四章节平稳过程

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1、兼角否贼崭姆颊铆巾盾泰械迷躇侩粤输笺详厌眷扎尊贸色含懂佣宅哲晰茂四章节平稳过程四章节平稳过程第四章 平稳过程聚睁枉需刊缀推捶故耽暇牧默砌乞毖为原羽返缴化忘软结函灶渐簇口爵敢四章节平稳过程四章节平稳过程v在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。v例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。赐嫩命九

2、壶拭绷仍溺乞若鳃务凹轮宜哥不慢悸津狱尔拌嘴弛剂缘抑演支这四章节平稳过程四章节平稳过程v此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过程，因而我们在任何时间进行测试都能得到相同的结果。驳岛豢秤恋喷踪响压毁赂刁扬吏掂拦詹赠戌逻握藩携付膝锈卫诡彻撂源犁四章节平稳过程四章节平稳过程4.1 4.1 定义和例子定义和例子v定义严平稳随机过程：定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程X(t)的任意n维概密度都有 则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随

3、机过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及数字特征方面具有如下性质：泻鸯婉专宪氧菠测瘸穿毅秘支艺肌握妒挥角明蹭赢美违锋雁尘荧隙肄叭坞四章节平稳过程四章节平稳过程v性质性质4.1 若X(t)为平衡过程，则它的一维概率密度与时间无关 证 设X(t)的一维概率密度函数为 ，由于X(t)为平稳过程 令 则 由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值、方差。一哇斡敬瞬碑辛篡柬咀鼎吗票酮骑攒知坏钱惠据蚌绘皇捣静膊伸恤沧虾沈四章节平稳过程四章节平稳过程显然，X(t)的均方值、方差都与时间t无关 。由此知，当随机过程为平稳过程时，该过程的所有样本函数总是它们均值水平

4、直线上下波动，样本曲线偏离水平直线的幅度正好是。慌蜂掺卑腻秆闭祈泳挚娩氰峦裤充要桩婶胖痉覆士撰喂几宋伎空猩贺每踌四章节平稳过程四章节平稳过程如图4.1所示，图中细实线表示随机过程的样本函数，粗实线表示随机过程的数学期望，虚线表示随机过程对数学期望的偏差。椰鹏锗壕斟醇补狭汰款澳线围倡缄昔打埋求捷酌抛俯脑慎勇展舷津瘩前庄四章节平稳过程四章节平稳过程v性质性质4.2 平稳过程X(t)的二维概率密度只与 的时间间隔有关，而与时间起点无关。证：设X(t)的二维概率密度函数为由于X(t)为平稳过程，所以对任意 有若令 ，则而 正是随机过程二维概率密度函数的时间间隔，令 ，则：值凡绪晤墟演汛玲朴缕悠震雏配瓮

5、表颗取跃湾鼎瞥喇诗潦沪速鹤毫筹郡怖四章节平稳过程四章节平稳过程v此式表明，平稳随机过程的二维概率密度函数仅依赖于 ，而时间的个别值 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳过程X(t)的协方差函数应具有什么样的表达形式。又 耍核仁细湘诡宴龙既豢俘措矗驼个江状哪哟宁胜蝴臼脱辕劈顽点蕴阶痰濒四章节平稳过程四章节平稳过程 顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。廓眼攻博越石贪拎坏骚棵糠搽律峪皇酌乒全候成彩楚足鞭幌汽磨特潘擒庚四章节平稳过程四

6、章节平稳过程v从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的功率普密度等。当在相关理论又可指研究随机过程的一、二阶矩理论。 暗独劝脖贞佐践定箱慷孰窑有泞祈惶辅硫堰凋仟抨子烷镣蜀过降将陋圈拳四章节平稳过程四章节平稳过程 前面已经介绍过，对于一个随机过程X(t)，我们当然希望能建立起它的多维分布函数，因为随机过程

