《计算方法课件：第10次课常微分方程的差分方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法课件：第10次课常微分方程的差分方法（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1计算方法计算方法4 常微分方程的差分方法常微分方程的差分方法航空科学与工程学院航空科学与工程学院航空科学与工程学院航空科学与工程学院24.3 Runge-Kutta方法方法o复习复习oRunge-Kutta方法方法34.3.1 复习复习oo求解常微分方程的数值方法求解常微分方程的数值方法求解常微分方程的数值方法求解常微分方程的数值方法离散化离散化离散化离散化差分方法，差分方法，差分方法，差分方法，2 2种思路。种思路。种思路。种思路。oo几种典型的差分方法几种典型的差分方法几种典型的差分方法几种典型的差分方法显式显式显式显式EulerEuler方法；方法；方法；方法； 隐式隐式隐式隐式Eul
2、erEuler方法；方法；方法；方法；两步两步两步两步EulerEuler方法；方法；方法；方法； 梯形格式；梯形格式；梯形格式；梯形格式； 改进的改进的改进的改进的EulerEuler方法。方法。方法。方法。4oo精度的概念与各种公式的精度精度的概念与各种公式的精度精度的概念与各种公式的精度精度的概念与各种公式的精度梯形格式的精度？梯形格式的精度？梯形格式的精度？梯形格式的精度？ 改进欧拉格式的精度？改进欧拉格式的精度？改进欧拉格式的精度？改进欧拉格式的精度？显显显显式式式式EulerEuler格式格式格式格式改进的改进的改进的改进的EulerEuler格式格式格式格式6oo统一格式统一格式
3、统一格式统一格式核心核心核心核心是如何确是如何确是如何确是如何确 。oo改进的改进的改进的改进的EulerEuler格式格式格式格式7o 的构造思想的构造思想的构造思想的构造思想84.3.2 二阶二阶Runge-Kutta方法方法oo二阶二阶二阶二阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法 取取取取x xn n和和和和x xn+pn+p= = x xn n+ph+ph，0 0pp 1 1。 合理的确定合理的确定合理的确定合理的确定 、p p，以提高精度。，以提高精度。，以提高精度。，以提高精度。9oo 假定假定假定假定y yn n= =f f( (x xn n) ) 从而有
4、从而有从而有从而有 而而而而有：有：有：有： p=p=1/21/2二阶二阶二阶二阶Runge-KuttaRunge-Kutta格式格式格式格式10oo = =1/21/2，p=p=1 1，改进的，改进的，改进的，改进的EulerEuler公式；公式；公式；公式；11oo = =1 1，p=p=1/21/2，变形的，变形的，变形的，变形的EulerEuler公式公式公式公式中点公式中点公式中点公式中点公式；124.3.3 三三阶阶Runge-Kutta方法方法oo三阶三阶三阶三阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法取取取取x xn n、x xn+pn+p、x xn+qn+
5、q，0 0p p q q 1 1。一般格式。一般格式。一般格式。一般格式13oo一种典型格式一种典型格式一种典型格式一种典型格式144.3.4 四四阶阶Runge-Kutta方法方法oo四阶四阶四阶四阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法经典格式经典格式经典格式经典格式15oo例题例题例题例题h h=0.2=0.2。oo解：解：解：解：164.3.5 变步长变步长Runge-Kutta方法方法oo变步长变步长变步长变步长Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法 考察经典的四阶考察经典的四阶考察经典的四阶考察经典的四阶Runge-KuttaRunge-
6、Kutta格式，设从格式，设从格式，设从格式，设从节点节点节点节点x xn n出发，先以出发，先以出发，先以出发，先以h h为步长求出一个近似值为步长求出一个近似值为步长求出一个近似值为步长求出一个近似值 ，显然：，显然：，显然：，显然： 。 将步长折半，取将步长折半，取将步长折半，取将步长折半，取h h/2/2为步长从为步长从为步长从为步长从x xn n跨两步到跨两步到跨两步到跨两步到x xn n+1+1，再求得一个近似值，再求得一个近似值，再求得一个近似值，再求得一个近似值 ，从而有：，从而有：，从而有：，从而有：17oo故而：故而：故而：故而：事后误差估计公式：事后误差估计公式：事后误差
7、估计公式：事后误差估计公式：oo误差控制误差控制误差控制误差控制18o小结小结小结小结与第与第与第与第2 2章的继承性。章的继承性。章的继承性。章的继承性。Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法方法方法. .19oExercises习题习题3的第的第 9、10、12题。题。203.4 Adams方法方法ooAdamsAdams格式格式格式格式 基本思想：利用基本思想：利用基本思想：利用基本思想：利用x xn n，x xn n-1-1， x xn n-2-2 上的斜率上的斜率上的斜率上的斜率值值值值减少减少减少减少计计计计算算算算y yn n+1+1的的的的计计计计算量或提算量或提
8、算量或提算量或提高精度。高精度。高精度。高精度。21oo取取取取 取合理的取合理的取合理的取合理的 ，使上述格式具有二，使上述格式具有二，使上述格式具有二，使上述格式具有二阶阶阶阶精度精度精度精度 二二二二阶阶阶阶AdamsAdams格式格式格式格式22oo假假假假设设设设则则则则：而而而而 显显显显然：然：然：然： =-1/2=-1/2。23oo二阶二阶二阶二阶AdamsAdams格式格式格式格式24oo三阶三阶三阶三阶oo四阶四阶四阶四阶25oo隐式格式隐式格式隐式格式隐式格式二阶隐式二阶隐式二阶隐式二阶隐式AdamsAdams格式格式格式格式26oo三阶隐式三阶隐式三阶隐式三阶隐式Ada
9、msAdams格式格式格式格式oo四阶隐式四阶隐式四阶隐式四阶隐式AdamsAdams格式格式格式格式27oo改进的改进的改进的改进的AdamsAdams格式格式格式格式( (预报预报预报预报- -校正系统校正系统校正系统校正系统) )用显式和隐式的用显式和隐式的用显式和隐式的用显式和隐式的AdamsAdams格式匹配构造格式匹配构造格式匹配构造格式匹配构造28oo四阶四阶四阶四阶29 假假假假设设设设 , ,则则则则：而而而而 显显显显然：然：然：然：30校正后的误差校正后的误差校正后的误差校正后的误差从而有：从而有：从而有：从而有：31 事后估计式事后估计式事后估计式事后估计式32 令令令
10、令p pn n和和和和c cn n分别代表第分别代表第分别代表第分别代表第n n步的预报值和校步的预报值和校步的预报值和校步的预报值和校正值，正值，正值，正值， 和和和和可可可可作为作为作为作为p pn n+1+1和和和和c cn n+1+1的改进值。在的改进值。在的改进值。在的改进值。在c cn n+1+1未确定未确定未确定未确定前，可用前，可用前，可用前，可用p pn n- -c cn n来代替来代替来代替来代替p pn n+1+1- -c cn n+1+1进行计算进行计算进行计算进行计算。 33oo改进后的公式改进后的公式改进后的公式改进后的公式34ooExercisesExercises习题习题习题习题3 3的第的第的第的第1313题。题。题。题。35ooExercisesExercises习题习题习题习题3 3的第的第的第的第1313题。题。题。题。36谢谢！谢谢！
