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1、:1.1.求函数的平均变化率通常分两步求函数的平均变化率通常分两步(1)(1)作差，先求出作差，先求出y=f(x2)-f(x1)y=f(x2)-f(x1)和和x=x2-x1;x=x2-x1;(2)(2)作商，对所求的差作商得作商，对所求的差作商得求平均变化率求平均变化率:2.2.求函数平均变化率的注意点求函数平均变化率的注意点(1)(1)求函数平均变化率时注意求函数平均变化率时注意xx、yy两者都可正、可负，但两者都可正、可负，但xx的值不能为零，的值不能为零，yy的值可以为零的值可以为零. .若函数若函数y=f(x)y=f(x)为常数函为常数函数，则数，则y=0.y=0.(2)(2)求点求点
2、x0x0附近的平均变化率，可用附近的平均变化率，可用 的形式的形式. .: 注意公式中分子与分母形式上的对应关系，以注意公式中分子与分母形式上的对应关系，以防代入数值时出错防代入数值时出错. .:【例【例1 1】已知函数】已知函数f(x)=3x+1f(x)=3x+1，计算，计算f(x)f(x)在在-3-3到到-1-1之间和在之间和在1 1到到1+x1+x之间的平均变化率之间的平均变化率. .【审题指导】由题目条件可求得自变量的改变量【审题指导】由题目条件可求得自变量的改变量xx与函数值与函数值的改变量的改变量y.y.根据平均变化率的定义，代入公式计算即可根据平均变化率的定义，代入公式计算即可.
3、 .:【规范解答】【规范解答】x=-1-(-3)=2,y=f(-1)-f(-3)x=-1-(-3)=2,y=f(-1)-f(-3)= =3(-1)+13(-1)+1- -3(-3)+13(-3)+1=6,=6,即即f(x)f(x)在在-3-3到到-1-1之间的平均变化率为之间的平均变化率为3.3.y=f(1+x)-f(1)y=f(1+x)-f(1)= =3(1+x)+13(1+x)+1-(31+1)=3x,-(31+1)=3x,即即f(x)f(x)在在1 1到到1+x1+x之间的平均变化率为之间的平均变化率为3.3.:(1)(1)函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的函数的平均变化率
4、反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭水平陡峭水平. .(2)(2)函数在某点附近平均变化率的绝对值越大，说明函数在此函数在某点附近平均变化率的绝对值越大，说明函数在此点附近的图象越点附近的图象越“陡峭陡峭”.”.平均变化率的比较平均变化率的比较平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义:【例【例2 2】已知函数】已知函数f(x)=3-x2,f(x)=3-x2,计算当计算当x0=1,2,3, x0=1,2,3, 时时, ,平均平均变化率的值变化率的值, ,并比较函数并比较函数f(x)=3-x2f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化在哪一点附近的平均变化率最大率最大? ?【审题指导】先求【审题指
5、导】先求f(x)f(x)在在x0x0到到x0+xx0+x之间的平均变化率之间的平均变化率, ,再求再求各点附近的平均变化率，最后比较得结论各点附近的平均变化率，最后比较得结论. .:【规范解答】函数【规范解答】函数f(x)=3-x2f(x)=3-x2在在x0x0到到x0+xx0+x之间的平均变化率之间的平均变化率为为当当x0=1, x0=1, 时，平均变化率的值为时，平均变化率的值为当当x0=2, x0=2, 时，平均变化率的值为时，平均变化率的值为当当x0=3x0=3， 时，平均变化率的值为时，平均变化率的值为函数函数f(x)=3-x2f(x)=3-x2在在x0=1x0=1附近的平均变化率最
6、大附近的平均变化率最大. .:(1)(1)平均变化率的物理意义即平均速度平均变化率的物理意义即平均速度. .(2)(2)求平均速度首先要明确自变量与函数值的实际意义，弄清求平均速度首先要明确自变量与函数值的实际意义，弄清函数单调性函数单调性. .利用定义求平均变化率利用定义求平均变化率. .(3)(3)此类问题体现了学科间知识的横向联系，是平均变化率的此类问题体现了学科间知识的横向联系，是平均变化率的实际应用实际应用. .平均变化率的应用平均变化率的应用平均变化率的几点说明：平均变化率的几点说明：:【例【例3 3】已知一物体的运动方程为】已知一物体的运动方程为s(t)=t2+2t+3,s(t)
7、=t2+2t+3,求物体在求物体在t=1t=1到到t=1+tt=1+t这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度. .【审题指导】【审题指导】 :【规范解答】物体在【规范解答】物体在t=1t=1到到t=1+tt=1+t这段时间内的位移增量这段时间内的位移增量s=s(1+t)-s(1)s=s(1+t)-s(1)= =(1+t)2+2(1+t)+3(1+t)2+2(1+t)+3-(12+21+3)-(12+21+3)=(t)2+4t.=(t)2+4t.物体在物体在t=1t=1到到t=1+tt=1+t这段时间内的平均速度为这段时间内的平均速度为:【例】物体的运动方程是【例】物体的运动方程是 (s (s
