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1、 第四章 定积分4.3.2 简单几何体的体积Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.一个平面图形绕平面内的一条定直线旋一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周所成的立体叫转一周所成的立体叫旋转体旋转体，这条定直线叫，这条定直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠都是都是旋转体旋转体。计算由区间计算由区间a、b上的连续曲线上的连续曲线、两直线两直线x=a与与x=b及及x
2、轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形绕绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积轴旋转一周所成的旋转体的体积。旋转体的体积旋转体的体积复习回顾Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由微元法，取由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间为积分变量，其变化范围为区间a,b。在区间。在区间a,b的任意一个小区间的任意一个小区间x,x+dx上，相上，相应的薄旋转体的体积可以用以点应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值处的函
3、数值f(x)为底为底面半径，以面半径，以dx为高为高的扁圆柱体的体积近似代替，的扁圆柱体的体积近似代替，从而得到体积元素从而得到体积元素所以，所求旋转所以，所求旋转体的体积体的体积Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.类似地可得，由区间类似地可得，由区间c,d上的连续曲线上的连续曲线,两直线两直线y=c与与y=d及及y轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋轴旋转一周所成的旋转体的体积为转一周所成的旋
4、转体的体积为Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例1 给定直角边为给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体角边旋转一周，得到一个圆锥体.求它的体积求它的体积.分析分析 在直角坐标系中，直角边为在直角坐标系中，直角边为1的等腰直角三的等腰直角三角形可以看成是由直线角形可以看成是由直线y=x，x=1以及以及x轴所围成的轴所围成的平面图形平面图形.在区间在
5、区间0,1内插入内插入n-1个分点，使个分点，使把这个三角形分割成把这个三角形分割成n个垂直于个垂直于x轴的小梯形，设第轴的小梯形，设第I个小梯形的宽是个小梯形的宽是xi=xi-xi-1，i=1,2，n，这个小梯形，这个小梯形绕绕x轴旋转一周就得到一个厚度是轴旋转一周就得到一个厚度是xi的小圆台当的小圆台当xi很小时，第很小时，第i个小圆台近似于底面半径为个小圆台近似于底面半径为xi的小圆柱，的小圆柱，因此，第因此，第i个小圆台的体积近似为个小圆台的体积近似为Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profi
6、le 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.解解 圆锥的体积为圆锥的体积为圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和，圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和，这个问题就是定积分问题这个问题就是定积分问题.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例2、求由曲求由曲线所所围成的成的图形形绕轴旋旋转所得旋所得旋转体的体体的体积。 xyox=1分析：分析：（1）分割）分割; (2
7、)以直代曲；以直代曲；（3）求和；）求和； (4)逼近。逼近。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.求曲求曲线，直，直线， 与与轴围成的平面成的平面图形形绕轴旋旋转一周所得旋一周所得旋转转体的体积。体的体积。答案：答案：1.练习练习Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright
8、2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例3求由椭圆求由椭圆解解利用图形的对称性利用图形的对称性,只需考虑第一象限内只需考虑第一象限内( (一一) )绕绕x轴：选取积分变量为轴：选取积分变量为x 0,a ，所围图形分别绕所围图形分别绕x 轴和轴和y轴旋转所成的旋转体的体积轴旋转所成的旋转体的体积.任取一个子区间任取一个子区间 x,x+ +dx 0,a ，的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，所求体积为该体积的所求体积为该体积的2倍倍。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .N
9、ET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.在子区间在子区间 x ,x+ +dx 上旋转体的微元为：上旋转体的微元为：于是于是dV1=p py2dx，yxOx x+ +dxEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.( (二二) )绕绕y y轴轴：选选积积分分变变量量y 0,b ，任任取取子区间子区间 y ,y+ +dy 0,b
10、.在子区间在子区间 y ,y+ +dy 上体积的微元为上体积的微元为则则yxO y + +dyyxxEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.2.2.求求y =x2与与y2=x 所所围围图图形形绕绕x轴轴旋旋转转所所成的旋转体体积成的旋转体体积.解解选选积积分分变变量量x 0,1 ( (两两曲曲线线的的交交点点为为( (0,0) )和和( (1,1)，任任取取子子区区间间 x,x +dx 0,1 ，其上的体积的
11、微元为其上的体积的微元为xx+ +dx(1,1)y2 =x2yxO练习练习Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.3.曲线曲线与直线与直线所成的图形所成的图形的面积为的面积为（）4.将第一象限内由将第一象限内由x轴和曲线轴和曲线与直线与直线所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积轴旋转一周所得旋转体的体积等于等于()练习练习DCEvaluation only.Created with
12、Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.课堂小堂小结：求体求体积的的过程就是程就是对定定积分概念的分概念的进一步理一步理解解过程，程，总结求旋求旋转体体体体积公式步公式步骤如下：如下：1 1先求出先求出 的表达式；的表达式；2 2代入公式代入公式 ，即可求旋即可求旋转体体体体积的的值。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