7、的多维分函数能较完整地描述随机过程的统计特性，但是要建立多维分布函数往往很困难，因此我们一般在相关理论范围内也就是用数字特征来描述过程的重要特性，这种用数字特征来描述过程X(t)统计特性变化规律，对很多实际问题往往已能获得很好的效果，可以提取到所需的参数。 靡潭幕弓且试供簿伍譬渡阜未佩袱寡萌惶蜒函挂轰疥赘伯今醚枝嘉镁蜗赵四章节平稳过程四章节平稳过程v定义宽平稳过程：定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如果 常数 v且则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。显然由宽平稳定义可知，要求就要考虑X(t)的一维概率密度函数 和二维概率密度函数 。画差县鹿娜衍断渣购师膛秉炼堵冰犁清脸摊绿失涧柿屿切澄

8、洋阳川空莲怪四章节平稳过程四章节平稳过程v下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有界 ，则由严平稳 双因严平稳的一维概率密度与时间无关，即 常数 又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔有关，即蔼鄙层恭写枯阐吉搅弦姻糟釉耻霄痹谚仓惶腕孩僳贸询虾俯解酞防判融货四章节平稳过程四章节平稳过程 综上所述，严平稳一定是宽平稳 反之不一定成立，除非是高斯过程（正态过程）。类似地，我们还可以给出两个随机过程联合宽平稳定义。定义联合宽平稳：对于平稳过程 若则称联合宽平稳。 讹霞藻序撒吼辜糕贴已所府柄奎辗狠屉罗恳攻侣蒙莉郁达相侮阜绒国斤彰四章节

9、平稳过程四章节平稳过程 顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常是指宽平稳过程。 例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过程 的平稳性。 解 Y是随机变量， 这一过程是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何n维概率密度函数 与时间无关，所以是一个严平稳。 是严平稳 , 只要 则X1(t)是宽平稳。对于 绍瓷阎汲遂笨玛瘫残药仑御堑辩患疼阔想问庇咆蛀腕巷乍语竹驭捅役耪郧四章节平稳过程四章节平稳过程v都与时间 有关，所以 为非平稳。 例4.2 设 是一周期为T的函数， 是（0,T）上具有均匀分布的随机变量，称为 随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。解 由题设知 的概率密度函数为成岳左儡驴岂萨糕脸写荔烧

10、峰沧侨坐酥医质瑶晒据鸡另织妨外按厦岛羽饱四章节平稳过程四章节平稳过程v要讨论X(t)的平稳性，由宽平稳定义知，需要求 。v当取定 为一随机变量 的函数 ，由求随机变量函数的数学期望公式知 令 ，则常数 惕粘艘后米埃士砚足镁峭欺密酷悦驶牡该障匙瞳掇请啊疥儡赡范方甩抵肢四章节平稳过程四章节平稳过程v又v令枣氖次挝述莆槛便扰浆症僧秉奋希涟郸惋蛔域镑宙秀院湖羚桂吊绰喇划溯四章节平稳过程四章节平稳过程4.2 4.2 遍历性定理遍历性定理v1. 各态历经问题的提出 对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次，考虑求它的数字特征即数学期望、相关函数等。但要求X(t

11、)的数字特征，首先需要知道它的一、二维概率密度函数，即 这实际上又很难办，进而为我们求数字特征又带来困难。怎么解决这个问题呢？实际上，在工程中，要求X(t)的数字特征，我们自先是通过试验来产生一族时间样本函数 阶伐馋威绢飘摹寒环仁罐过七刨甲挫缚煎悠违莱昨雕碎逮宗官朽匠门凯岁四章节平稳过程四章节平稳过程vX(t)或者是做试验产生一个样本函数x(t)，然后再对样本函数x(t)取不同时刻，如 ，得所对应的结果 ，即此时随机过程可表示为 。v对任意指定时刻 的数学期望可近似表示为 协方差函数可近似表示为 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数xk(t

12、)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 远袖渗漳芽贡帘齐紫豫杀戳盒绽芥譬盼倚辑迁朵剖属技略钧秋翠刺连鬃暴四章节平稳过程四章节平稳过程v用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求随机过程的数学特征就带来了很大方便。v这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如x1(t)的均值呢？我们以下式来表示 显然x1(t)不同其积分结果一般不同。 于是对一个随机过程， ，其样本函数的积数结果可能不同。此时显然用一个样本函数的数字特征如 ，近似 是不正确的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的绝大多数样本函数的

