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1、一、一、 判断题判断题 共共10小题，小题，10分分二、二、 填空题填空题 共共 5 小题，小题，10分分三、三、 选择题选择题 共共10小题，小题，10分分四、四、 计算题计算题 共共 4 小题，小题，40分分五、案例分析题五、案例分析题 共共 2小题，小题， 30分分考试题型考试题型 数学建模是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息数学建模是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据）加以翻译、归纳的产物。（现象、数据）加以翻译、归纳的产物。 数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预测、决策或控制，在经过翻译和
2、解释，回到现实世界中。最后，测、决策或控制，在经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必须经受实际的检验，完成实践这些推论或结果必须经受实际的检验，完成实践理论理论实实践这一循环（如图践这一循环（如图1-11-1）。）。 如果检验的结果是正确或基本正确的，即可用来指导实际，如果检验的结果是正确或基本正确的，即可用来指导实际，否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型。否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型。案例题案例题-数学建模数学建模 实际问题实际问题 简化、假设简化、假设 建立模型建立模型 模型应用模型应用 验证分析验证分析 模型求解模型求解（1 1）根据现实对象的
3、背景和要求进行）根据现实对象的背景和要求进行问题分析问题分析；（2 2）根据问题的要求和建立数学模型的目的作出）根据问题的要求和建立数学模型的目的作出合理的简化假设合理的简化假设；（3 3）根据问题分析与假设，利用相应的物理的或其他的有关规律）根据问题分析与假设，利用相应的物理的或其他的有关规律建立起现实对象的数学表达式建立起现实对象的数学表达式建立数学模型建立数学模型； 数学模型的数学模型的分类方法分类方法有多种，下面介绍常用的几种分类。有多种，下面介绍常用的几种分类。 （1 1）按照建模所用的数学方法的不同，可分为：）按照建模所用的数学方法的不同，可分为： 初等数学模型、人口模型、初等数学
4、模型、人口模型、运筹学模型运筹学模型、微分方程模型、概、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等率统计模型、控制论模型等 作为一种数学思考方法，数学模型是对现实的对象通过心智活作为一种数学思考方法，数学模型是对现实的对象通过心智活动构造出的一种能抓住其重要且有用的（常常是形象化的或者是动构造出的一种能抓住其重要且有用的（常常是形象化的或者是符号的）表示。符号的）表示。 更具体的，它是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特更具体的，它是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，动用适当的数学工具得到的定目的，做出一些必要的简化和假设，动用适当的数学工具得到的一个
5、数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。（2 2）按照数学模型应用领域的不同，可分为：）按照数学模型应用领域的不同，可分为： 人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、理模型、生态模型、企业管理模型企业管理模型等。等。（3 3）按照人们对建模机理的了解程度的不同，可分为：）按照人们对建模机理的了解程度的不同，可分为：
6、白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。（4 4）按照模型的表现特性可分为：）按照模型的表现特性可分为： 确定性确定性与不确定性模型与不确定性模型，不确定模型包括随机性与模糊性模型；，不确定模型包括随机性与模糊性模型； 静态模型静态模型与动态模型；离散模型与连续模型；与动态模型；离散模型与连续模型； 线性模型线性模型与非线性模型。与非线性模型。 类比法类比法量纲分析法量纲分析法差分法差分法变分法变分法图论法图论法层次分析法层次分析法数据拟合法数据拟合法回归分析法回归分析法数学规划数学规划（线性规划，非线性规划，整数规线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划划，动态
7、规划，目标规划）数学建模常用的方法数学建模常用的方法机理分机理分析法析法排队方法排队方法对策方法对策方法决策方法决策方法模糊评判方法模糊评判方法时间序列方法时间序列方法灰色理论方法灰色理论方法现代优化算法现代优化算法 （禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络传算法，神经网络）数学模型分类数学模型分类优化模型优化模型微分方程模型微分方程模型统计模型统计模型概率模型概率模型图论模型图论模型决策模型决策模型优化模型分类优化模型分类线性规划模型线性规划模型（目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题）目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题）整数规划整数规划（决策变
