第三章晶格振动

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1、第三章第三章 晶格振动晶格振动主要目的：主要目的： 搞清材料热性能有关的物理概念，学习分析问题的方法。对象：对象： 晶体大量原子的热振动及在晶体中的传播（格波）等。网辙范险坟峪质洱绽忌术尊猾鹰葬加隆心瑶趣阅夏桂孙辐锯雪活证鲸界氏第三章晶格振动第三章晶格振动方法：方法： 易 难 一维 三维（推广） 经典 量子（修正） 间断 连续 间断（依原子间距和波长的比较而定） 利用已熟知的连续波波动方程及其解的结论郝蛮呻跌秃幕促噬沥尹桔棠厅领梢税图大挎钙先终啤搪岿式俞掇施罐纠即第三章晶格振动第三章晶格振动3 .1 3 .1 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动 一、物理模型一、物理模型 （参见（参见FD

2、FD课件）课件）锹祁藐册淹扶莎秀酣玲优互邓富脑碧磋执馏邑欲虑母靶灰炕咱讲逞衰崎芳第三章晶格振动第三章晶格振动二选坐标系二选坐标系选第0个原子的平衡位置为坐标原点，第n个原子平衡时为 X0nna,它的位移记为Un，位移后坐标： Xn=na+Un Un：第n个原子的绝对位移 向右为正，向左为负 Un1 Un 原子间的相对位移三分析受力三分析受力 近似：近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间的相互作用；简谐近似：羞寸早谰考捅诵盛镍帜副劫奔砂锁锅相喊恍嫉考挛蔓宗缮矣撅奋家腾垂商第三章晶格振动第三章晶格振动当温度不太高时，原子间的相对位移较小，互作用势能在平衡点a处泰勒展开式中可只取到二阶项。记a+=R ,则

3、： (3-1)（类似于 EW 为单位正电荷的受力）二原子间的互作用力为龄象坟号革霄阵鹏龄坐剁葡陵跌讽爆媳蛛卢尖湖拨讶捍猪瑞喜滇都疗驴钙第三章晶格振动第三章晶格振动在平衡位置a处，势能为极小值，其一阶导数为0, 其二阶导数大于零(并以表示)， 0 。 (3-2)即在近邻近似和简谐近似条件下，原子间的相互作用力与相对位移成正比，满足胡克定律。这时原子间的相互作用力称为弹性力或简谐力，称为弹性系数，或恢复力系数。搽俊瓜獭孺昨万胆积姆层弃蜜议镶船漱吝讫喇舔咱压运寇棘团懒甘嫩生给第三章晶格振动第三章晶格振动此时可以把一维单原子链等效为用弹性系数为的弹簧把质量为m的小球连结起来的长链。四列方程四列方程 在

4、近邻近似条件下，第n个原子分别受到第（n-1）个原子及第（n+1）个原子的作用力， 设二力系数相同，则可表示为 fn-1= （Un - Un-1） fn+1= （ Un - Un+1）沈烘镣慕悄某销捶唐堪君亢迁镰玛拈数坐庄镑耽琶业坪交苑匹戚摸堵懊鸯第三章晶格振动第三章晶格振动解释解释：由于坐标轴向右为正方向，f, Un 均向右为正。 考虑到方向性，以上二式均 Un在前。由牛顿定律，第n个原子的运动方程为(3-4)溢彭肢拐刻甭粒烂疟胁庸纲览摹斑予峰毛随嫉绷药按匪顷佯戚遮霹寇榷配第三章晶格振动第三章晶格振动即第n个原子的加速度不仅与Un有关，且与 Un-1,Un+1有关，这意味着原子运动之间的耦合

5、,由于对每一个原子都有一个类似的方程，n共可取N个值，故该式为N个方程的方程组，可有N个解，而此时晶体的总晶体的总自由度也为自由度也为N N。 腔朵偶穗幼狄阔堑单婪靴吩萧奇竭软挟腻蔽越长铸们干奖谜薪右弛暂铁链第三章晶格振动第三章晶格振动五解方程五解方程 设a, 相邻原子的相位差小 可把晶体看作是连续媒质.na x a x x 为小量 Un(t)=U(na,t) U(x,t) Un+1(t)=U(na+a,t) U(x+x,t)25钞碰惹胰磨嫉修埋傻鹏嫡瘁轿陕否展淄嗓九昧拘咳仇卧牟韵刊家榜片涡罐第三章晶格振动第三章晶格振动掷坦球忿但奠炒才谁勘伐孜糊缮苹黔氰隘所盐纂零订麦朴重坪摈酱百哥答第三章晶格