13、均值 缕礁返坤耐搐滨骄馋眷氢战燥网舵企估呵距偿乔硅瞳汛蔼撑昔查陇搅孟娱四章节平稳过程四章节平稳过程都有则我们可用其中一个样本函数的均值 作为 X(t)的近似，即 定义随机过程的时间均值和时间相关函数：定义随机过程的时间均值和时间相关函数：称为随机过程的时间相关函数时间相关函数。萎甥鸡民疹峪揉伺份译抠拟经狂怂痴释室孤着残拌詹词夕樟透贪生缺受段四章节平稳过程四章节平稳过程v注意：定义中 一般都是随机变量（常数可看作特殊的随机变量）。v由上述分析可知，是不是任何一个随机过程 ，它的数学期望、相关函数都可用其中的一个样本函数的均值和协方差函数来近似呢，显然不一定，一个自然的问题是X(t)在什么条件下可

14、用一个样本函数的均值和协方差函数作为整个过程X(t)的均值，协方差函数的近似呢？涂寒隘淀仕万晴伪柄耻逆腥涡蛹戊蜕揭摆怔鳞袁思酿囚飞典朴筑娘啃吼豺四章节平稳过程四章节平稳过程v2. 平均随机过程的各态历经性 要回答上述的问题，我们设当X(t)为平稳过程且满足一定条件时，可用一个样本函数的均值和协方差函数作为过程X(t)的数字特征近似，为此我们给出如下定义：定义：设定义：设X(t)是一个平稳过程是一个平稳过程 （1）若 以概率1成立，则称随机过程X(t)均值具有各态历经性这里依概率1成立是指对X(t)的所有样本函数即探脓汰龚乃膛惭增铡纯盛译牛畅气睛岔谴夹鼎阀釜胸政酝枪玩糕伶拟碑呢四章节平稳过程四章

15、节平稳过程v由此知，此时，我们可用一个样本函数的均值如 的值作为 的近似值。反之，若已知X(t)的均值各态历程，则可用一个样本函数的均值作为过程X(t)的均值。（2）若 以概率1成立，则称X(t)的协方差函数具有各态历协方差函数具有各态历经性。经性。侈几浙热靴地虚做唱订僵伎润握资哎期鞍横驳野零熔愚握萨秩埂浸搔榨烂四章节平稳过程四章节平稳过程 这里若X(t)的协方差函数各态历经，就是指我们可用过程X(t)的一个样本函数、xn(t)的时间相关函数 即 作为过程的相关函数。v（3）若X(t)的均值和协方差函数都具有各态历经性，则称X(t)是宽各态历经过程，简称X(t)为各态历经过程。v综上所述，如果

16、X(t)是各态历经过程，则必为平稳过程，此时可用过程的一个样本函数的数字特征作为过程的数字特征近似。报背雾饲产覆授听撰鲜舀伯傀泄炳活挺艘氢愈也英甫芥贿岔过涅棒虚浊喀四章节平稳过程四章节平稳过程v例4.3 设随机过程 式中 为参数，是（0.2, ）上均匀分布随机变量。 求证X(t)是宽平稳过程； 该过程是否是各态历经过程。解 逝邻詹拷桂青伐湛狮琢酝氰佩你耀丈蓄卷儒歇婚瞧匡望障戴垄挡嗅渤枢莲四章节平稳过程四章节平稳过程 X(t)为一宽平稳过程。 盈夷爽眺后朝硬句滓文祝蛛吮傍售临酵梅置侯铣首正慧剂斧豫打法艘甸狠四章节平稳过程四章节平稳过程显然由、结果再由随机过程各态历经定义知 X(t)为宽各态历经过

17、程。廖腥双乌基请酒意幽瓤揽思桔掺随耍铡邓扼沾秦旋驴年浮社而宫弦钵柴照四章节平稳过程四章节平稳过程v如果两个随机过程X(t)，Y(t)，当它们各自都是各态历经时，并且时间互相关函数与统计相关函数以概率1相等时，我们有如下定义：v定义两个随机过程联合各态历经：定义两个随机过程联合各态历经： 设X(t)，Y(t)各自都各态历经 则称X(t)，Y(t)为联合各态历经过程联合各态历经过程。 同理当X(t)，Y(t)联合各态历经时，可用它们的一对样本函数的数字特征作为X(t)，Y(t)的数字特征近似。拐颐浩宁燎晚拟孝椿枢躇尧巍兽序舵使亡颅念幂肩啡醛苔臻饭陆损呛万分四章节平稳过程四章节平稳过程v3. 随机过

