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1、一、主成分分析概述一、主成分分析概述1假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，这包括所有数据，这包括众多的变量众多的变量，比如，比如固定资产、固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等职工人数、职工的分工和教育程度等等。如果让你向上级或有关方面介绍公司状况，你如果让你向上级或有关方面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗原封不动地摆出去吗？
2、引子引子2当然不能。当然不能。汇报什么？汇报什么？发现在如此多的变量之中，有很多是相发现在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的关的。人们希望能够找出它们的少数少数“代代表表”来对它们进行描述。来对它们进行描述。需要把这种有需要把这种有很多变量很多变量的数据进行高度的数据进行高度概括，概括，用少数几个指标简单明了地把情况用少数几个指标简单明了地把情况说清楚。说清楚。3主成分分析（主成分分析（ Principal Components Analysis ）和因子分）和因子分析（析（Factor Analysis）就是把变量维数降低以便于描述、就是把变量维数降低以便于描述、理解和
3、分析的方法。理解和分析的方法。主成分分析也称为主分量分析，是一种通过降维来简化数主成分分析也称为主分量分析，是一种通过降维来简化数据结构的方法：如何把多个变量化为少数几个综合变量据结构的方法：如何把多个变量化为少数几个综合变量（综合指标）（综合指标） ，而这几个综合变量可以反映原来多个变量，而这几个综合变量可以反映原来多个变量的大部分信息，所含的信息又互不重叠，即它们之间要相的大部分信息，所含的信息又互不重叠，即它们之间要相互独立，互不相关。互独立，互不相关。这些综合变量就叫因子或主成分，它是不可观测的，即这些综合变量就叫因子或主成分，它是不可观测的，即它它不是具体的变量不是具体的变量（这与聚
4、类分析不同），（这与聚类分析不同），只是几个指标的只是几个指标的综合综合。在引入主成分分析之前，先看下面的例子。在引入主成分分析之前，先看下面的例子。什么是主成分分析法？什么是主成分分析法？4成绩数据成绩数据53个个学学生生的的数数学学、物物理理、化化学学、语语文文、历历史史、英英语语的成绩如下表（部分）。的成绩如下表（部分）。 5从本例可能提出的问题从本例可能提出的问题能能不不能能把把这这个个数数据据表表中中的的6 6个个变变量量用用一一两两个个综合变量来表示呢？综合变量来表示呢？这这一一两两个个综综合合变变量量包包含含有有多多少少原原来来的的信信息息呢？呢？能能不不能能利利用用找找到到的的
5、综综合合变变量量来来对对学学生生排排序序呢？呢？6事实上，以上的三个问题在地理学研究中，也会事实上，以上的三个问题在地理学研究中，也会经常遇到。它经常遇到。它所涉及的问题可以推广到对企业、所涉及的问题可以推广到对企业、对学校、对区域进行对学校、对区域进行分析、评价、排序和分类分析、评价、排序和分类等。等。比如对比如对n个区域进行综合评价，可选的描述区域特个区域进行综合评价，可选的描述区域特征的指标很多，而这些指标往往存在征的指标很多，而这些指标往往存在一定的相关一定的相关性性（既不完全独立，又不完全相关），这就给研（既不完全独立，又不完全相关），这就给研究带来很大不便。究带来很大不便。若选指标
6、太多，会增加分析问若选指标太多，会增加分析问题的难度与复杂性，选指标太少，有可能会漏掉题的难度与复杂性，选指标太少，有可能会漏掉对区域影响较大的指标，影响结果的可靠性。对区域影响较大的指标，影响结果的可靠性。7这就需要我们在相关分析的基础上，采这就需要我们在相关分析的基础上，采用主成分分析法找到几个用主成分分析法找到几个新的相互独立新的相互独立的综合指标的综合指标，达到既减少指标数量、又，达到既减少指标数量、又能区分区域间差异的目的。能区分区域间差异的目的。8 二、主成分分析的基本原理二、主成分分析的基本原理9（一）主成分分析的几何解释（一）主成分分析的几何解释例例中中数数据据点点是是六六维维
