原系统观测器的反馈矩阵为：所以，原系统观测器的反馈矩阵为：2024/7/252024/7/251919用爱克曼公式求解：用爱克曼公式求解：用爱克曼公式求解：用爱克曼公式求解：（1 1）确定系统期望的特征多项式系数：确定系统期望的特征多项式系数：所以：所以：（2 2）确定）确定2024/7/252024/7/252020（3 3）所以观测器增益所以观测器增益L L为：为
14、：2024/7/252024/7/252121五、构成状态观测器的原则：五、构成状态观测器的原则：五、构成状态观测器的原则：五、构成状态观测器的原则：1 1）观测器）观测器 以原系统以原系统 的输入和输出作为其输入。的输入和输出作为其输入。2 2） 的输出状态的输出状态 应有足够快的速度逼近应有足够快的速度逼近x x，这就要求这就要求 有有足够宽的频带，将导致观测器的作用接近于一个微分器，足够宽的频带，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大。从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大。3 3） 有较高的抗干扰性，这就要求有较高的抗干扰性，这就要求 有
15、较窄的频带，因而有较窄的频带，因而快速性和抗干扰性是互相矛盾的，应综合考虑。快速性和抗干扰性是互相矛盾的，应综合考虑。4 4） 在结构上应尽可能地简单，即具有尽可能低的维数。在结构上应尽可能地简单，即具有尽可能低的维数。5 5）观测器的逼近速度选择：只需使观测器的期望极点比由此观测器的逼近速度选择：只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考择的期望特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快虑的闭环系统快2525倍。倍。2024/7/252024/7/252222