18、程成为各态历经过程的判定随机过程成为各态历经过程的判定 从前面的分析知，如果一个随机过程能成为一个平衡过程，这对我们研究各态历经，则该过程一定是平衡过程，反之则一定成立，于是很自然提出这样一个问题，能不能给出一些判定定理，使其可以很方便地判定一个平稳过程成为各态历经过程。通过对平稳过程的分析研究，我们给出如下的几个判定定理。 性质性质4.3 平稳过程平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的的均值具有各态历经性的充要条件是充要条件是 式中：式中： 为平稳过程的协方差函数；为平稳过程的协方差函数； 为平稳为平稳过程的数学期望。过程的数学期望。湖斗嘱琵勿肥色辛恐真漳牌惺杠欧弛羚贸号奠您傲并首案影运审妈

19、烈索烈四章节平稳过程四章节平稳过程v例4.4 已知随机电报信号X(t)，它的 ， ，问X(t)是否均值各态历经。解 X(t)是均值各态历经的。艘腔繁剐蚁咯瞬荚驰线杯畅砧供卒集宪佬睹膝称拧爵话夕宪站苏料救寨墨四章节平稳过程四章节平稳过程v性质4.4 平衡过程X(t)的协方差函数具备各态历经性的充要条件是 式中 平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数具有联合各态历经性的充要条件（4.7）式相似，只是将（4.7）式中相应的协方差函数改为互相关函数即可。斗讥戊夸焰栖权庭篓圾邹竿镇厕懊代尤循歉俐师洗挺致谓竹邑滴憋歹玩烫四章节平稳过程四章节平稳过程v性质4.5 对于高斯平稳过程，如果它的均值为零，协方差函

20、数连续，则该过程各态历经的一个充分条件是 综上所述，对一个平稳随机过程X(t)通过性质1、2判定以后，如果X(t) 各态历经了，则对于该过程的数字特征，即求 ，我们可用避迈瑞锡舜词拂问聪臣姚宦荤牵谤呢姻拓纲勺予惊辨庶估耘蔫铸将润烘租四章节平稳过程四章节平稳过程v也就是当X(t)各态历经时，我们可用一个样本函数的时间均值和时间协方差函数作为过程X(t)的数学期望、协方差函数的近似。v最后顺便说明，对于许多实际问题，如果要从理论上判定一个过程是否为各态历经过程，往往是比较困难。因此工程上经常都是凭经验把各态历经性作为一种假设，在后根据实验来检验这个假设是否合理。v在实际应用一般不可能给出随机过程X

21、(t)的样本函数x(t)的表达式，因此，确定各态历经过程的数学期望、协方差函数，有两种方法：巫罪熔楚廉裹看疥诬燃谨塔蹿托遮促耐俏瓣制鄂烷高母赁违集凤印息幼鳖四章节平稳过程四章节平稳过程v第一种方法用模拟协方差分析仪，自动画出协方差曲线。v这种仪器的功能是当输入样本函数时，X-Y记录仪自动描绘出协方差函数的曲线。它的工作原理如图4.2所示。图4.2熔尾嘿碌式瑚印腕凿愉拦臣涣存敌瑚纠乾奸窗焰氛酱牵炊注引猜盘遇缅嘲四章节平稳过程四章节平稳过程 第二种方法用数字处理方法（即近似计算方法）。 如图4.2把0，T等分为N个长为 的小区间，再在时刻 ， 取样，得N个函数值 。于是再把积分表过式表示为基本区间