7、的的；即即每每个个观观测测值值是是6维维空空间间中中的的一一个个点点。希希望望把把6维维空空间间用用低低维空间表示。维空间表示。先先假假定定只只有有二二维维，即即只只有有两两个个变变量量，语语文文成成绩绩（x1）和和数数学学成成绩绩（x2），分分别别由由横横坐标和纵坐标所代表；坐标和纵坐标所代表；每个学生都是二维坐标系中的一个点。每个学生都是二维坐标系中的一个点。10空间的点空间的点如如果果这这些些数数据据形形成成一一个个椭椭圆圆形形状状的的点点阵阵（这这在在二二维维正正态态的的假假定定下下是是可可能能的的）该该椭椭圆圆有有一一个个长长轴轴和和一一个个短短轴轴。在在短短轴轴方方向向上上数数据据
8、变变化化很少；很少；在在极极端端的的情情况况，短短轴轴如如退退化化成成一一点点，长长轴轴的的方方向向可可以以完完全全解解释释这这些些点点的的变变化化，由由二二维维到到一维的降维就自然完成了。一维的降维就自然完成了。11假定语文成绩假定语文成绩 （X1） 和数学成和数学成绩绩 （X2） 的相的相关系数关系数=0.6=0.6。设设 X1 和和 X2 分别分别为标准化后的分为标准化后的分数，右图为其散数，右图为其散点图。点图。12那么随机向量那么随机向量的方差的方差协方差矩阵为协方差矩阵为可以看出，在变量标准化的情况下的方差可以看出，在变量标准化的情况下的方差协方差协方差矩阵与其相关矩阵相等。矩阵与
9、其相关矩阵相等。由求矩阵特征值和特征向量的方法：令由求矩阵特征值和特征向量的方法：令可以求出：可以求出：13对应的特征向量分别为：对应的特征向量分别为：显然，这两个特征向量是显然，这两个特征向量是相互正交的相互正交的单位向量。而且它们单位向量。而且它们与原来的坐标轴与原来的坐标轴 X1 和和 X2 的夹角都分别等于的夹角都分别等于45 。如果将。如果将坐标轴坐标轴 X1 和和 X2 旋转旋转45 ，那么点在新坐标系中的坐标，那么点在新坐标系中的坐标（Y1,Y2）与原坐标（）与原坐标（X1,X2）有如下的关系：）有如下的关系： Y1和和Y2均是均是X1 和和 X2的线性组合的线性组合系数代表什么
10、？系数代表什么？14在新坐标系中，在新坐标系中，可以发现：虽然可以发现：虽然散点图的形状没散点图的形状没有改变，但新的有改变，但新的随机变量随机变量 Y1 和和 Y2 已经不再相已经不再相关。而且大部分关。而且大部分点沿点沿 Y1 轴散开，轴散开，在在 Y1 轴方向的轴方向的变异较大（即变异较大（即 Y1的方差较大）的方差较大） ，相对来说，在，相对来说，在 Y2轴方向的变异轴方向的变异较小（即较小（即 Y2 的的方差较小）方差较小） 。15事实上，随机变量事实上，随机变量 Y1和和 Y2的方差分别为：的方差分别为：可以看出，可以看出，最大变动最大变动方向方向是由特征向量所决定的，是由特征向量
11、所决定的，而特征值则刻画了对应的方差。而特征值则刻画了对应的方差。这只是我们举的这只是我们举的一个例子，对于一般情况，数学上也能证明。一个例子，对于一般情况，数学上也能证明。 16在上面的例子中在上面的例子中 Y1 和和 Y2 就是原变量就是原变量 X1和和 X2的第一主成分和第二主成分。实际上第一主成的第一主成分和第二主成分。实际上第一主成分分 Y1 就基本上反映了就基本上反映了 X1 和和X2 的主要信息，因的主要信息，因为图中的各点在新坐标系中的为图中的各点在新坐标系中的 Y1 坐标基本上就坐标基本上就代表了这些点的分布情况，因此可以选代表了这些点的分布情况，因此可以选 Y1 为一为一个
12、新的综合变量。当然如果再选个新的综合变量。当然如果再选 Y2也作为综合也作为综合变量，那么变量，那么 Y1 和和 Y2 则反映了则反映了 X1 和和 X2的全部的全部信息。信息。 17 从几何上看，找主成分的问题就是找出从几何上看，找主成分的问题就是找出p维维空间中椭球体的主轴问题，就是要在空间中椭球体的主轴问题，就是要在x1xp的相的相关矩阵中关矩阵中m个较大特征值所对应的特征向量。个较大特征值所对应的特征向量。 究竟提取几个主成分或因子，一般有两种方法：究竟提取几个主成分或因子，一般有两种方法：特征值特征值11累计贡献率累计贡献率0.80.8那么如何提取主成分呢？那么如何提取主成分呢？ （