8、量是整数值的规划问题决策变量是整数值的规划问题）目标规划目标规划（具有不同优先级的目标和偏差的规划问题具有不同优先级的目标和偏差的规划问题）动态规划（动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方法求解多阶段决策问题的最优化方法）非线性规划模型（非线性规划模型（目标函数或者约束条件是非线性的函数）目标函数或者约束条件是非线性的函数） 线性规划模型的结构线性规划模型的结构决策变量决策变量决策问题待定的量值决策问题待定的量值取值要求非负取值要求非负约束条件约束条件任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解把各种限制条件表示为一组等式或不等式称约束条件把各种限制条件
9、表示为一组等式或不等式称约束条件约束条件是决策方案可行的保障约束条件是决策方案可行的保障约束条件是决策变量的线性函数约束条件是决策变量的线性函数目标函数目标函数衡量决策优劣的准则，衡量决策优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低如时间最省、利润最大、成本最低目标函数是决策变量的线性函数目标函数是决策变量的线性函数有的目标要实现极大，有的则要求极小有的目标要实现极大，有的则要求极小1、 线性规划线性规划 -例题例题1、23、 整数规划整数规划 -例题例题4、52、 运输问题运输问题-例题例题3整数规划整数规划 -教材教材8.3节节线性规划线性规划 -教材第四章教材第四章4、 目标规划目标规划
10、-作业作业1 线性规划线性规划 -例题例题1 某部门现有资金某部门现有资金200200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目项目A A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%110%； 项目项目B B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%125%，但规定每年最，但规定每年最 大投资额不能超过大投资额不能超过3030万元；万元； 项目项目C C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利：需在第三年年
11、初投资，第五年末能收回本利140%140%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过 80 80万元；万元； 项目项目D D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%155%，但规定最大投资额不能超过，但规定最大投资额不能超过 100 100万元。万元。 据测定每万元每次投资的风险指数如右表：据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：问：a a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五
12、年年末拥有资金的本利在）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330330万元的万元的 基础上使得其投资总的风险系数为最小？基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 解：解： 1 1）确定决策变量：连续投资问题）确定决策变量：连续投资问题 设设x xijij ( i= 1 ( i= 15 5，j= 1j= 14)4)表示第表示第i i年初投资于年初投资于A(j=1)A(j=1)、B(j=2)B(j=2)、C(j=3)C(j=3)、D(j=4)D(j=4)项目的金额。项目的金额。 这样我们建立如下的决策变量：这样我们建立如下的决策变量： A xA x11 11 x x21 2
13、1 x x3131 x x4141 x x5151 B x B x12 12 x x22 22 x x3232 x x4242 C C x x3333 D D x x2424 项目 年份 1 2 3 4 5 1 线性规划线性规划 -例题例题12 2）约束条件：）约束条件：第一年：第一年：A A当年末可收回投资，当年末可收回投资，B B可投资，故第一年年初应把全部资金投出去，故可投资，故第一年年初应把全部资金投出去，故x x1111+ + x x12 12 = 200= 200第二年：第二年：B B次年末才可收回投资，第二年年初有资金次年末才可收回投资，第二年年初有资金1.11.1x x1111
14、，于是，于是x x21 21 + + x x2222+ + x x2424 = 1.1 = 1.1x x1111；第三年：年初有资金第三年：年初有资金 1.11.1x x2121+ 1.25+ 1.25x x1212，于是，于是 x x31 31 + + x x3232+ + x x3333 = 1.1 = 1.1x x2121+ 1.25+ 1.25x x1212；第四年：年初有资金第四年：年初有资金 1.11.1x x3131+ 1.25+ 1.25x x2222，于是，于是 x x41 41 + + x x4242 = 1.1 = 1.1x x3131+ 1.25+ 1.25x x222