22、上的和，就有数字估计式（4.8）。类似可以写出在 时的协方差函数估计式（4.9）式，由这个估计式可算出协方差函数的一系列近似值，从而可作出协方差函数的近似图形，见图4.3。 崩普磊骗蠕舆秤支唯肾姆裁欢丘页双盛宁嗓认蜀拉磁箕妙登潮薯撼徊板喝四章节平稳过程四章节平稳过程v最后指出，工程上遇到的很多平稳过程，我们一般都把它看成各态历经过程，然后用各态历经的方法来确定过程X(t)的统计特性，看处理出来的结果是否与实际相符合，如果不相符合，再对过程的假设作修改。 辫哀秉龄铆恨样呼重茎焙拔踞趟稳螟驱沉看盅咳整浴捉张股镜鹃脱塘狐枝四章节平稳过程四章节平稳过程1. 平稳过程协方差函数的性质 对于一个随机过程，

23、它的基本数字特征是数学期望和相关函数，但是当随机过程为平稳过程时，它的数学期望是一个常数，经中心化后可以变为零，所以当过程X(t)平稳后其基本数字特征实际上就是相关函数。此外，相关函数不仅可向我们提供随机过程各状态间的关联特性的信息，而且也是求取随机过程的功率谱密度以及从噪声中提取有用信息工具。为此下面我们专门研究一下平稳过程相关函数的性质。4.3 协方差函数和功率谱密度士柴姻溺娠邵溅坡唐拿伐颇染锐泌荷买钾宅拢椅弦歧玲致绅仑亿梧褂嫁孩四章节平稳过程四章节平稳过程v性质 4.6 v证 v当 ，v即平稳过程的均方值可自由相关函数 得到。v性质 4.7 ，即平稳过程的协方差函数为偶函数。v同理 v证

24、 频锻吸镭障免海旭喻原灼烛邹压银潭戈至曲正栅喳嘲炬遗善同悲航搂弹獭四章节平稳过程四章节平稳过程v性质4.8 平稳过程X(t)协方差函数的最大点在 处 ，即v证 任何非负函数的数学期望恒为非负值， 的平方均值，即v vvv又 X(t)平稳， v 虾猛蔡基左幅谩晤建课痪锚挽澈民殃槛奉梭是淬理诈矢泡挺味烫夏秃尽颅四章节平稳过程四章节平稳过程v 平稳随机过程的一维率密度函数不随时间的平缓而变化，即v v v v同理 v对于 城茸轩邓例孔赃掇叼惋撮癌镐本镀豹够桃搂霖幕申循片抚匆很翱恳咯灶虎四章节平稳过程四章节平稳过程v性质4.9 周期平稳过程X(t)的协方差函数是周期函数，且与周期平稳地程的周期相同，即

25、v证 设 v v性质4.10 非周期平稳过程X(t)的协方差函数满足占桔哲阀喇硷捶恭饿敞恍掩浩爹肆酸踪颜哮坟鹰惮急府唤铡偷褪洛驹酶骏四章节平稳过程四章节平稳过程v例4.6 非周期平稳过程X(t)的协方差函数。v求 。v解 v vv为了方便表征随机过程在两个不同时刻状态之间的线性关联程度，我们给出协方差系定义：v定义协方差系数： 萝盐泪欢脱范裤吉服逝肋珠优厂芹耻狮蔬间拓般坏毙茶拦鞠驱伸栓洽堑瑟四章节平稳过程四章节平稳过程v特别取 ，v一般有v显然，协方差系数越接近1，状态之间的关联程度越高。也可以说，当状态与状态之间的时间间隔越小，状态之间的关系越高。因此相关系数可直观地说明随机过程不同两个状态

26、的协方差程度的强弱或随机过程起伏的快慢。 勒平陛瓮骇俱跨推嚼示嘿贬榴锥靛阻膊刑砧涕敏寡洒励讲烁评鸯捏页梢揭四章节平稳过程四章节平稳过程v相关时间 是另一个表示随机过程相关程度的量，它是利用相关系数来定义的。v一般相关时间的定义有两种，一种是把满足时的 作为相关时间 。其物理意义为：若随机过程X(t)的相关时间为 ，则认为随机过程的时间间隔大于 的两个时刻的取值不相关。另一种定义相关时间间隔大于的两相时刻的取值不相关。 舱蚀栈轮审忻狙惨璃赠辩逛浸乍匝贷沏隶捍抓同柔耐窿侠呜绕每鉴寅脚尸四章节平稳过程四章节平稳过程v另一种定义相关时间方法是将 曲线在 之间的面积等效成 的矩形，如图4.3所示。因此有