13、二）主成分分析的基本思想（二）主成分分析的基本思想18假定有假定有n个地理样本，每个样本共有个地理样本，每个样本共有p p个变量，构成一个个变量，构成一个np阶的地理数据矩阵阶的地理数据矩阵（3.5.1） 综合指标如何选取呢？这些综合指标要想尽可能多地综合指标如何选取呢？这些综合指标要想尽可能多地反映原指标的信息，综合指标的表达式中要含有原指反映原指标的信息，综合指标的表达式中要含有原指标，那么我们通常是取原指标的线性组合，适当调整标，那么我们通常是取原指标的线性组合，适当调整它们的系数，使综合指标间相互独立且代表性好。它们的系数，使综合指标间相互独立且代表性好。19 定义：记定义：记x1，x
14、2，xP为原变量指标，为原变量指标，z1，z2，zm（mp）为新变量指标）为新变量指标(3.5.2) 可以看出，新指标对原指标有多个线性组合，可以看出，新指标对原指标有多个线性组合，新指标对哪个原指标反映的多，哪个少，取决于它的新指标对哪个原指标反映的多，哪个少，取决于它的系数。系数系数。系数lij的确定原则：的确定原则： zi与与zk（ik；i，k=1，2，m; j= 1，2，p ）相互无关；）相互无关；20 z1是是x1，x2，xP的一切线性组合中方差的一切线性组合中方差最大者最大者(最能解释它们之间的变化），最能解释它们之间的变化），z2是与是与z1不相不相关的关的x1，x2，xP的所有
15、线性组合中方差最大者的所有线性组合中方差最大者; zm是与是与z1，z2，zm1都不相关的都不相关的x1，x2，xP， 的所有线性组合中方差最大者。的所有线性组合中方差最大者。 则新变量指标则新变量指标z1，z2，zm分别称为原变量分别称为原变量指标指标x1，x2，xP的第的第1，第，第2，第，第m主成分。主成分。 21 从以上的分析可以看出，主成分分析的从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量实质就是确定原来变量xj（j=1，2 ， p）在诸主成分在诸主成分zi（i=1，2，m）上的荷载）上的荷载 lij（ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。）。 从数学上可以证明，它们分别
16、是相关矩从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵（也就是阵（也就是x1，x2，xP 的相关系数矩阵）的相关系数矩阵）m个较大的特征值所对应的特征向量。个较大的特征值所对应的特征向量。 22三、主成分分析的计算步骤三、主成分分析的计算步骤23（一）计算相关系数矩阵一）计算相关系数矩阵 rij（i，j=1，2，p）为为原原变变量量xi与与xj标标准准化化后后的的相相关关系系数数， rij=rji，其计算公式为其计算公式为（3.5.3） （3.5.4） 24 （二）计算特征值与特征向量（二）计算特征值与特征向量 1、解特征方程，求出特征值，、解特征方程，求出特征值，并使其按大小顺序排列并使其按大小顺序排
17、列 ； 2、分别求出对应于特征值、分别求出对应于特征值 的特征向量的特征向量 ，要求，要求 =1，即，即，其中表示向量其中表示向量 的第的第j个分量个分量,也就是说也就是说 为单位向量。为单位向量。253 3、计算主成分贡献率及累计贡献率、计算主成分贡献率及累计贡献率 贡献率贡献率累计贡献率累计贡献率 一般取累计贡献率达一般取累计贡献率达85%95%的特征值的特征值所对应的第所对应的第1 1、第、第2 2、第、第m（mp）个主成分。）个主成分。 26 4、计算主成分载荷计算主成分载荷 在主成分之间不相关时，在主成分之间不相关时，主成分载荷就是主成分主成分载荷就是主成分z zi i与变量与变量x
18、 xj j之间的相关之间的相关系数系数（在数学上可以证明）（在数学上可以证明） 5 5、各主成分的得分、各主成分的得分 得到各主成分的载荷以后，可以按照（得到各主成分的载荷以后，可以按照（3.5.23.5.2）计算各主成分的得分）计算各主成分的得分 （3.5.5） 27（3.5.6） 每个地区的综合评价值为：对各个主成分每个地区的综合评价值为：对各个主成分进行加权求和。权重为每个主成分方差的进行加权求和。权重为每个主成分方差的贡献率。贡献率。28四、四、SPSS在主成分分析中的应用在主成分分析中的应用29以全国31个省市的8项经济指标为例，进行主成分分析。第一步：录入或调入数据（图1）。图图1