15、2；第五年：年初有资金第五年：年初有资金 1.11.1x x4141+ 1.25+ 1.25x x3232，于是，于是 x x51 51 = 1.1= 1.1x x4141+ 1.25+ 1.25x x3232； B B、C C、D D的投资限制：的投资限制： x xi2 i2 30 ( i =1 30 ( i =1、2 2、3 3、4 )4 )，x x3333 80 80，x x2424 100 100 3 3）目标函数及模型：）目标函数及模型：a) Max z = 1.1a) Max z = 1.1x x5151+ 1.25+ 1.25x x4242+ 1.4+ 1.4x x33 33 +
16、 1.55+ 1.55x x24 24 s.t. s.t. x x1111+ + x x12 12 = 200= 200 x x21 21 + + x x2222+ + x x2424 = 1.1 = 1.1x x1111； x x31 31 + + x x3232+ + x x3333 = 1.1 = 1.1x x2121+ 1.25+ 1.25x x1212； x x41 41 + + x x4242 = 1.1 = 1.1x x3131+ 1.25+ 1.25x x2222； x x51 51 = 1.1= 1.1x x4141+ 1.25+ 1.25x x3232； x xi2 i2
17、30 ( i =1 30 ( i =1、2 2、3 3、4 )4 )，x x3333 80 80，x x2424 100 100 x xijij 0 ( i = 1 0 ( i = 1、2 2、3 3、4 4、5 5；j = 1j = 1、2 2、3 3、4 4）1 线性规划线性规划 -例题例题1b b) )所设变量与问题所设变量与问题a a相同，目标函数为风险最小，有相同，目标函数为风险最小，有 Min f =Min f =x x1111+ +x x2121+ +x x3131+ +x x4141+ +x x5151+3(+3(x x1212+ +x x2222+ +x x3232+ +x
18、x4242)+4)+4x x3333+5.5+5.5x x24 24 在问题在问题a a的约束条件中加上的约束条件中加上“第五年末拥有资金本利在第五年末拥有资金本利在330330万元万元”条件，模型如下：条件，模型如下：Min f = (Min f = (x x1111+ +x x2121+ +x x3131+ +x x4141+ +x x5151)+3()+3(x x1212+ +x x2222+ +x x3232+ +x x4242)+4)+4x x3333+5.5+5.5x x24 24 s.t. s.t. x x1111+ + x x12 12 = 200= 200 x x21 21
19、+ + x x2222+ + x x2424 = 1.1 = 1.1x x1111； x x31 31 + + x x3232+ + x x3333 = 1.1 = 1.1x x2121+ 1.25+ 1.25x x1212； x x41 41 + + x x4242 = 1.1 = 1.1x x3131+ 1.25+ 1.25x x2222； x x51 51 = 1.1= 1.1x x4141+ 1.25+ 1.25x x3232； x xi2 i2 30 ( i =1 30 ( i =1、2 2、3 3、4 )4 )，x x3333 80 80，x x2424 100 100 1.1 1
20、.1x x51 51 + 1.25+ 1.25x x4242+ 1.4+ 1.4x x3333+ 1.55+ 1.55x x2424 330 330 x xijij 0 ( i = 1 0 ( i = 1、2 2、3 3、4 4、5 5；j = 1j = 1、2 2、3 3、4 4）1 线性规划线性规划 -例题例题11 线性规划线性规划 -例题例题2某部门现有资金某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目供选择：万元，五年内有以下投资项目供选择： 项目项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%； 项目项目B：第三年初投资，
21、第五年末收回本金且获利：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投，最大投资额为资额为4万元；万元； 项目项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投，最大投资额为资额为3万元；万元； 项目项目D：每年初投资，年末收回本金且获利：每年初投资，年末收回本金且获利6%。问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大。问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大。问题的目标函数是第五年末的本息总额，问题的目标函数是第五年末的本息总额， 决策变量是每年初各个项目的投资额，决策变量是每年初各个项目的投资额， 约束条件是每年初拥有的资金。约束条件是每年初拥
