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1、第三章第三章 工程结构地震反应分析工程结构地震反应分析 与抗震验算与抗震验算l3.1概述概述l3.1.1地震作用的性质地震作用的性质l地震反应：地震反应：地震振动使工程结构产生内力地震振动使工程结构产生内力 和变形和变形 的动态反应的动态反应 即：结构由于地震激发引起的振动，在结构中即：结构由于地震激发引起的振动，在结构中产生随时间变化的位移、速度、加速度、内力产生随时间变化的位移、速度、加速度、内力和变形等和变形等13.1.1地震作用的性质地震作用的性质l地震作用：地震作用：结构上的质量因加速度的存在而产结构上的质量因加速度的存在而产 生的惯性力生的惯性力-可视为结构在地震中受到地震影响大小
2、的可视为结构在地震中受到地震影响大小的“等效荷载等效荷载”l地震反应（作用）的大小：地震反应（作用）的大小：（1）取决于地面运动的强弱程度）取决于地面运动的强弱程度（2）取决于结构本身的动力特性（自振周期和阻尼等）取决于结构本身的动力特性（自振周期和阻尼等）23.1.2地震作用的确定方法地震作用的确定方法结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段1.静力理论阶段静力理论阶段-静力法静力法1920年，日本大森房吉提出。年，日本大森房吉提出。假设建筑物为绝对刚体。假设建筑物为绝对刚体。地震作用：地震作用：-地震系数：反映震级、震中距、地基地震系数：反映震级、震
3、中距、地基 等的影响等的影响将将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应33.1.2地震作用的确定方法地震作用的确定方法2.反应谱理论反应谱理论-振型分解反应谱法振型分解反应谱法1940年美国皮奥特教授提出年美国皮奥特教授提出地震作用地震作用-重力荷载代表值重力荷载代表值-地震系数（反映震级、震中距、地基等的影响）地震系数（反映震级、震中距、地基等的影响）-动力系数动力系数( (反映结构的特性反映结构的特性, ,如周期、阻尼等的影响如周期、阻尼等的影响) )目前，是世界上普遍采用的方法目前，是世界上普遍采用的方法。43.1.2地震作用的确定方法
4、地震作用的确定方法3.直接动力分析理论直接动力分析理论-时程分析法时程分析法 1960年以后，计算机的应用推广年以后，计算机的应用推广将实际地震加速度时程记录（简称地震记录将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earth-quakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。响应分析。-用于大震分析计算以及大型、复杂用于大震分析计算以及大型、复杂结构的地震反应计算结构的地震反应计算53.2单质点体系水平地震作用单质点体系水平地震作用l3.2.1单质点体系计算简图单质点体系计算简图 集中质量法：集中质量法：把结构的全部质量假想地集中到若把结构的全部质量
5、假想地集中到若干质点，结构杆件本身则看成无重弹性直杆干质点，结构杆件本身则看成无重弹性直杆体系的自由度：体系的自由度：确定一个体系弹性位移的独立参数的个数确定一个体系弹性位移的独立参数的个数63.2.1单质点体系计算简图单质点体系计算简图l理解体系自由度的注意事项：理解体系自由度的注意事项： (1)结构的自由度数不一定等于其质点数，而要根据质结构的自由度数不一定等于其质点数，而要根据质点的位移数来确定点的位移数来确定（2）结构的自由度数和计算精度有关）结构的自由度数和计算精度有关（3）结构的自由度数和结构的超静定次数无关）结构的自由度数和结构的超静定次数无关R 当一个单质点体系只作单向振动时，
6、当一个单质点体系只作单向振动时， 形成一个单自由度体系。形成一个单自由度体系。73.2.2单自由度体系在地震作用下单自由度体系在地震作用下 的运动方程的运动方程：地面（基础）的水平位移：地面（基础）的水平位移：质点对地面的的相对位移：质点对地面的的相对位移质点位移：质点位移：质点加速度：质点加速度：83.2.2单自由度体系在地震作用下单自由度体系在地震作用下 的运动方程的运动方程取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用在质点取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用在质点上的力：上的力：惯性力：惯性力：弹性恢复力：弹性恢复力：阻尼力（粘滞阻尼理论）：阻尼力（粘滞阻尼理论）：运动方程：运动方程：93.
