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1、2008年12月5日1第第3 3节节 两种基本两种基本(jbn)(jbn)积分法积分法3.1 3.1 换元积分法换元积分法3.2 3.2 分部积分法分部积分法3.3 3.3 初等初等(chdng)(chdng)函数的函数的积分法积分法第1页/共81页第一页，共82页。2008年12月5日2换元法则换元法则(fz)(II）换元法则换元法则(fz)(I)基本思路基本思路设设可导可导,则有则有3.1 3.1 换元积分法换元积分法第2页/共81页第二页，共82页。1.换元法则换元法则(fz)(I)-第一类换第一类换元法元法定理定理(dngl)3.1 则有换元公式(gngsh)(也称也称配元法配元法即即
2、, 凑微分法凑微分法)说明说明使用此公式的关键在于将化为第3页/共81页第三页，共82页。2008年12月5日4第一类换元法解决第一类换元法解决(jiju)的问题的问题难求难求易求易求第4页/共81页第四页，共82页。2008年12月5日5例例1求求解解: 令则故原式原式 =注注 当当时第5页/共81页第五页，共82页。2008年12月5日6解解 原式原式 =第6页/共81页第六页，共82页。2008年12月5日7例例2求求解解:令则想到想到(xin do)公式公式第7页/共81页第七页，共82页。2008年12月5日8解第8页/共81页第八页，共82页。2008年12月5日9例例3求求想到(
3、xin do)解解:(直接直接(zhji)配元配元)第9页/共81页第九页，共82页。2008年12月5日10以下是最基本(jbn)且经常会遇到的结果:第10页/共81页第十页，共82页。2008年12月5日11例例4 4 求解解（一）解解（二）解解（三）观察(gunch)重点不同，所得结论不同.第11页/共81页第十一页，共82页。2008年12月5日12例例5求求解解类似类似(li s)第12页/共81页第十二页，共82页。2008年12月5日13常用常用(chnyn)的几种配元形式的几种配元形式:万万能能(wnnng)凑凑幂幂法法第13页/共81页第十三页，共82页。2008年12月5日
4、14例例6.求求解解: 原式 =第14页/共81页第十四页，共82页。2008年12月5日15例例6.求求解解: 原式 =例例7. 求解解: 原式 =第15页/共81页第十五页，共82页。2008年12月5日16例例8.求求解法解法(ji f)1解法解法(ji f)2 两法结果两法结果(ji gu)一样一样第16页/共81页第十六页，共82页。2008年12月5日17例例9 求求解法解法(ji f)1 解法解法(ji(jif)2f)2同样同样(tngyng)可证可证(P196 例例 )第17页/共81页第十七页，共82页。2008年12月5日18原式提示(tsh):第18页/共81页第十八页，
5、共82页。2008年12月5日192. 换元法则换元法则(fz)(II)-第二类换元法第二类换元法第一类换元法解决第一类换元法解决(jiju)的问题的问题难求难求易求易求若所求积分若所求积分(jfn)易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法 .难求，难求，第19页/共81页第十九页，共82页。定理定理(dngl)3.2 设设 是单调是单调(dndio)可导可导函数函数 , 且且具有具有(jyu)原函数原函数 ,证证:令令则则则有换元公式则有换元公式第20页/共81页第二十页，共82页。2008年12月5日21例例10 求求解解: 令令则则 原式原式第21页/共81页第二十一页，共82
6、页。2008年12月5日22例例11 求求解解: 令令则则 原式原式第22页/共81页第二十二页，共82页。2008年12月5日23例例12. 求求解解:令令则则 原式原式第23页/共81页第二十三页，共82页。2008年12月5日24令令于是于是(ysh)第24页/共81页第二十四页，共82页。2008年12月5日25说明说明(shumn(shumng)(1)g)(1)以上几例所使用(shyng)的均为三角代换.三角(snjio)代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令第25页/共81页第二十五页，共82页。2008年12月5日26说明说明(shumng(shumng
7、)(2)(2)被积函数被积函数(hnsh)含有含有时时, 除采用除采用(ciyng)采用双曲代换采用双曲代换消去根式消去根式 ,所得结果一致所得结果一致 . 或或或或三角代换外三角代换外, 还可利用公式还可利用公式第26页/共81页第二十六页，共82页。2008年12月5日27说明说明(shumng(shumng)(3)(3)当分母的阶较高时, 可采用(ciyng)倒代换例例1313 求令解解第27页/共81页第二十七页，共82页。2008年12月5日28例例1414 求解解令（分母(fnm)的阶较高）第28页/共81页第二十八页，共82页。2008年12月5日29第29页/共81页第二十九页