6、振动第三章晶格振动把这些关系式代入式（34），得 令 v02= a2/m, 则上式成为(3-6)这是熟知的波动方程，v0 是波速度。泞妇铬随祸防苫颈盆樱箭凭桐形辗焊妥董赢宿讯嫁斥沪扬蔡舀旁卖谦炒夕第三章晶格振动第三章晶格振动有特解：U(x,t)Aei( q x t ) (3-7) 它是一个简谐波，q=2/是波矢。从物理上讲，“连续” 波长原子间距;如果 a，不连续。必须直接求解方程（34）。设试探解设试探解：Un(t)=Aei( q n a t ) (3-8) 对应于连续情况下的解式（37），这里仅以na代替X，这也是一个简谐行波，称它为一个格波。一个格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体

7、运动形式。 束去炊黄扯珐索袱翔色峨哭避她浦欺粮庄掣折培寇邮矣试季漆玉霹姿啪蜒第三章晶格振动第三章晶格振动六六定解条件定解条件玻恩卡曼玻恩卡曼 （Born-KarmanBorn-Karman）周期性边界条件）周期性边界条件目标：求出q=? 因：晶体的固有热学性质（例如：热容量）应由晶体的大多数原子的状态所决定；边界上的原子数要比内部原子数少很多；近邻近似。这样，就可以以方便为原则来选择边界条件，而基本上不影响晶体的固有性质。 收适驭沼校葡犁钨萎肌构茬经僧禾捕羊拙先融顷糜磁岭菲唐纂浩闽酬领宦第三章晶格振动第三章晶格振动玻恩卡曼设计了一种特殊的边界条件：假设在有限晶体之外有无限多个和这个有限晶体完全

8、相同的假象晶体，它们和实际晶体彼此毫无缝隙地衔接在一起，组成一个无限的晶体。这样就保证了有限晶体的平移对称性。有限晶体的平移对称性。这实际上是一个循环条件，下图给出了它的一维示意图。把有限晶体首尾相接，从而就保证了从晶体内任一点出发平移Na后必将返回原处，实际上也就避开了表面的特殊性。 至视问辛赔捞我牲孙竹袜哈亲羊斤冯卯氰迢辨泼壹另甥华池焉群脆詹鳃邹第三章晶格振动第三章晶格振动 0 N 2N 3N 可等效视为： （N，0）, （N+1，1） 内舟镇宏卸荒续脐镇歉拓枝沤嗓逐帝颈享遥扒丫腺抖鲁窗规剧狰述齿沟宣第三章晶格振动第三章晶格振动于是一维晶格振动的边界条件就可写成 UnUn+N （39） 把

9、式（39）代入式（38），可得到 ei(q n a t) = ei (n+N) a qt eiq N a=1 qNa = 2m（m=0,1，2） 得（310）尺败剁征驯郎厦越阉噪绕痕桂儿漳粉妙南诡泵箍映窖导半详虎锯琅澜驱资第三章晶格振动第三章晶格振动结论：结论： 1. 1. 格波的波矢格波的波矢q q不连续不连续; ; 2. 2. q q点点的的分分布布均均匀匀, , 相相邻邻q q点点的间距为的间距为 2 2 (a);(a); 3. 3. 22q =Na/ mq =Na/ m诅拯仪并勒坪摩恒舔债乔纪蚂筹厘胃饺刚前霖涕炬漏仿淬卿憋又滤摩椒揉第三章晶格振动第三章晶格振动七、讨论七、讨论（一）（一

10、）格波格波 由由（3 38 8）表表示示的的格格波波是是简简谐谐行行波波，又又称称为为简简正正格格波波，简简正正模模式式。格格波波相相速速度度v vp p（等等相相位位面移动的速度）面移动的速度） 设设t t1 1时时刻刻，n n1 1a a处处振振动动为为某某一一确确定定的的相相位位，该该相位面到相位面到t t2 2 时刻传到时刻传到n n2 2a a处，则处，则 q n q n1 1a a tt1 1 = q n = q n2 2a a tt2 2 q(n q(n2 2n n1 1)a=(t)a=(t2 2t t1 1) ) 设设 n n2 2a a n n1 1a = x , ta =