7、2.2单自由度体系在地震作用下单自由度体系在地震作用下 的运动方程的运动方程将方程：将方程：化简，方程左右两边同化简，方程左右两边同除以除以m，得：得：式中：式中：无阻尼自振圆频率，简称自振频率无阻尼自振圆频率，简称自振频率：阻尼系数：阻尼系数C与临界阻尼系数与临界阻尼系数Cr 的比值，简称阻尼比的比值，简称阻尼比103.2.3运动方程的解运动方程的解单自由度弹性体系在地震作用下的运动方程：单自由度弹性体系在地震作用下的运动方程：是一常系数二阶非齐次微分方程是一常系数二阶非齐次微分方程其通解由两部分组成：其通解由两部分组成：1：齐次解，：齐次解，代表自由振动代表自由振动2：特解，：特解，代表强
8、迫振动代表强迫振动113.2.3运动方程的解运动方程的解l1：齐次方程的解：齐次方程的解l单质点弹性体系自由振动方程：单质点弹性体系自由振动方程：对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：式中：式中：为为t0时体系的初始位移时体系的初始位移为为t0时体系的初始速度时体系的初始速度123.2.3运动方程的解运动方程的解式中：式中：有阻尼体系的自振频率有阻尼体系的自振频率有阻尼体系的自振频率将随着阻尼系数有阻尼体系的自振频率将随着阻尼系数c的增大而减小，即阻尼越大，自振频率越慢的增大而减小，即阻尼越大，自振频率越慢表示结构不再振动表示结构不再振动133.2.3运动
9、方程的解运动方程的解实际工程中，一般不考虑阻尼影响，取：实际工程中，一般不考虑阻尼影响，取：此时，无阻尼体系的齐次解为：此时，无阻尼体系的齐次解为：建筑抗震设计中，阻尼比建筑抗震设计中，阻尼比一般在一般在0.010.1之间，之间，计算时混凝土结构通常取计算时混凝土结构通常取0.05143.2.3运动方程的解运动方程的解无阻尼自由振动：无阻尼自由振动：振幅始终不变振幅始终不变有阻尼自由振动：有阻尼自由振动：振幅随时间的增加而减小，体系振幅随时间的增加而减小，体系 的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。 153.2.3运动方程的解运动方程的解2、非齐次方程的解、非齐次方程
10、的解运动方程：运动方程：将等号右端将等号右端地面运动加速度地面运动加速度视为随时间变化的视为随时间变化的单位质量的单位质量的“扰力扰力”，即：，即：m冲量法：冲量法：将荷载看成是连将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷将这些位移相加即为动荷载引起的位移。载引起的位移。163.2.3运动方程的解运动方程的解l1）瞬时冲量瞬时冲量的概念的概念l冲量：冲量：一荷载一荷载P作用于单自由度体系，作用时间为作用于单自由度体系，作用时间为t，两者的乘积，两者的乘积Ptl瞬时冲量瞬时冲量：当作用时间很短，为瞬时：当作用时间很
11、短，为瞬时dt时，时，Pdtm m173.2.3运动方程的解运动方程的解瞬时冲量的反应瞬时冲量的反应 动量定律：冲量等于动量的改变量动量定律：冲量等于动量的改变量a.t=0 时时,即在体系静止状态下作用瞬时冲量即在体系静止状态下作用瞬时冲量无阻尼无阻尼183.2.3运动方程的解运动方程的解b.b. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量m荷载荷载P(t)作用下的位移反应作用下的位移反应 冲量法冲量法-杜哈美积分杜哈美积分193.2.3运动方程的解运动方程的解计阻尼：计阻尼：无阻尼：无阻尼：杜哈美积分，即为非齐次方程的特解杜哈美积分，即为非齐次方程的特解 由于体系在地震波作用之前处于静止状态，齐次解为
12、由于体系在地震波作用之前处于静止状态，齐次解为0上式即为处于静止状态的上式即为处于静止状态的单自由度体系地震位移反应单自由度体系地震位移反应计算公式计算公式注意：注意：杜哈美积分只能用于弹性计算杜哈美积分只能用于弹性计算203.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式l运动方程：运动方程：l地震作用下，质点在任一时刻的相对位移与该时刻的瞬时地震作用下，质点在任一时刻的相对位移与该时刻的瞬时 惯性力成正比惯性力成正比通常把通常把惯性力惯性力看作一种反映地震对结构体系影响的看作一种反映地震对结构体系影响的等效力等效力，可以用它的可以用它的最大值最大值来对结构进行抗震验算。来对结构进行抗震验算
13、。阻尼力很小，略去不计：阻尼力很小，略去不计：水平地震作用：水平地震作用：213.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式杜哈美积分，零初始条件下质点相对于地面的杜哈美积分，零初始条件下质点相对于地面的位移位移为：为：质点相对于地面的质点相对于地面的速度速度为：为：223.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式质点的绝对加速度为质点的绝对加速度为233.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式质点相对于地面的质点相对于地面的最大速度最大速度反应为反应为质点相对于地面的质点相对于地面的最大加速度最大加速度反应为反应为质点相对于地面的质点相对于地面的最大位移最大位移为：为：最大