8、，共82页。2008年12月5日30说明说明(shumng(shumng)(4)(4)当被积函数含有两种或两种以上(yshng)的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例例1515 求解解令第30页/共81页第三十页，共82页。2008年12月5日31两类积分换元法：（一）凑微分(wi fn)（二）三角代换(di hun)、倒代换(di hun)、根式代换(di hun)小结小结(xioj(xioji):i):第31页/共81页第三十一页，共82页。 说明：说明： 1. 第二类换元法常见第二类换元法常见(chn jin)类型类型: 令令令令令令或或令令或或令令或或(7) 分母分
9、母(fnm)中因子次数较高时中因子次数较高时, 可试用倒可试用倒代换代换 第32页/共81页第三十二页，共82页。2008年12月5日33（8 8）万能）万能(wnnng)(wnnng)代换代换令（万能（万能(wnnng)代代换公式）换公式） 使用范围使用范围： 由三角函数和常数经过有限由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为次四则运算构成的函数一般记为如，第33页/共81页第三十三页，共82页。2008年12月5日34例例16 16 求积分求积分(jfn)(jfn)解解由万能(wnnng)代换公式第34页/共81页第三十四页，共82页。2008年12月5日35第35页/共81页第
10、三十五页，共82页。2008年12月5日362. 常用基本常用基本(jbn)积分公式的补充积分公式的补充第36页/共81页第三十六页，共82页。2008年12月5日37第37页/共81页第三十七页，共82页。2008年12月5日38思考思考(sko)(sko)与与练习练习1. 下列各题求积方法下列各题求积方法(fngf)有有何不同何不同?第38页/共81页第三十八页，共82页。2008年12月5日392. 练习(linx)第39页/共81页第三十九页，共82页。2008年12月5日401. 解解: 令令则则原式原式第40页/共81页第四十页，共82页。2008年12月5日412.解解原式原式
11、=前式令前式令; 后式配元后式配元第41页/共81页第四十一页，共82页。2008年12月5日423.2 3.2 分部分部(fn b)(fn b)积分法积分法由导数由导数(do sh)公式公式积分积分(jfn)得得:分部积分公式分部积分公式或或1) v 容易求得容易求得 ;容易计算容易计算 .问题问题第42页/共81页第四十二页，共82页。2008年12月5日43例例1 1 求下列求下列(xili)(xili)不定积分不定积分解（一）解（一）令显然， 选择不当，积分更难进行.解（二）解（二）令解解（再次(zi c)使用分部积分法）降幂降幂(jin m)法法第43页/共81页第四十三页，共82页
12、。2008年12月5日44注意：降幂法适合应用于如下积分注意：降幂法适合应用于如下积分(jfn)类型类型为一n次多项式第44页/共81页第四十四页，共82页。2008年12月5日45例例2 2 求下列求下列(xili)(xili)不定积分不定积分解解令第45页/共81页第四十五页，共82页。2008年12月5日46解解升幂升幂(shn m)法法注意注意(zh y)：升幂法适合应用于如下积分：升幂法适合应用于如下积分类型类型为一n次多项式第46页/共81页第四十六页，共82页。2008年12月5日47例例3 3 求下列求下列(xili)(xili)不不定积分定积分解解循环法循环法第47页/共81
13、页第四十七页，共82页。2008年12月5日48解解第48页/共81页第四十八页，共82页。2008年12月5日49EX EX 求下列求下列(xili)(xili)不不定积分定积分第49页/共81页第四十九页，共82页。2008年12月5日50第50页/共81页第五十页，共82页。2008年12月5日51注意：循环法适合应用注意：循环法适合应用(yngyng)于如下于如下积分类型积分类型第51页/共81页第五十一页，共82页。2008年12月5日52例例4 4 求下列求下列(xili)(xili)不定积分不定积分解解递推法递推法第52页/共81页第五十二页，共82页。2008年12月5日53第
14、53页/共81页第五十三页，共82页。2008年12月5日54解解两边同时对 求导, 得第54页/共81页第五十四页，共82页。2008年12月5日55内容内容(nirng)(nirng)小小结结 分部积分分部积分(jfn)公式公式1. 使用使用(shyng)原则原则 :易求出易求出,易积分易积分2. 使用经验使用经验 :“反对幂指三反对幂指三” , 前前 u 后后3. 题目类型题目类型 :分部化简分部化简 ;循环法循环法;递推法递推法降幂法降幂法; 升幂法升幂法;第55页/共81页第五十五页，共82页。2008年12月5日56第第3 3节节 两种基本两种基本(jbn)(jbn)积分法积分法(