19、 原始数据（未经标准化）原始数据（未经标准化）3031 设置描述设置描述( (Descriptives)选项。选项。单击描述按钮, 弹出描述对话框选中单变量描述性选中单变量描述性(Univariate descriptives)复选项，复选项，则输出结果中将会给出原始数据的抽样均值、方差和样本数目选中原始分析结果选中原始分析结果(Initial solution)复选项复选项，则会给出主成分载荷的公因子方差（这一栏数据分析时有用）。在相关矩阵在相关矩阵(Correlation Matrix)栏中，选中系数栏中，选中系数(Coefficients)复选项复选项，则会给出原始变量的相关系数矩阵；选
20、中行列式(Determinant)复选项，则会给出相关系数矩阵的行列式，如果希望在Excel中对某些计算过程进行了解，可选此项，否则用途不大。其它复选项一般不用，但在特殊情况下可以用到。设置完成以后，单击Continue按钮完成设置（图5）。32 打开抽取对话框。因子提取方法主要有7种，在方法(Method)栏中可以看到，系统默认的提取方法是主成分.因此对此栏不作变动，就是认可了主成分分析方法。 设置抽取设置抽取(Extraction)选项。选项。在分析(Analyze)栏中，选中相关性矩阵(Correlation matirx)复选项，则因子分析基于数据的相关系数矩阵进行分析；如果选中协方差
21、矩阵(Covariance matrix)复选项，则因子分析基于数据的协方差矩阵进行分析。对于主成分分析而言，由于数据标准化了，这两个结果没有分别，因此任选其一即可。33n在输出(Display)栏中，选中Unrotated factor solution（非旋转因子解）复选项，则在分析结果中给出未经旋转的因子提取结果。对于主成分分析而言，这一项选择与否都一样；对于旋转因子分析，选择此项，可将旋转前后的结果同时给出，以便对比。n选中Scree Plot（碎石图），则在分析结果中给出特征根按大小分布的折线图以便我们直观地判定因子的提取数量是否准确。34在抽取栏中，有两种方法可以决定提取主成分（因
22、子）的数目。一是根据特征根一是根据特征根（Eigenvalues）的数的数值，系，系统默默认的是的是=1=1。我们知道，在主成分分析中，主成分得分的方差就是对应的特征根数值。如果默认=1 ，则所有方差大于等于1的主成分将被保留，其余舍弃。如果觉得最后选取的主成分数量不足，可以将值降低，例如取=0.9；如果认为最后的提取的主成分数量偏多，则可以提高值，例如取=1.1 。主成分数目是否合适，要在进行一轮分析以后才能肯定。因此，特征根数值的设定，要在反复试验以后才能决定。一般而言，在初次分析时，最好降低特征根的临界值（如取=0.8），这样提取的主成分将会偏多，根据初次分析的结果，在第二轮分析过程中可
23、以调整特征根的大小。35第二种方法是直接指定主成分的数目即因子数目第二种方法是直接指定主成分的数目即因子数目，这要选中Number of factors复选项。主成分的数目选多少合适？开始我们并不十分清楚。因此，首次不妨将数值设大一些，但不能超过变量数目不能超过变量数目。本例有8个变量，因此，最大的主成分提取数目为8，不得超过此数。在我们第一轮分析中，采用系统默认的方法提取主成分。 需要注意的是：需要注意的是：主成分计算是利用迭代（Iterations）方法，系统默认的迭代次数是25次。但是，当数据量较大时，25次迭代是不够的，需要改为50次、100次乃至更多。对于本例而言，变量较少，25次迭
24、代足够，故无需改动。设置完成以后，单击Continue按钮完成设置。36 选中保存为变量(Save as variables)栏，则分析结果中给出标准化的主成分得分（在数据表的后面）。至于方法复选项，对主成分分析而言，三种方法没有分别，采用系统默认的“回归”（Regression）法即可。 选中显示因子得分系数矩阵(Display factor score coefficient matrix)，则在分析结果中给出因子得分系数矩阵及其相关矩阵。 设置完成以后，单击Continue按钮完成设置。 设置得分设置得分(Scores)设置。设置。37 其它其它对于主成分分析而言，旋转项（Rotatio