14、反应之间的关系最大反应之间的关系243.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式由此式可知：由此式可知：Sa取决于地面运动加速度、结构自振频率或取决于地面运动加速度、结构自振频率或自振周期，并与阻尼比有关。自振周期，并与阻尼比有关。在在阻尼比、地面运动阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是确定后，最大反应只是结构周期结构周期的函的函数数Sa通过通过反应谱理论反应谱理论确定确定反应谱：反应谱：单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。253.2.4水平地震
15、作用基本公式水平地震作用基本公式Elcentro 1940 （N-S） 地震记录地震波记录地震波记录263.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式相对位移反应谱相对位移反应谱273.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式相对速度反应谱相对速度反应谱283.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式绝对加速度反应谱绝对加速度反应谱293.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式地震加速度反应谱的特点地震加速度反应谱的特点1.1.阻尼比增大，阻尼比增大，反应谱峰值降低反应谱峰值降低2.2.当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，
16、 大于某个值时，快速下降。大于某个值时，快速下降。T T0 0，体系为绝对刚体，体系为绝对刚体，地面运动最大加速度地面运动最大加速度T T很大，质点始终处于静止状态，很大，质点始终处于静止状态，绝对加速度趋于绝对加速度趋于0 0结构的阻尼比和场地条件结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。对反应谱有很大影响。303.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式3 3、不同场地条件对反应谱的影响、不同场地条件对反应谱的影响周期（周期（s)s)岩石岩石坚硬场地坚硬场地厚的无粘性土层厚的无粘性土层软土层软土层场地土质松软，长周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值右移场地土质松软，长周期结构反应较大，
17、加速度谱曲线峰值右移场地土质坚硬，短周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值左移场地土质坚硬，短周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值左移313.2.4水平地震作用基本公式水平地震作用基本公式l4、震级和震中距、震级和震中距 对反应谱的影响对反应谱的影响 烈度相同的条件下烈度相同的条件下 震中距较远时，震中距较远时， 反应谱曲线峰值右移反应谱曲线峰值右移 震中距较近时，震中距较近时， 反应谱曲线峰值左移反应谱曲线峰值左移l地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反 应谱应谱把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧
18、向力。323.2.5地震系数与动力系数地震系数与动力系数结构在地震持续过程中经受的结构在地震持续过程中经受的最大地震作用最大地震作用为为-集中于质点处的重力荷载代表值；集中于质点处的重力荷载代表值；-重力加速度重力加速度-动力系数动力系数-地震系数地震系数-水平地震影响系数水平地震影响系数333.2.5地震系数与动力系数地震系数与动力系数(1)地震系数地震系数-地面运动最大加速度与重力加速度的比值地面运动最大加速度与重力加速度的比值A、反映了地面运动的强弱程度、反映了地面运动的强弱程度B、一般而言，地面加速度越大，地面烈度越高、一般而言，地面加速度越大，地面烈度越高 据据统计统计：烈度每增加一
19、度，：烈度每增加一度，K值大致增加一倍值大致增加一倍343.2.5地震系数与动力系数地震系数与动力系数l(2)动力系数动力系数-单自由度体与系在地震作用下最大反应单自由度体与系在地震作用下最大反应加速度与地面运动加速度的比值加速度与地面运动加速度的比值A、反映了由于动力效应，质点最大绝对加速度比地面最大、反映了由于动力效应，质点最大绝对加速度比地面最大加速度的放大倍数加速度的放大倍数B、对每一个给定的、对每一个给定的地面运动加速度记录地面运动加速度记录和和结构阻尼比结构阻尼比， 动力系数是动力系数是结构自振周期结构自振周期的函数的函数T曲线（曲线（谱曲线）实质就是加速度反应谱曲线谱曲线）实质就
