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1、第二节第二节 求导法则求导法则本节要点本节要点 本节从函数导数的定义出发本节从函数导数的定义出发, 讨论各类函数的求导方讨论各类函数的求导方一、函数的四则运算的求导法则一、函数的四则运算的求导法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则法法, 主要内容有主要内容有:一、函数的线性组合、积、商的求导法则一、函数的线性组合、积、商的求导法则 设函数设函数 在点在点 处可导处可导, 考虑这两个函数的考虑这两个函数的1.设设 , 则则 可导可导, 且有且有线性组合、积、商在点线性组合、积、商在点 处的导数处的导数.事实上事实上, 2.设函数设函数 , 则则
2、可导可导, 且有且有3.设设 , 则则 可导可导, 且且解解 例例1 求求 的导数的导数.解解 例例2 求求 的导数的导数.同理有同理有二、反函数的导数二、反函数的导数 设函数设函数 在区间在区间 内单调、连续内单调、连续, 则其反函则其反函内单调内单调, 连续连续: 若设若设 在区间在区间 内可导内可导, 且且 今来讨论今来讨论 的可导性的可导性. 给给 以增量以增量 由由 的单的单数数 在对应的区间在对应的区间调性知调性知 变形得到变形得到又由函数的连续性又由函数的连续性, 当当 时必有时必有 从而从而有有由此说明了函数由此说明了函数 在在 处可导处可导, 且有且有简单地说简单地说, 反函
3、数的导数等于直接函数的导数的倒数反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.例例3 求反正弦函数求反正弦函数 的导数的导数.解解 是是 的反函数的反函数.注意到在区间注意到在区间 内内, 从而有从而有所以所以. 在区间在区间 内点点可导内点点可导, 且有且有而而 在区间在区间 内单调、可导内单调、可导, 并且并且 例例4 求反正切函数求反正切函数 的导数的导数.解解 函数函数 是是 在在 区间内的反函数区间内的反函数, 在区间内单调、可导在区间内单调、可导, 且且所以所以 在在 内每一点可导内每一点可导, 且有且有:有有注意到：注意到： 从而有从而有同理可得其它几个反三角函数的导数公式同理可得其它几
4、个反三角函数的导数公式:例例5 求对数函数求对数函数 的导数的导数.解解 是是 的反的反注意到注意到, 从而有从而有特别地特别地, 当当 时时, 有有函数函数, 且直接函数在定义域内单调、可导且直接函数在定义域内单调、可导, 且且三、复合函数的导数三、复合函数的导数 在众多的函数中在众多的函数中, 我们遇见的更多的是复合函数我们遇见的更多的是复合函数. 例例如函数如函数 , 这是一个极为简单的函数这是一个极为简单的函数, 但我们但我们要求它的导数就没那么简单要求它的导数就没那么简单. 事实上事实上, 由导数的乘积由导数的乘积公公式式, 得得 对一个如此简单的函数对一个如此简单的函数, 求其导数
5、都那么困难求其导数都那么困难, 这就这就提示我们有必要讨论复合函数的求导法则提示我们有必要讨论复合函数的求导法则. 利用相应的利用相应的法则来简化某些复杂函数的导数计算法则来简化某些复杂函数的导数计算.复合函数求导法则复合函数求导法则 如果函数如果函数 在点在点 可导可导,证证 设自变量设自变量 在在 处有增量处有增量 , 则函数则函数而函数而函数 在在 处可导处可导, 则复合函数则复合函数 在在 处可导处可导, 并且有关系并且有关系有增量有增量 相应地相应地, 函数函数有增量有增量 当当 时时, 有有由函数由函数 的可导性的可导性, 得函数在得函数在 是连续的是连续的, 因因又又此当此当 时
6、时, 有有 由此得由此得由此得到由此得到:注注 此定理的证明是在条件此定理的证明是在条件 下取得的下取得的, 而当增而当增量为零时（这是可能出现的）量为零时（这是可能出现的）, 上式不成立上式不成立. 关于该公关于该公式的进一步证明式的进一步证明, 有兴趣的读者可以继续查看有兴趣的读者可以继续查看（单击此处）（单击此处）此公式可以作进一步的推广此公式可以作进一步的推广: 若若均为可导函数均为可导函数, 则相应的复合函数则相应的复合函数的导数为的导数为例例6 求函数求函数 的导数的导数.解解 可以看成由可以看成由 复合复合而成而成, 故此由复合函数的求导公式故此由复合函数的求导公式, 得得例例7
7、 求函数求函数 的导数的导数.解解 由由 得得例例8 求函数求函数 的导数的导数.解解 例例9 求求 的导数的导数:解解 由由 则由复合函数的求导则由复合函数的求导公式公式, 得得例例10 求函数求函数 的导数的导数.解解 例例11 求函数求函数解解 的导数的导数.所以所以 上例中的求导方法又称为对数求导法上例中的求导方法又称为对数求导法. 除了应用于幂除了应用于幂指函数外指函数外, 此方法还经常应用于多个函数连乘的情况此方法还经常应用于多个函数连乘的情况.例例12 求函数求函数 的导数的导数.解解 对这一类函数尽管也可以用导数的四则运算来求对这一类函数尽管也可以用导数的四则运算来求得得, 但是相当烦琐的但是相当烦琐的. 用对数求导法可大大简化计算用对数求导法可大大简化计算.
