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1、-1-1.1数列的概念北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 4 4.3 3简单线性规划的应用简单线性规划的应用解答线性规划应用题的一般步骤:(1)审题仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些,由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来分析;(2)转化设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题;(3)求解解这个纯数学的线性规划问题;(4)作答就应用题提出的问题作出回答. 【做一做1】某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
2、 ,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为()A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元解析:设投资甲为x万元,投资乙为y万元,获得利润为z万元,作出不等式组表示的区域,如图,作直线l0:0.4x+0.6y=0并将l0向上平移到过点A(24,36)时,z取得最大值,即zmax=0.424+0.636=31.2.故选B.答案:B名师点拨在线性规划问题的实际应用中,题中的条件往往较多,解决问题时要注意以下几点:(1)明确问题中的所有约束条件(不等
3、式或方程),并注意根据题中条件判断线性约束条件中能否取到等号;(2)注意结合实际问题的意义,判断所设未知数x,y的取值范围,如x,y为正整数、非负数等;(3)正确写出目标函数,注意目标函数为等式.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)设x,y满足 则z=x+y有最大值,无最小值. ()(2)某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1千克,b1千克,生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2千克、b2千克.甲、乙产品每千克可获得利润分别为d1元、d2元.月初一次性购进本月用原料A,B各c1千克、c2千克.要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使
4、月利润总额达到最大.在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克,月利润总额为z元,则用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中,约束条件可写为()答案:(1)(2)探究一探究二探究三思维辨析【例1】某公司计划2018年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?分析:先设出分配给两个电视台的广告时间,
5、再根据限制条件列出约束条件,建立目标函数求解.探究一探究二探究三思维辨析解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元.探究一探究二探究三思维辨析即点M的坐标为(100,200).所以zmax=3 000100+2 000200=700 000.答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.反思感悟求解线性规划应用题的关键是建立相应的数学模型,建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤:(1)明确问题中有待确定的未知量,并用数学符号表示;(2)明确问题中所有的限制条件(约束条件),并用线性方程或线性不等式表示;
6、(3)明确问题的目标,并用线性函数(目标函数)表示,按问题的不同,求其最大值或最小值.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1买4 kg苹果和5 kg梨的费用之和不小于20元,而买6 kg苹果和3 kg梨的费用之和不大于24元,则买3 kg苹果和9 kg梨至少需要()A.22元 B.36元C.24元D.72元答案:A 探究一探究二探究三思维辨析解析:在坐标系中画出可行域,如图中的阴影部分,其中A(3,1),kAB=-1.目标函数z=ax+y(其中a0)中的z表示斜率为-a的直线系中的y轴上的截距的大小.若目标函数仅在点(3,1)处取得最大值,则斜率应小于kAB=-1,即-a-1,所以a的取值范围为
7、(1,+).答案:(1,+)探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.线性规划中的参数问题主要有两种类型:一种是在约束条件中含有参数;另一种是在目标函数中含有参数.求解参数问题时,要结合图形进行分析求解,必要时应对参数的取值进行分类讨论.2.对于本例来说,关键是弄清目标函数中直线斜率与可行域边界直线斜率的关系,需特别注意的是当目标函数与边界直线重合时,有无穷多个最优解,不符合题意.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2 已知实数x,y满足 如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于()A.7B.5C.4D.3答案:B 探究一探究二探究三思维辨析【例3】两种药品有效成分如表:若要求至少提供12
8、 mg阿司匹林,70 mg小苏打,28 mg可卡因,两种药的最小总数是多少?此时怎样搭配价格最低?分析:通过题目中的表格,分清各量之间的关系,找出线性约束条件.特别注意线性约束条件中的x,yN.探究一探究二探究三思维辨析解:设需用A和B两种药品分别为x片和y片,药品总数为z片,价格为L元.线性目标函数为:药品总数z=x+y.价格L=0.1x+0.2y.由不等式组作可行域如图,作直线l0:x+y=0,平移直线l0到l位置,l经过点A时z有最小值.探究一探究二探究三思维辨析 L1=0.11+0.210=2.1, L2=0.12+0.29=2.0, L3=0.13+0.28=1.9,其中的L3最小,
9、 所以Lmin=1.9. 所以药品最小总数为11片,其中3片A种药、8片B种药搭配的价格最低.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.最优整数解问题指的是在有些线性规划问题中,变量x,y要求取整数,因此其最优解也必须为整点,解答这类问题可以先解决一般的线性规划问题(不考虑整数),再在可行域内适当调整确定最优整数解.2.若可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数),则它不是最优整数解,此时必须在可行域内该点的附近调整为整点.常用调整方法有:(1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解;(2)检验优值法:当可行域内整点个数较少时,将整点坐标逐
10、一代入目标函数求值,经比较得出最优解;(3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最后筛选出最优整数解.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示:今需A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少.探究一探究二探究三思维辨析解:设需第一种钢板x张,第二种钢板y张,钢板总数z张,作出可行域如图所示,作出直线x+y=0.作出一组平行直线x+y=t(其中t为参数).探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨
11、析因未能找出最优整数解而致误错解:作出可行域如图.平移直线l0:4x+7y=0,当直线过点时,z最小,但考虑到x,yN,即可行域内离A最近的整数点的坐标是(7,1),所以x=7,y=1时z最小.所以最小值为35.探究一探究二探究三思维辨析正解:作出可行域如图(同错解中的图),平移直线l0:4x+7y=0,当直线经过可行域内的第一个整点B(5,2)时z最小,zmin=45+72=34.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得对于整点最优解问题,其最优解不一定是离非整点最优解最近的整点,而是在可行域内离直线l0最近的整点.找整点最优解可以平移直线看z的变化,也可以把n个相近的整点代入直线来验证.探究一探
12、究二探究三思维辨析变式训练某公司招聘男职员x名,女职员y名,若x和y满足 则z=10x+10y的最大值是()A.80 B.85C.90 D.95解析:先画出满足约束条件的可行域,如图阴影部分所示.但xN,yN,结合图知当x=5,y=4时,zmax=90,选C.答案:C123451.在平面直角坐标系中,若不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()A.-5B.1C.2D.3解析:直线ax-y+1=0恒过定点(0,1),如图,阴影部分即MNP是不等式组表示的平面区域,则M(1,0),N(1,a+1),P(0,1),所以有|MN|=a+1,点P到MN的距离为1,所以MNP的面积为 1(a+1)=2,解得a=3.答案:D12345答案:B 12345答案:7 12345解析:如图得可行域为一个三角形,其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),作直线x+y=0,平移直线至过点(3,3)时,z取最大值,最大值是3+3=6.答案:612345答案:3