20、是加速度反应谱曲线 353.2.6设计用反应谱设计用反应谱是单质点弹性体系在地震时的最大绝对加速度和重力加速度是单质点弹性体系在地震时的最大绝对加速度和重力加速度的比值的比值规范把规范把与与T的关系作为设计反应谱。的关系作为设计反应谱。 谱的实质亦为加速度反应谱谱的实质亦为加速度反应谱363.2.6设计用反应谱设计用反应谱l谱曲线由四部分组成谱曲线由四部分组成l0T0.1区段，区段，为向上倾斜的直线为向上倾斜的直线l0.1TTg区段，区段，为水平线为水平线lTgT5Tg区段，区段，为下降的曲线为下降的曲线l5TgT6s区段，区段，为下降直线为下降直线373.2.6设计用反应谱设计用反应谱-地震
21、影响系数；地震影响系数；-地震影响系数最大值；地震影响系数最大值；地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度 括号数字分别对应于设计基本加速度括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g0.15g和和0.30g0.30g地区的地震地区的地震影响系数影响系数383.2.6设计用反应谱设计用反应谱-特征周期；特征周期；地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.90
22、 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组第一组 场地类别场地类别-结构周期；结构周期；393.2.6设计用反应谱设计用反应谱-曲线下降段的衰减指数；曲线下降段的衰减指数；-直线下降段的斜率调整系数；直线下降段的斜率调整系数；-阻尼调整系数，小于阻尼调整系数，小于 0.55 0.55时，应取时，应取0.550.55。403.3多质点体系水平地震作用多质点体系水平地震作用l3.3.1多质点体系计算简图多质点体系计算简图413.3多质点体系水平地震作用多质点体系水平地震作用l3.3.2多自由度体系在地震作用下
23、的运动方程多自由度体系在地震作用下的运动方程 作用在质点作用在质点i 上的力上的力惯性力性力： 阻尼力阻尼力： 弹性恢复力性恢复力： 第第r质点点产生生单位速度，其余点速度位速度，其余点速度为零，零， 在在i质点点产生的阻尼力生的阻尼力第第r质点点产生生单位位移，其余位位移，其余质点不点不动，在在i质点上点上产生的生的弹性反力性反力m1m2mimNxixg(t)423.3.2多自由度体系在地震作用下多自由度体系在地震作用下 的运动方程的运动方程根据达朗贝尔原理，得第根据达朗贝尔原理，得第i质点动力平衡方程质点动力平衡方程 推广到推广到n个个质点，得多自由度点，得多自由度弹性体系在地震作用下的运
24、性体系在地震作用下的运动方程：方程：简写成矩阵形式：简写成矩阵形式：433.3.2多自由度体系在地震作用下多自由度体系在地震作用下 的运动方程的运动方程运动方程：运动方程：443.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动（1）自振频率）自振频率以两个自由度体系的以两个自由度体系的无阻尼无阻尼自由振动为例自由振动为例运动方程运动方程设方程的特解为设方程的特解为代入：代入：m m1m m2-振幅方程振幅方程453.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动l振幅方程振幅方程为使振幅方程有非零解，其系数行列式应为零为使振幅方程有非零解，其系数行列式应为零-频率方程频率方程可得频率可
25、得频率的两个正号实根的两个正号实根1第一自振频率（基本自振频率；数值较小者）第一自振频率（基本自振频率；数值较小者）2第二自振频率（数值较大者）第二自振频率（数值较大者）矩阵型式：矩阵型式：463.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动（2）主振型）主振型 将将1、2代入振幅方程，可得质点代入振幅方程，可得质点1和质点和质点2的位移幅值。的位移幅值。A、振幅的比值与时间无关，为一常数，即在体系振动的任、振幅的比值与时间无关，为一常数，即在体系振动的任一时刻，两个质点的位移比始终保持不变一时刻，两个质点的位移比始终保持不变B、对应于某一个自振频率就有一个振幅比，振动时振动形、对应于某
26、一个自振频率就有一个振幅比，振动时振动形状保持不变，只改变振动的大小和方向，这种振动形式称为状保持不变，只改变振动的大小和方向，这种振动形式称为主振型，简称振型主振型，简称振型473.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动C、 一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个主振型就有多少个主振型D、在一般初始条件下，体系的振动曲线将包含全部振、在一般初始条件下，体系的振动曲线将包含全部振型，任一质点的振动可视作由各主振型的简谐振动叠型，任一质点的振动可视作由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。加而成的复合振动。E、因主振型只取决
27、于质点位移之间的相对值，为对不、因主振型只取决于质点位移之间的相对值，为对不同频率的振型进行形状上的对比同频率的振型进行形状上的对比 特定坐标规格化：特定坐标规格化：将其中某一个质点的位移值定为将其中某一个质点的位移值定为1，其他元素按比例确定。，其他元素按比例确定。483.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动（3）主振型的正交性）主振型的正交性结构振动过程中，结构振动过程中，任一时刻的位移任一时刻的位移等于惯性力所产等于惯性力所产生的静力位移生的静力位移主振型的变形曲线，主振型的变形曲线，可视为体系按某一可视为体系按某一频率振动时，其上频率振动时，其上相应质点的惯性力相应质点的