8、的单位：米；的单位：米；t t的单位：的单位：秒秒) )，求物体在，求物体在t=1t=1秒到秒到t=(1+t)t=(1+t)秒这段时间内的平均速度秒这段时间内的平均速度. .【审题指导】求物体在一段时间内的平均速度就是求位移对【审题指导】求物体在一段时间内的平均速度就是求位移对时间的平均变化率时间的平均变化率. .本题已知函数表达式，代入公式化简即可本题已知函数表达式，代入公式化简即可. .:【规范解答】【规范解答】物体在物体在t=1t=1秒到秒到t=(1+t)t=(1+t)秒这段时间内的平均速度是秒这段时间内的平均速度是:【典例】【典例】(12(12分分) )已知气球的体积为已知气球的体积为
9、V(V(单位：单位：L)L)与半径与半径r(r(单单位：位：dm)dm)之间的函数关系是之间的函数关系是 (1)(1)求半径求半径r r关于体积关于体积V V的函数的函数r(V);r(V);(2)(2)比较体积比较体积V V从从0 L0 L增加到增加到1 L1 L和从和从1 L1 L增加到增加到2 L2 L半径半径r r的平的平均变化率；哪段半径变化较快均变化率；哪段半径变化较快( (精确到精确到0.01)0.01)？此结论可说明？此结论可说明什么意义？什么意义？【审题指导】解答本题可先由球的体积公式变形得到函数【审题指导】解答本题可先由球的体积公式变形得到函数r(V)r(V)的解析式，再根据
10、求平均变化率的步骤运算的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算. .:【规范解答】【规范解答】(1)(1) 3 3分分(2)(2)函数函数r(V)r(V)在区间在区间0 0，1 1上的平均变化率为上的平均变化率为 6 6分分函数函数r(V)r(V)在区间在区间1,21,2上的平均变化率为上的平均变化率为 9 9分分显然体积显然体积V V从从0 L0 L增加到增加到1 L1 L时，半径变化快，这说明随着气球时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢体积的增加，气球的半径增加得越来越慢. 12. 12分分 :【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【误区警示】对解答本
11、题时易犯的错误具体分析如下：:1.1.自变量自变量x x从从x0x0变到变到x1x1时，函数值的增量与相应自变量的增量时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数之比是函数( )( )(A)(A)在在x0x0到到x1x1之间的平均变化率之间的平均变化率 (B) (B)在在x0x0处的变化率处的变化率(C)(C)在在x1x1处的变化量处的变化量 (D) (D)在在x0x0到到x1x1之间的增量之间的增量【解析】选【解析】选A.A.由平均变化率的定义知，该比值是在由平均变化率的定义知，该比值是在x0x0到到x1x1之之间的平均变化率间的平均变化率. .:2.2.设函数设函数y=f(x)y=f(x)
12、，当自变量，当自变量x x由由x0x0改变到改变到x0+xx0+x时，函数的改时，函数的改变量变量yy为为( )( )(A)f(x0+x) (B)f(x0)+x(A)f(x0+x) (B)f(x0)+x(C)f(x0)x (D)f(x0+x)-f(x0)(C)f(x0)x (D)f(x0+x)-f(x0)【解析】选【解析】选D.D.函数的改变量函数的改变量yy是函数在是函数在x0+xx0+x时的函数值与时的函数值与函数在函数在x0x0时的函数值的差时的函数值的差. .:3.3.函数函数f(x)=x2f(x)=x2在在x0x0到到x0+xx0+x之间的平均变化率为之间的平均变化率为k1,k1,在
13、在x0-x0-xx到到x0x0之间的平均变化率为之间的平均变化率为k2,k2,则则k1k1、k2k2的大小关系是的大小关系是( )( )(A)k1(A)k1k2 (B)k1k2 (B)k1k2k2(C)k1=k2 (D)(C)k1=k2 (D)无法确定无法确定【解析】选【解析】选D.D. 又又xx可正可负，可正可负，k1k1、k2k2的大小关系不确定的大小关系不确定. .:4.4.已知曲线已知曲线y=x-x2,y=x-x2,则曲线上点则曲线上点A(0,0)A(0,0)到到B(0.1B(0.1，0.09)0.09)的平均的平均变化率为变化率为_._.【解析】【解析】答案：答案：0.90.9:5.5.求函数求函数y=-2x2+5y=-2x2+5在在2 2到到2+x2+x之间的平均变化率之间的平均变化率. .【解析】【解析】=-8-2x.=-8-2x.:
