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1、2.9函数模型及其应用数学数学 苏苏（理）（理）第二章函数概念与基本初等函数基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x) b (k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)(
2、2)三种函数模型的性质 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调单调单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax递增递增y轴x轴2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框
3、图表示如下：u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.()(2)幂函数增长比直线增长更快.()(3)不存在x0，使 x logax0.()(4)美缘公司2013年上市的一种化妆品，由于脱销，在2014年曾提价25%,2015年想要恢复成原价，则应降价25%.()(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(6)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)600，所以600万元的投资可以在两年内收回.解 析思 维 升 华(2)若以最低日
4、收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资.(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，保证不重不漏解 析思 维 升 华跟踪训练3某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)k(n)(n10)，n10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，现有甲、乙两位数学任课教师，甲所
5、教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多_元.解析k(18)200(元)，1 700f(18)200(1810)1 600(元).又k(21)300(元)，f(21)300(2110)3 300(元)，f(21)f(18)3 3001 6001 700(元).答题模板系列答题模板系列2 函数应用问题函数应用问题典例：(14分)某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x(xN*,80x100)件之间的关系如下表所示：日产量x808182x9899100次品率pp(x)思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(1)首
6、先根据图表确定次品率p(x)，利用“日盈利额正品盈利总额次品损失总额”求出y关于x的函数；(2)求第(1)步建立函数模型的最大值.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒解根据列表数据可得a108，2分分 3分分 6分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒7分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(1)本题函数模型的建立分为两个阶段：先求次品率p(x)，再求日盈利额关于日产量x的函数，要在充分理解题意的基础上建模；(2)求函数模型的最值时一定要考虑函数的定义域；解题步骤的最后要对所求问题作答.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒
7、答 题 模 板(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？(1)首先根据图表确定次品率p(x)，利用“日盈利额正品盈利总额次品损失总额”求出y关于x的函数；(2)求第(1)步建立函数模型的最大值.(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒答 题 模 板(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？令t108x，t8,28，tN*.8分分 12分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒答 题 模 板(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？13分分 答为了取得最大盈利，该工厂的日生产量应定为96件.14分分
8、 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒答 题 模 板(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？解函数应用题的一般程序：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒答 题 模 板(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.第五步：反思对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒答 题 模 板(
9、2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？(1)本题函数模型的建立分为两个阶段：先求次品率p(x)，再求日盈利额关于日产量x的函数，要在充分理解题意的基础上建模；(2)求函数模型的最值时一定要考虑函数的定义域；解题步骤的最后要对所求问题作答.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒答 题 模 板方 法 与 技 巧1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.3.解函数应用题的四个步骤：审题；建模；解模；还原.失 误 与 防 范1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要
10、正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.23456789101234567891011.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是_元.108解析设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108.234567891012.若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为_.23456789101解析根据题意得解析
11、式为h205t(0t4)，其图象为.答案234567891013.利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y 30x4 000，则每吨的成本最低时的年产量为_吨.23456789101因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨.答案200234567891014.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差_元.23456789101解析设A种方式对应的函数解析式为sk1t20，
12、B种方式对应的函数解析式为sk2t，当t100时，100k120100k2，k2k1 ，t150时，150k2150k120150 2010.答案10234567891015.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元.23456789101解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x )2
13、0.1 32.因为x0,16，且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.答案43234567891016.如图是某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数vv(t)的图象，则该质点运动的总路程为_cm.解析总路程为(24)1 41 2411.11234567891017.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析当t0时，ya，当t8时，23456789101e8b ，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，所以
14、再经过16 min.答案16234567891018.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_ km.23456789101解析设出租车行驶x km时，付费y元，由y22.6，解得x9.答案9234567891019.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量
15、y(亿千瓦时)与(x0.4)(元)成反比例.又当x0.65时，y0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；23456789101解y与(x0.4)成反比例，把x0.65，y0.8代入上式，23456789101(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量(实际电价成本价)1(0.80.3)(120%).整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.23456789101经检验x10.5，x20.6都是所列方程的根.x的取值范围是0.550.75，故x0.5不符合题意，应舍去.x0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门
16、的收益将比上年度增加20%.2345678910110.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.23456789101(1)当0x20时，求函数v关于x的函数表达式；解由题意得当0x4时，v2；当4x20时，设vaxb，显然vaxb在(4,20内是减函数，2345678910123456789101(2)当养殖密度
17、x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.当0x4时，f(x)为增函数，故f(x)maxf(4)428；23456789101所以当0x20时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.23451234511.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为_.上午10：00; 中午12：00；下午4：00; 下午6：00.23451解析当x0,4
18、时，设yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.当x4,20时，设yk2xb.把(4,320)，(20,0)分别代入23451y40020x.由y240，23451解得3x4或4x8，3x8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.答案234512.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为_.23451答案2234513.某工厂采用高科技改革，
19、在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为_.解析不妨设第一年8月份的产值为b，则9月份的产值为b(1a)，10月份的产值为b(1a)2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b(1a)12.23451又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为 (1a)121. 答案(1a)121234514.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n) n(n1)(2n1)吨，但如果年产量
20、超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年.23451解析设第n(nN*)年的年产量为an，则a1 1233；当n2时，anf(n)f(n1) n(n1)(2n1) n(n1) (2n1)3n2.又a13也符合an3n2，所以an3n2(nN*).令an150，即3n2150，解得5 n5 ，所以1n7，nN*，故最长的生产期限为7年.答案7234515.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x) x210x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)51x 1 450(万元).通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完.23451(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解当0x80，xN*时，当x80，xN*时，2345123451(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解当0x950.综上所述，当x100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