28、惯性力引起的静力变形曲线引起的静力变形曲线493.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动503.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动l根据功的互等定理根据功的互等定理：整理：整理：-振型的正交性振型的正交性513.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动l对于两个以上的多自由度体系，任意两个振型对于两个以上的多自由度体系，任意两个振型J和和k之间也具有上述正交性：之间也具有上述正交性：表示为矩阵型式：表示为矩阵型式：式中：式中：多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性523.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系
29、的自由振动l物理意义：物理意义：a、某一振型在振动过程中所引起的惯性力在其他、某一振型在振动过程中所引起的惯性力在其他振型上所做的功为零振型上所做的功为零b、某一振型的动能不会转移到其他振型上去、某一振型的动能不会转移到其他振型上去C、体系按某一振型作自由振动不会激起该体系其、体系按某一振型作自由振动不会激起该体系其他振型的振动他振型的振动533.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动l由振幅方程：由振幅方程：可知：可知：对第对第k个振型：个振型：多自由度体系任意两个多自由度体系任意两个振型振型对对刚度矩阵刚度矩阵也有也有正交性正交性体系按某一振型振动时，它的体系按某一振型振动时，
30、它的位能位能不会转移到其他振型上去不会转移到其他振型上去543.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动3.3.4振型分解法振型分解法多自由度体系在地震作用下的运动方程：多自由度体系在地震作用下的运动方程：1：振型矩阵：振型矩阵 对对n个自由度的振型体系，可求得个自由度的振型体系，可求得n个主振型向量，个主振型向量，将这些振型向量从左向右依次排列可成一个将这些振型向量从左向右依次排列可成一个n阶方阵，阶方阵，方阵中每列的主振型向量是彼此正交的方阵中每列的主振型向量是彼此正交的-振型矩阵振型矩阵553.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动将振型矩阵转置，可得：将振型矩阵转
31、置，可得：将振型矩阵与质量矩阵两边相乘，得将振型矩阵与质量矩阵两边相乘，得563.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动Mj为第为第j振型的广义质量振型的广义质量573.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动l同理：Kj为第为第j振型的广义刚度振型的广义刚度振型矩阵的特点：与质量矩阵和刚度矩阵两边相乘后，振型矩阵的特点：与质量矩阵和刚度矩阵两边相乘后， 可化为对角阵可化为对角阵583.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动（2）振型分解）振型分解 地震作用下任一时刻各质点的位移向量可表地震作用下任一时刻各质点的位移向量可表示为各主振型向量的线性组合示为各主振
32、型向量的线性组合593.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动写成矩阵形式：写成矩阵形式：第第i质点任一时刻的位移为：质点任一时刻的位移为：（3）阻尼矩阵）阻尼矩阵假定阻尼矩阵为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，取：假定阻尼矩阵为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，取：603.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动（4）方程解藕）方程解藕将将代入运动方程：代入运动方程：可得：可得：613.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动将上式展开便得以将上式展开便得以qi为未知量的为未知量的n个独立方程个独立方程以广义质量以广义质量Mj除各项，得：除各项，得：623.3.3多自