15、 (续）续）3.1(3.1(续）续） 定积分定积分(jfn)(jfn)换元积分换元积分(jfn)(jfn)法法（续）（续） 定积分定积分(jfn)(jfn)分部积分分部积分(jfn)(jfn)法法不定积分不定积分(b dn j fn)换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法第56页/共81页第五十六页，共82页。2008年12月5日57定理定理3.33.3 设函数作代换满足满足: :3)则1)（续）（续） 定积分换元积分法定积分换元积分法第57页/共81页第五十七页，共82页。2008年12月5日58证明证明(zhngmng)第58页/共81
16、页第五十八页，共82页。2008年12月5日59应用换元公式应用换元公式(gngsh)时应注意时应注意:（1）（2）(3) (3) 换元公式(gngsh)(gngsh)也可反过来使用 , , 即或配元配元不换限配元不换限第59页/共81页第五十九页，共82页。2008年12月5日60例例1 1 计算计算(j sun)(j sun)解解换换元元要要换换限限 凑凑元元不不换换限限第60页/共81页第六十页，共82页。2008年12月5日61例例22计算计算(jsun)(jsun)解 令则则 原式原式 =且且第61页/共81页第六十一页，共82页。2008年12月5日62例例3 3 计算计算(j (
17、j sun)sun)解 令令则则 原式原式 =且且 第62页/共81页第六十二页，共82页。2008年12月5日63证证第63页/共81页第六十三页，共82页。2008年12月5日64第64页/共81页第六十四页，共82页。2008年12月5日65证证（1）设第65页/共81页第六十五页，共82页。2008年12月5日66（2）设第66页/共81页第六十六页，共82页。2008年12月5日67第67页/共81页第六十七页，共82页。2008年12月5日68例例6 6 若f(x)f(x)是以T T为周期(zhuq)(zhuq)的连续函数，对任意的a a有由此得，第68页/共81页第六十八页，共8
18、2页。2008年12月5日693.2(3.2(续续) ) 定积分定积分(jfn)(jfn)的分部积分的分部积分(jfn)(jfn)法法定理定理(dngl(dngl) ) 则证明证明(zhngmng)第69页/共81页第六十九页，共82页。2008年12月5日70例例1 1 计算计算(j (j sun)sun)解解原式原式 =第70页/共81页第七十页，共82页。2008年12月5日71例例2 2 证明证明(zhngmng)(zhngmng) n 为偶数为偶数(u sh) n 为奇数为奇数(j sh)证证第71页/共81页第七十一页，共82页。2008年12月5日72由此得递推公式由此得递推公式
19、(gngsh)于是于是(ysh)而而故所证结论故所证结论(jiln)成立成立 .第72页/共81页第七十二页，共82页。2008年12月5日73例例3 3 设 求解解第73页/共81页第七十三页，共82页。2008年12月5日74第74页/共81页第七十四页，共82页。2008年12月5日751、计算(j sun)定积分2、设求Ex.第75页/共81页第七十五页，共82页。2008年12月5日761、计算(j sun)定积分解 因为偶函数，为奇函数。原式=2、设求解 令原式=第76页/共81页第七十六页，共82页。2008年12月5日77内容内容(nirng)(nirng)小结小结 基本基本(
20、jbn)积积分法分法换元积分法换元积分法分部分部(fn b)积分法积分法换元换元必必换限换限配元配元不不换限换限边积边代限边积边代限第77页/共81页第七十七页，共82页。2008年12月5日78思考思考(sko)与与练习练习1.提示提示(tsh): 令令则则3.2. 设设第78页/共81页第七十八页，共82页。2008年12月5日792. 设设解法解法(ji f)1解法解法(ji f)2对已知等式对已知等式(dngsh)两两边求导边求导,得得第79页/共81页第七十九页，共82页。2008年12月5日80解解第80页/共81页第八十页，共82页。2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系81感谢您的观看(gunkn)！第81页/共81页第八十一页，共82页。内容(nirng)总结2008年12月5日。3.3 初等函数的积分法。观察重点不同，所得结论不同.。2. 换元法则(II)-第二类换元法。是单调可导函数 , 且。例15 求。（二）三角代换、倒代换、根式代换。(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换。使用范围： 由三角函数和常数经过有限(yuxin)次四则运算构成的函数一般记为。例16 求积分。EX 求下列不定积分。例4 求下列不定积分。两边同时对 求导, 得第八十二页，共82页。
