空间向量复习课件

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1、空间向量复习空间向量复习1 1、基础知识、基础知识2 2、向量法、向量法3 3、坐标法、坐标法空间向量基础知识空间向量基础知识空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示：空间向量的运算法则：若空间向量的运算法则：若向量的共线和共面向量的共线和共面共线共线: :共面共面两点间的距离公式两点间的距离公式模长公式模长公式夹角公式夹角公式方向向量：方向向量：法向量法向量空间角及距离公式空间角及距离公式线线线线线面线面面面面面点面点面点线点线点面点面线线线线线面线面面面面面夹角夹角距离距离堂上基础训练题堂上基础训练题2.已知已知与与平行，则平行，则a+b=a+b=_3.与向量与向量a=(1,2,3),b=(

2、3,1,2)都垂直的向量为（都垂直的向量为（）A(1,7,5)B(1,-7,5)C(-1,-7,5)D(1,-7,-6)1.1.已知点已知点A A（3 3，-5-5，7 7），），点点B B（1 1，-4-4，2 2），），则则 的坐的坐标是标是_ _ ，ABAB中点坐标是中点坐标是_ =_ =_4.4.已知已知A A（0 0，2 2，3 3），），B B（-2-2，1 1，6 6），），C C（1 1，-1-1，5 5），），若若 的坐标的坐标为为.8.设设|m|1，|n|2，2mn与与m3n垂直，垂直，a4mn，b7m2n，则则 _7.若若的的夹夹角角为为.6 6、已知、已知 = =（2

3、2，-1-1，3 3），）， = =（-4-4，2 2，x x），），若若 与与 夹角是钝角，则夹角是钝角，则x x取值范围是取值范围是_5.已知向量已知向量 ， ，a与与b的夹角为的夹角为_向量法向量法例题例题1如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是OC与AB的中点，求证ABCEFO若 求OA与BC夹角的余弦8654例题例题2 在在平平行行六六面面体体 中中，底底面面ABCDABCD是是边边长长a a为为的正方形，侧棱长为的正方形，侧棱长为b b，且且 （1 1）求）求 的长；的长；（2 2）证明：）证明：AAAA1 1BDBD， AC AC1 1BDBD（3 3）求当）求当a a：b

4、b为多少时，能使为多少时，能使ACAC1 1BDABDA1 1小测小测1棱长为棱长为a的正四面体的正四面体ABCD中，中，。2向量向量两两夹角都是两两夹角都是，则则。3 3、已已知知S SABC是是棱棱长长为为1 1的的空空间间四四边边形形，M M、N N分分别别是是ABAB，SCSC的中点，求异面直线的中点，求异面直线SMSM，BNBN与所成角的余弦值与所成角的余弦值NMSCBA坐标法坐标法（1 1）求证：）求证： ；（2 2）求）求EFEF与与 所成的角的余弦；所成的角的余弦；（3 3）求的）求的FHFH长长D1HGFEABCDA1B1C1例例1 1在棱长为的正方体在棱长为的正方体 中，中

5、， 分别是分别是 中点，中点， G G在在CDCD棱上，棱上， ，H H是是 的中点，的中点，例题例题2已已知知ABCD是是上上下下底底边边长长分分别别为为2和和6，高高为为的的等等腰腰梯梯形形，将将它它沿沿对对称称轴轴OO1折折成成直直二二面面角角，如图如图2.（）证明：）证明：ACBO1；（）求二面角求二面角OACO1的大小的大小.例题例题3如如图图，在在四四棱棱锥锥V-ABCD中中，底底面面ABCD是是正正方方形形，侧面侧面VAD是正三角形，平面是正三角形，平面VAD底面底面ABCD（）证明）证明AB平面平面VAD（）求面求面VAD与面与面VDB所成的二面角的大小所成的二面角的大小例题例

6、题4已知菱形ABCD，其边长为2，BAD=60O，今以其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形ABCD（如图），求：（a）AB与平面ADC的夹角；二面角B-AD-C的大小。 小测小测D1C1B1A1ABCD1.1.在在长长方方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，ABAB2 2，BCBC2 2，AAAA1 16 6，求求(1)(1)异面直线异面直线BDBD1 1和和B B1 1C C所成角的余弦值所成角的余弦值 （2 2）BDBD1 1与平面与平面AB B1 1C C的夹角的夹角2 2、如如图图，RtABCRtABC在在平平面面内内，ACB=90AC

7、B=900 0, , 梯梯形形ACDEACDE中中, ,ACDE,CD,DE=1,AC=2,ECA=45ACDE,CD,DE=1,AC=2,ECA=450 0, ,求求AEAE与与BCBC之间的距离之间的距离棱锥、圆锥的体积复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体Sh V圆柱r2 h 3、柱体体积公式的推导：柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面的平面所截截面面积始终相等体积相等V长方体abcV柱体Sh V圆柱r2 h问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下锥体体积是否具有相似的结论？锥体体积是否具有相似的结论？定

8、理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h平行于平面的任一平面去截截面面积始终相等两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。 把这两个锥体放在同一个平面上，这是它们的顶点都在和平面平行的同一个平面内，用平行于平面的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2， 那么 根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB

9、BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCABCACBABCA与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCACB把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱

10、锥 ShShABCACB连接BC,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。23定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA23定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShBCAB2C

11、ACB3ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShCACB3ABCA1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。A1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1高高定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA1CACB3BCAB2三棱锥2、3的底BCB、C

12、BC的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA1CACB3BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、C CB BC C的面积相等。的面积相等。 高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是A A）。）。高高定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA1CACB3BCAB2V1V2V

13、3 V三棱锥定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证: V三棱锥 Sh证明:把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱 柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三 棱锥1和另两个三棱锥2、3。 三棱锥1、2的底ABA1、B1A1B的面积相等， 高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底 BCB1、C1B1C 的面积相等，高也相等 （顶点都是A1） V1V2V3 V三棱锥。 V三棱柱 Sh。 V三棱锥 Sh。ABCACB2

14、3任意锥体的体积公式： 定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥 r2h小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥 r2h例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面AB

15、C与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 证明：在平面BCD内，作DE BC，垂足为E，连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。 根据三垂线定理，AE BC。 AED。V三棱锥 SB CD AD SAB C ADcos BC ED AD BC AEcos AD例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 问题1、ADcos有什么几何意义？ F 结论： V三棱锥 SAB C d 例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所

16、成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 结论： V三棱锥VC-AE DVB-AE D 问题2、解答过程中的 BC AEcos AD其中 AEcos AD可表示意思？AEcosEDSAED EDAD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。 分析：练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）AB CD A CB D问题1、你能有几种 解法？ 问题2、如果这是一 个平行六面 体呢？或者 四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到 一个正三

17、棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？C D AB 问题2、如果改为求 棱长为a的正四面 体A-BCD的体积。 你能有几种解法？问题1、你能有几种 解法？解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。解二、利用体积公式 V四面体 SBCDh 解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱 锥D-ABEE小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明分两步进行： 、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等： （一个锥体的体积计算可以间接求得） 、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一： （它充分揭

18、示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。小结：小结：4、定理及推论 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh 定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥 r2h作业： 1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。 2、三棱锥P-ABC中，已知PABC，PABCa，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EFh，求 三棱锥的体积。