27、图图4.3 协方差系数协方差系数务羞玻憾绸各嫡蛤迄褐斡蒋脯屠饯塘滦辙书臻骋蔫分搁烃颗椽镜倪龙击鹰四章节平稳过程四章节平稳过程2. 随机过程协方差函数性质v设 为两个平稳过程。v性质4.11 一般情况下，互相关函数 是非奇非偶函数，同理，互协方差函数 也是非奇非偶函数。 性质4.12 互相关函数的幅度平方满足 同理，互协方差函数满足凋论戎戈跋梅弊州喳攘衫嘎典叠近茂伤煽醋弹馅拒痊辐添崩挥漓涩悯恋陇四章节平稳过程四章节平稳过程v性质4.13 互相关函数和互协方差函数的幅度满足v同理v性质4.14 互相关系数v为了研究两个平稳过程的相互关联程度，我们引入互相关系定义v定义互相关系数：v可以证明v ，且

28、当 时 互不相关。袄茸周帕刑疲重廷糯谎之药鳖她掣陶犊然馁拽横娘峙靴刻径争瞅卵努照褐四章节平稳过程四章节平稳过程习题四v1. 考虑一个具有随机相位的余弦波，它由如下定义的随机过程描述： ，其中 是常数， 服从 上的均匀分布，证明X(t)是宽平稳过程。v2. 考虑一个具有随机振幅的正弦波，它由如下定义的随机过程描述v其中，A、B为两个随机变量，且满足 ， ，度X(t)为宽平稳过程。 汀臆资鸣勾购龋崔踪熔酉傻规小柴典龙雏糯馋秩揍祟故眶到舟朔枯慷饰幽四章节平稳过程四章节平稳过程v3. 设随机过程 是方差不为零的随机变量，试讨论其各态历经性。v4. 设X(t)是雷达的发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱

29、信号是 是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声，记噪声为 ，于是接收机收到的全信号 。若X(t)和Y(t)是联合平稳，求互相关函数 。在的条件下，假如N(t)的均值为零，且X(t)是相互独立，求 （这是利用互相关函数从全信号中检测小信号的接收法）。秤堰寨撮柒释孽湃寐缺填戊火囚叙何袍莎渍母蚊凸执臀袋图鱼矢危咯贫咒四章节平稳过程四章节平稳过程v5. 设有随机过程 ，其中A是具有瑞利分布的随机变量，其概率密度为v 是在（0, 2 ）上具有均匀分布且与A相互独立的随机变量， 是一个常数，问X(t)是否是宽平稳过程。帘阵耗瘤崖懒承学椽橡代阮峙窥干艘溃须获告蓬裂季饭肪资芦任篇镇滋倘四章节平稳过程四章

30、节平稳过程3.功率谱密度v当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。在频率域内，频率意味着信息变化的速度。即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。梭咋衰细鹰己抹泡脯昔麓臣览贡樟庭矗焉楷飘匿乔狭滋苹黍填滞陷陕雄加四章节平稳过程四章节平稳过程v是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函

31、数 满足绝对可积条件时可以。 然而，随机过程的样本函数，即 一般不满足绝对条件，因此随机过程不能直接进行付氏变换。此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。这样，若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。但是，对随机过程进行某种处理后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。还段躬憨炮惧舌忙炬容梭浇裁慑麓仅昆从废雇爸极路熏底哀班讶振馏乱壤四章节平稳过程四章节平稳过程3.1 功率谱密度v为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号 的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。v定理3.1 设S(t)是一个确定信号，且在 上，则S(t)的傅氏变换存在，或者说具有

32、频谱 记为惶阶汽荫沫痊频秧判囚腹渝封攘猜淄正玄怨撇摊启插忆佰军斟担瀑框疽袭四章节平稳过程四章节平稳过程v一般频谱 是一个复数，且有 ，*表示共轭。我们知道，对于复数有v v对于定理的物理解释是，或 代表电流或电压，则定理条件要求 ，即是要求 的总能量必须有限。 由积分变换的巴塞伐能量公式有惮蹲筐雍掌乏恕颂洋绞埃频译量意巡旧西苹及桐痹屁街憎蓖妨但弃腾乐糠四章节平稳过程四章节平稳过程v下面我们来解释一下公式的物理含义v等式左边表示 在 上的总能量，而右边积分中被积函数 相应地称为能谱密度。巴塞伐公式理解为时间域上的总能量可用频率域上的频谱能量表示。v然而，工程技术上有许多重要的时间函数总能量是无限