22、有的资金。 用用表示第表示第年初（年初（）项目）项目代表代表A,B,C,D)的投资额，的投资额， 根据所给条件只有下表根据所给条件只有下表1列出的列出的才是需要求解的。才是需要求解的。 项目 年份 1 2 3 4 5 A B C D 1 线性规划线性规划 -例题例题2分别分别 因为项目因为项目D 每年初可以投资，且年末能收回本息，所以每年初都应把资金全每年初可以投资，且年末能收回本息，所以每年初都应把资金全部投出去，部投出去， 项目项目A, 从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%； 项目项目B，第三年初投资，第五年末收回本金且获利
23、，第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为，最大投资额为4万元；万元； 项目项目C，第二年初投资，第五年末收回本金且获利，第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为，最大投资额为3万元；万元； 项目项目D，每年初投资，每年可收回本金且获利，每年初投资，每年可收回本金且获利6%。由此可得如下的约束条件：由此可得如下的约束条件： 第一年初：第一年初： 第二年初：第二年初： 第三年初第三年初 第四年初：第四年初： 第五年初：第五年初： 项目项目B,C对投资额的限制：对投资额的限制： 1 线性规划线性规划 -例题例题2 每项投资应为非负：每项投资应为非负： 第五年末本息总
24、额为第五年末本息总额为1 线性规划线性规划 -例题例题2由此得投资问题的线性规划模型如下：由此得投资问题的线性规划模型如下：s.t. s.t. 1 线性规划线性规划 -例题例题22321341s2=27s3=19d1=22d2=13d3=12d4=13s1=14供应量供应地运价需求量需求地67538427591062 运输问题运输问题-例例3供应地约束需求地约束运输费用最小的模型为：运输费用最小的模型为：设设 为供应地到需求地的运输量，为供应地到需求地的运输量，013=+12=+13=+22=+19=+27=+14=+6+10+9+5+7+2+4+8+3+5+7+6=min3433323124
25、23222114131211342414332313322212312111343332312423222114131211343332312423222114131211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxs.t.xxxxxxxxxxxxz2 运输问题运输问题-例例33 整数规划整数规划 -例题例题4 一种产品可分别在一种产品可分别在4种设备的任一种上加工，已知每种设种设备的任一种上加工，已知每种设备启用时的准备结束费用，生产上述产品时的单件成本及每备启用时的准备结束费用，生产上述产品时的单件成本及每种设备的最大加工能力如下表所示。种设备的最大加工能力如下
26、表所示。 如需生产该产品如需生产该产品2000件，如何使总的费用最小？件，如何使总的费用最小？3 整数规划整数规划 -例题例题43 整数规划整数规划 -例题例题5 京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有有1010个位置个位置 A Aj j (j(j1 1，2 2，3 3，10)10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：及居民居住密集度，规定： 在东区由在东区由A A1 1 ， A A2 2 ，A A3 3 三个点至多选择两个；三个点至多选择
27、两个； 在西区由在西区由A A4 4 ， A A5 5 两个点中至少选一个；两个点中至少选一个； 在南区由在南区由A A6 6 ， A A7 7 两个点中至少选一个；两个点中至少选一个； 在北区由在北区由A A8 8 ， A A9 9 ， A A1010 三个点中至少选两个。三个点中至少选两个。 A Aj j 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表所示表所示 ( (单位：万元单位：万元) )。但投资总额不能超过。但投资总额不能超过720720万元，问应选择哪几个销售点，万元，问应选择哪几个销售点，可使年
28、利润为最大可使年利润为最大? ?整数规划整数规划 -例题例题5解：解：设：设：0-1变量变量 这样可建立如下的数学模型：这样可建立如下的数学模型：Max z =36Max z =36x x1 1+40+40x x2 2+50+50x x3 3+22+22x x4 4+20+20x x5 5+30+30x x6 6+25+25x x7 7+48+48x x8 8+58+58x x9 9+61+61x x1010 100100x x1 1+120+120x x2 2+150+150x x3 3+80+80x x4 4+70+70x x5 5+90+90x x6 6+80+80x x7 7+140+140x x8 8+160+160x x9 9+180+180x x1010720720 x x1 1 + + x x2 2 + + x x3 3 2 2 x x4 4 + + x x5 5 1 1 x x6 6 + + x x7 7 1 1 x x8 8 + + x x9 9 + + x x1010 2 2 x xi i 0, 0, 且且x xi i 为为0-10-1变量变量，i = 1,2,3,10i = 1,2,3,10s.t.整数规划整数规划 -例题例题整数规划整数规划 -教材教材8.3节节目标规划目标规划 -例题例题6