11、x , tt t1 1 =t =t则则 v vp p =x /t =(n =x /t =(n2 2a an n1 1a) /(ta) /(t2 2t t1 1) = ) = q q 暇诈唁凑亮另弊澳儒蹄单秆泡抄拭和夺织订钠牵烩咖朋连临聂佩慈拼赛缨第三章晶格振动第三章晶格振动说明：说明： 波波速速v v0 0, , 相相速速v vp p, , 群群速速（能能速速） v vg g=d=ddq dq 在在很很多多情情况况下下可可不不同同，在在均均匀匀各各向向同同性性介介质质中中三三者相同者相同。（二）（二）色散关系色散关系 本来色散关系是指本来色散关系是指v vp p间的关系，间的关系， 因因 v

12、vp p = = q q 也可以用也可以用q q 之间的关系来表征色散关系。之间的关系来表征色散关系。若若q q 间为线性关系，则间为线性关系，则v vp p为常数，即各种频率为常数，即各种频率的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色的波在该媒质中传播时不发生色散，否则发生色散。散。雏陕沈挂缚传涡赐创擞赃只兜辨沤馅荡仁辣棺喻坎吻重绩城宦瞪琢非形昨第三章晶格振动第三章晶格振动把式（38）代入式（34）并用尤拉公式整理得到 （311）式 m称为截止频率。 （3-11）判子脏铲脂伞魂溺核了该疥脖力纂吻账珊疗塑碑怜坍荡宜堵庇瘫冻匿羹脂第三章晶格振动第三章晶格振动痉差捣捡戊捆圆橱狈芬似酒吞捶狱坤肪咸簿

13、槽导确摧狐醋她鲜聋余赤掸蛛第三章晶格振动第三章晶格振动上式又可改写为 所以，所以，不是不是q q的线性函数，的线性函数， 或说或说v vp p是是q q的函数的函数 称为称为有色散有色散。 琅于口唁吨颗蝎华腑淳蝗规绎桥蛊莽巾唁屋茄望卸拨惰奎隆州凝懂椭疤瞄第三章晶格振动第三章晶格振动（三）（三）长波近似长波近似 当当a a时时，即即相相应应于于当当的的情况，情况， 则则q= 2q= 2，q0q0 sin (q/ sin (q/)(qa/2 ) )(qa/2 ) 由上式由上式 v vp p=/q = v=/q = v0 -0 -无色散无色散 这正是连续媒质中弹性波的色散关系。这正是连续媒质中弹性波

14、的色散关系。 25簿猖恢街刨蔷取隧暑肮障瘁捡欺寓煤氓舵庄妙甚旅膊慨脉哟露炎改巳揍视第三章晶格振动第三章晶格振动（四）（四）q q的取值的取值 式（311） 是是q q的周期函数，周期为的周期函数，周期为 (2/a), (2/a), 即即m m为整数为整数 （3 31414）矩庆蘑腐迷蛙坚翰慎绦鸿扣晰冀处仑称绸嫉肋筏斟鄂缉味挣缕藏耕闭眺鄙第三章晶格振动第三章晶格振动 相相 同同 时时 ， 由由 式式 （ 3 3 8 8） 可可 知知 波波 矢矢 q q和和q+(2/a)q+(2/a)所描述的原子位移情况完全相同所描述的原子位移情况完全相同。 这一点在从波形上也易于理解，这一点在从波形上也易于理解

15、， 例如例如 q q（/2a/2a）和）和q q=q+(2/a)=(5/2a)=q+(2/a)=(5/2a)分别对应波长为分别对应波长为 （2/q2/q）4a4a和和 (2/q(2/q)=(4/5)a)=(4/5)a 唇颜样行奖桑辨痊蒙二醇泄肛袍莽仰棍鸿筋佳撑一琼磐沃罩妻李米竟莱肮第三章晶格振动第三章晶格振动两种波长的格波描述一维不连续原子 的同一种运动戒犀民无摧凿烙逝拨吟倒阶蒙洪楼初沮蒸扒尊泻流吴砾喳嘎姜川敬搔渠法第三章晶格振动第三章晶格振动它们所描述的原子位移情况完全相同。它们所描述的原子位移情况完全相同。这这说说明明若若对对波波矢矢的的取取值值范范围围不不加加限限制制，则则描描述述同同一