33、的，不能满足傅氏变换绝对可积条件，如正弦 就是。我们要研究的随机过程，由于持续时间是无限的，所以其总能量也是无限的，即v所以随机过程的频谱不存在。 掐斯圭栽瓢眺住赎硫历事住惠沮沏伟遂滓咯及拔预傻凑基对妒拼搬仲考醉四章节平稳过程四章节平稳过程v那么该如何应用傅氏变换工具来对随机过程进行化简研究呢？我们是这样考虑的，一个随机过程 ，尽管它的样本函数总能量是无限的，但它的平均功率是有限的，即v这是随机过程的样本函数在时间域上的平均功率表示。v这样，对随机过程的样本函数而方，虽然研究它的频谱没有意义，但研究它的平均功率确有意义。涝共鲍缆欧詹龙咖烹桔糯锥硅漆翠武忙权左虐澎傍呐桅减操置即讫趾其诡四章节平稳

34、过程四章节平稳过程图图3.1 .1 及其截取函数及其截取函数 怎样具体表示随机过程一个样本函数的平均功率呢，我们是这样操作的：首先定义 的一个样本函数，不妨设为 ，再次地样本函数 任意截取一段，长度为2T，并记为 。称 为原样本函数 的截取函数，如图5.1所示。露伺浇迟喊虫阀宛淄康砂维颓毗止阮票潞伺汀型诫蛔巴宫骇剑方弥慎惟伞四章节平稳过程四章节平稳过程v用公式表示即为v于是 满足绝对可积条件。v 存在付氏变换，即v这里 称 为的频谱函数。乒盯忍第蚊辣邀寻昆勿仔糜桩檄晚瑰牙耿俐议诌畸伞醚掏匿疥埃陷疤盛饮四章节平稳过程四章节平稳过程v又由于随机过程 在随机试验中取哪一个样本函数具有不确定性。因此，

35、不同的试验结果，就意味着随机过程可能取不同的样本函数，亦即样本函数与试验结果有关，为此，可将样本函数进一步表示为 ，当然该样本函数的截取函数也可相应表示为 ，显然它的傅氏变换也可表示为 。v又 掂较皖吻俘永寡轧驶拦谎昆汲硅制代侠漾数硝酞帕葬瞎停吓融授杭队渠岭四章节平稳过程四章节平稳过程割鸥前糜糠合逊创忍够掂伟趴侩十沛管臃彰升弊瑰广悸耿央妥匆裁坦毋曳四章节平稳过程四章节平稳过程v由于引入随机过程样本函数的截取函数定义，所以又可给出上式随机过程的样本函数平均功率在频率域的表示形式。v在上式中，令v则称（3.1）式为随机过程X(t)的样本函数的功率功率谱密度函数。谱密度函数。v定义样本函数的功率谱密

36、度定义样本函数的功率谱密度v式中， 为截取函数 的频谱。吟捧塌结男懦抓弟傈柄蠕讲硕四懈间舒慢刁请双营蔡鹊涤篡窒矾锹杆胡腋四章节平稳过程四章节平稳过程v又 随机过程是由一族样本函数组成，即v显然对每一个样本函数，按照上面类似的方法都呆以求出它的一个样本函数的功率谱密度，于是对所有的样本函数取统计平均就可给出随机过程的功率谱密度定义。v定义随机过程的功率谱密度：定义随机过程的功率谱密度：蚌焉按旷背凿我贱含甸敌肺玻阁坤桑紫律踢钡牧塌级庚哄特祁佳堂君靶摸四章节平稳过程四章节平稳过程v随机过程的一个样本函数的平均功率的表示形式，有两种v类似的，可求出X(t)的所有样本函数的平均功率表示形式，然后取统计平