33、由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动令：令：振型参与系数振型参与系数633.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动（5）方程的解）方程的解单自由度体系运动方程：单自由度体系运动方程：解：解：或表达为：或表达为：J振型的振子振型的振子第第i质点的位移质点的位移：643.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动（6）振型参与系数）振型参与系数jj:体系在地震反应中第体系在地震反应中第j振型的振型参与系数振型的振型参与系数 可看作是多质点体系各质点均发生单位位移时可看作是多质点体系各质点均发生单位位移时的广义坐标的广义坐标qj值值 设一多自由度体系，各质点均发生单位位移，设
34、一多自由度体系，各质点均发生单位位移，位移向量为单位位移位移向量为单位位移1,任一位移向量均可以表任一位移向量均可以表示成各主振型的线型组合示成各主振型的线型组合 对对i质点：质点：对整个体系：对整个体系：653.3.3多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动由于主振型正交性：由于主振型正交性：663.3.5计算多质点体系水平地震作用计算多质点体系水平地震作用 的振型分解反应谱法的振型分解反应谱法（1）第）第i质点水平地震作用基本公式质点水平地震作用基本公式多自由度弹性体系在地震时质点所受到的惯性力多自由度弹性体系在地震时质点所受到的惯性力就是质点的地震作用。第就是质点的地震作用。第i质点
35、上的地震作用为：质点上的地震作用为：因：因：673.3.5计算多质点体系水平地震作用计算多质点体系水平地震作用 的振型分解反应谱法的振型分解反应谱法（2）振型最大地震作用）振型最大地震作用j振型振型i质点上的地震作用绝对最大值为：质点上的地震作用绝对最大值为：683.3.5计算多质点体系水平地震作用计算多质点体系水平地震作用 的振型分解反应谱法的振型分解反应谱法（3）地震作用效应）地震作用效应-振型组合振型组合“平方和开方平方和开方”的方法的方法R 一般，各个振型在地震总反应中的贡献随其频率的增加一般，各个振型在地震总反应中的贡献随其频率的增加而迅速减少，频率最低的几个振型控制着结构的最大地震
36、而迅速减少，频率最低的几个振型控制着结构的最大地震反应。实际计算中，一般采用前反应。实际计算中，一般采用前23个振型即可。个振型即可。693.3.6计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力法l底部剪力法适用条件：底部剪力法适用条件：1、高度不超过、高度不超过40m2、剪切变形为主、剪切变形为主3、质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构、质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构计算假定：计算假定：1、地震作用下的振动以基本振型为主、地震作用下的振动以基本振型为主2、基本振型近似为一条斜直线、基本振型近似为一条斜直线703.3.6计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力法（1）结
37、构底部剪力）结构底部剪力j振型振型i质点水平地震作用为：质点水平地震作用为：j振型结构底部剪力振型结构底部剪力:GG结结构的总重力荷载代表值构的总重力荷载代表值Gi质点质点i i的重力荷载代表值的重力荷载代表值713.3.6计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力法l结构总的底部剪力振型组合结构总的底部剪力振型组合C-等效总重力荷载换算系数等效总重力荷载换算系数 Geq结构等效总重力荷载代表值，结构等效总重力荷载代表值，0.85G0.85G-相应于结构基本周期的水平地震影响系数相应于结构基本周期的水平地震影响系数723.3.6计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力
38、法（2）质点的地震作用）质点的地震作用H1G1GkHk733.3.6计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力法适用于基本周期适用于基本周期: T11.4Tg当当T11.4Tg时，需考虑高振型的影响，时，需考虑高振型的影响，否则计算所得的结构顶部地震作用偏小否则计算所得的结构顶部地震作用偏小743.3.6计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力法（3）顶部附加地震作用）顶部附加地震作用顶部附加地震作用系数顶部附加地震作用系数753.3.6计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力法结构顶部的水平地震作用为结构顶部的水平地震作用为FnFn763.3.6计算水平地震作用的底部剪力法计算水平地震作用的底部剪力法（4）突出屋面地震作用放大）突出屋面地震作用放大震害表明：震害表明：地震作用下突出建筑物屋面的附属小建筑地震作用下突出建筑物屋面的附属小建筑物，破坏严重物，破坏严重原因：原因：由于小建筑物重量和刚度的突变，高振型的影响，由于小建筑物重量和刚度的突变，高振型的影响，地震反应会加大地震反应会加大, 鞭端效应鞭端效应处理措施：处理措施：应对计算出的突出屋面小建筑物的地震作应对计算出的突出屋面小建筑物的地震作用效应乘以放大系数用效应乘以放大系数3，但此放大作用不往下传，但此放大作用不往下传77作业作业78