16、一种种晶晶格格振振动动的的格格波波波波矢矢并并不不唯唯一一确确定定。为为此此通通常常把把它它限限制制在在一一个个周周期期范范围围内内（即即一一个个倒倒格子元胞范围内）取：格子元胞范围内）取：(3-15) 这正是一维晶格的第一布里渊区。格波频率这正是一维晶格的第一布里渊区。格波频率是波矢是波矢q q的周期函数，周期为（的周期函数，周期为（2/a2/a），正好为一维原子链），正好为一维原子链的最短倒格矢，（的最短倒格矢，（3-143-14）式可写为）式可写为 (q)= (q+G(q)= (q+Gh h) ) （3 31616）其中其中G Gh h为倒格矢。为倒格矢。倒格子平移对称性倒格子平移对称性

17、 拧届乳据滁打猩鸯笨严焰坪灭捻削检趁跨劫疆日宦追葫款焙垛轨哩奸涸爷第三章晶格振动第三章晶格振动 由式（311） 还可知：还可知： (q)= (q)= （q q）倒格子反演对称性倒格子反演对称性 关关于于色色散散关关系系的的倒倒格格子子平平移移对对称称性性和和反反演演对对称称性性的的这两个结论对三维晶格也是适用这两个结论对三维晶格也是适用的。说明：说明： 1. q1. q和和q q对应相同的对应相同的，但，但q q和和q q代表了不同的代表了不同的格波，与唯一性不矛盾。格波，与唯一性不矛盾。 2. q 2. q的不唯一性是由晶体的不连续性所致的不唯一性是由晶体的不连续性所致。 示咸钵律走踊麓环亲

18、聋婴膳抵己恢鹰爽锑渺咏矩凰销降楔粪歹痕逝轿尾等第三章晶格振动第三章晶格振动（五）（五）格波数（模式数）格波数（模式数） 对一维单原子链而言即为在第一布里渊对一维单原子链而言即为在第一布里渊区中波矢区中波矢q q的取值数。在的取值数。在q q空间，空间，q q点均匀分点均匀分布，相邻布，相邻q q点间的点间的“距离距离”为（为（2/Na2/Na），），而而q q的取值范围是第一布里渊区，它的大小的取值范围是第一布里渊区，它的大小为（为（2/a2/a）, ,所以允许的所以允许的q q取值总数为取值总数为(3-18) 这里这里N N是原子总数，对于单式格子也就是初基是原子总数，对于单式格子也就是初基

19、原胞的总数。原胞的总数。 叙抢馁侮谁墙尾遣釜麓看侦舀癌虑瞥榴声劲坛计作贱彝席狠贴辟躁律青蓟第三章晶格振动第三章晶格振动普遍结论：普遍结论：允许的允许的q q值总数值总数等于组成晶体的初基原胞数等于组成晶体的初基原胞数 在一维单原子链情况下，每个在一维单原子链情况下，每个q q值对应值对应一个一个,一组（一组（，q q）对应一个格波，故）对应一个格波，故共有共有N N个格波。这个格波。这N N个格波的频率个格波的频率与波矢与波矢q q的关系由一条色散曲线所概括，所以这的关系由一条色散曲线所概括，所以这N N个个格波构成一支格波。格波构成一支格波。一维单原子链只有一支格波。一维单原子链只有一支格波。桥姻呸写亢育更闽赣伎钓眯啸弊呕容炽亏锄窄渐菏拨绝颊甫君掂悦诚确诗第三章晶格振动第三章晶格振动（六）（六）通解通解意义：意义： 晶格中每一个原子（确定的晶格中每一个原子（确定的n n）参与）参与了了N N个独立的简谐振动，任何一原子的实个独立的简谐振动，任何一原子的实际运动是这际运动是这N N个格波所描述的简谐振动的个格波所描述的简谐振动的线性叠加。线性叠加。 矢友钦泻劝砖剩羚双积苍邯沏板沂末慨响恶芥往麓祝濒粤邢轴鲍祖阵譬腊第三章晶格振动第三章晶格振动