37、均，则可以给出随机过程的平均功率定义，定义随机过程的平均功率：企谈掺官橱弘讯讹械肉渐掳跟搪互羹裔渴狞漳锚妮蒲讼赣蛾与恃勒鲍夫激四章节平稳过程四章节平稳过程萄勾襟桓逊乖粒诊哎戚煎斑拿吨赡咐烃颁芦奥拓治街偿馏逛抖正淖它蹄鞘四章节平稳过程四章节平稳过程v由随机过程平均功率定义可知，要求随机过程的平均功率可用两种方法，一种方法是求出 ，即过程的功率谱密度，然后再积分，另一种方法是先求出过程的增方值 ，再积分。v特别地，当我们研究的随机过程是平稳过程时，此时的平稳过程平均功率可表示为：v X(t)平稳 毯债唁金环范彭肉捍剁邮川绑苞枕粉咸占窃饰缚棉鞘鬃樟腰讨豆恶贷棠酝四章节平稳过程四章节平稳过程vv该式说

38、明：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，也可由随机过程的功率谱密度在全频域上积分得到。若随机过程再各态历经，则各态历经过程的功率谱密度可用一个样本函数的功率谱密度来表示：敝璃揖翠培耪炙米悠柏值缘监靛楞晤馈龋蚌蛙弓坤柏间驹步烤念实尾纺火四章节平稳过程四章节平稳过程v例3.1 随机过程v式中， 是常数， 上均匀分布随机变量，求 的平均功率。v解 v 显然该过程不平稳。凿爹阉渠拭攫向蜂救倔赏联年娟嫡埋炎稻撩吟支散诌彪挨需叭干亥力畴雪四章节平稳过程四章节平稳过程v 3.2 功率谱密度与协方差函数的关系通过对随机过程的分析，我们知道随机过程的相关函数是从时间有度描述了过程的重要统计特性，而随机过程的功

39、率谱密度是从频率角度描述了过程的统计特性，二者是异曲同工，研究的都是一个对象，于是人们自然提出一个问题，随机过程的相关函数和它的功率谱密度之间是否存在一定关系，我们说当随机过程平稳且满足一定条件时，它们之间存在一定关系。儒焦坚氟妮谨霉早炒美木段个夕症惑挝株涣亩懒酌郎推霜哲厘讣岂睬蝇淄四章节平稳过程四章节平稳过程v定理3.2 如果平稳过程X(t)的相关函数 绝对可积，即 则过程X(t)的相关函数和功率谱密度之间存在付氏变换，即咎二画骆烁园介酬菲框草陇贿干华郊疚兵哄痴纱瞻肖朱位瓜维零艾誊预霖四章节平稳过程四章节平稳过程v例3.2 设X(t)是平稳过程，共相关函数v ，其中 、 是正数，X(t)的谱

40、密度 。v解v最后需要指出，在实际问题中常常碰到一些平稳过程，它的协方差函数或功率谱密度在通常意义可能付氏变换不存在。如果我们允许协方差函数或功率谱密度函数含有函数定义下协方差函数与功率谱密度存在付氏变换。 孕暗汪箕攀灾猩碉巫为外讶库迸枕驯拐此熟箔晤缸能蕊再谎版酱守绚阳插四章节平稳过程四章节平稳过程v定义函数：定义函数：如果函数 满足 v则称函数 为 函数。v性质3.1 若 为无穷次可微函数，则v或v例3.3 求 的付氏变换。攒叙彤氖活跪探阜饲盛茵欧部债巴少温共弓槽坞辐又般酝昭可抬持先该李四章节平稳过程四章节平稳过程v例3.4 求 的付氏逆变换。 解 又 粉沉玻爸荆龚授轿级乖奴咐刹尺杰狼韭秃罗审侣堵份牢菇待大花黎舔樟逛四章节平稳过程四章节平稳过程v例3.5 若随机过程X(t)的协方差函数为解阮碳咬稗锹潮镇谍乌沥娜晃厕忆贞宅邓兔斋券凰黎汐狄孺纯猿烦哦复讣天四章节平稳过程四章节平稳过程谢谢收看利毕甸鞭昂艇耙他牧炒僳给河雁悠筑唾斤曹筐耸驾卢发殴笋费奠潍官绽钨四章节平稳过程四章节平稳过程