25、n）可以不必设置；对于数据没有缺失的情况下，选项(Option)项可以不必理会。 全部设置完成以后，点击OK确定，SPSS很快给出计算结果 实例：全国实例：全国31个省市的个省市的8项经济指标项经济指标38按顺序排列的主按顺序排列的主成分得分的方差成分得分的方差(Total)，在数，在数值上等于相关系值上等于相关系数矩阵的各个特数矩阵的各个特征根征根全部解释方差表全部解释方差表(Total Variance Explained)每一个主成分的方差百分比（每一个主成分的方差百分比（% of Variance): 由于全部特征根的总和等于由于全部特征根的总和等于变量数目，即有变量数目，即有m=i=
26、8，故每一一个，故每一一个特征根的方差百分比为特征根的方差百分比为i/m从左边栏目中提取的三个主成从左边栏目中提取的三个主成分及有关参数分及有关参数 39主成分的数目可以根据相关系数矩阵的特征根来判定主成分的数目可以根据相关系数矩阵的特征根来判定，根据值决定主成分数目的准则有三：i 只取只取1的特征根对应的主成分的特征根对应的主成分从Total Variance Explained表中可见，第一、第二和第三个主成分对应的值都大于1，这意味着这三个主成分得分的方差都大于1。本例正是根据这条准则提取主成分的。ii 累计百分比达到累计百分比达到80%85%以上的以上的值对应的主成分值对应的主成分在T
27、otal Variance Explained表可以看出，前三个主成分对应的值累计百分比达到89.324%，这暗示只要选取三个主成分，信息量就够了。iii 根据特征根变化的突变点决定主成分的数量根据特征根变化的突变点决定主成分的数量从特征根分布的折线图（碎石图）上可以看到，第4个值是一个明显的折点，这暗示选取的主成分数目应有p4。那么，究竟是3个还是4个呢？根据前面两条准则，选3个大致合适。40都显示了各个变都显示了各个变量与有关主成分量与有关主成分的相关系数的相关系数 注：主成分得分或因子得分有注：主成分得分或因子得分有3种说法种说法(1) 成分矩阵成分矩阵(2) 成分得分系数矩阵成分得分系
28、数矩阵(3)成分矩阵（按列）成分矩阵（按列）/特征根的开根特征根的开根 (用TRANSFORMCOMPUTE 来计算特征向量)41主成分计算主成分计算矩阵的按列线性组合矩阵的按列线性组合怎么解释这三个主成分。前面说过主成分是原怎么解释这三个主成分。前面说过主成分是原始八个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？始八个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？这这里里每每一一列列代代表表一一个个主主成成分分作作为为原原来来变变量量线线性组合的系数（比例）。性组合的系数（比例）。l这些系数称为主成分载荷（这些系数称为主成分载荷（loading），它表示主成分和相应的原先变量的相关系数。），它表示主成分和相应的原
29、先变量的相关系数。l相关系数相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。42从Component Matrix即主成分载荷表中可以看出，国内生产总值、固定资产投资和工业产值在第一主成分上载荷较大，亦即与第一主成分的相关系数较高；职工工资和货物周转量在第二主成分上的载荷绝对值较大，即负相关程度较高；消费价格指数在第三主成分上的载荷较大，即相关程度较高。因此可将主成分命名如下：第一主成分：投入产出主成分投入产出主成分；第二主成分：工资物流主成分工资物流主成分；第三主成分：消费价格主成分消费价格主成分。问题在于：一方面，居民消费和商品零售价格指数的归类比较含混；另一方面，主成分的命名结构不清。因此，有必要作进一步的因子分析。计算结果分析计算结果分析43不仅如此，原数据文件中增加了不仅如此，原数据文件中增加了FAC1_1、FAC2_1和和FAC3_1三三 个变量，个变量，它们表示了三个因子在不同省份的得分值。它们表示了三个因子在不同省份的得分值。44
