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1、文数课标版第七节抛物线1.抛物线的概念抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点.直线l叫做抛物线的准线.教材研读教材研读2.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)抛物线y=4x2的焦点坐标为(2,0).()(3)若一抛物线过点P(2,3),其标准方程可设为y2=2px(p0)或x2=2py(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称
2、轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2=-2ay(a0)的通径长为2a.()1.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y答案答案CP到F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,因此P到F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P的轨迹方程为x2=8y.2.抛物线y=2x2的焦点坐标是()A.B.C.D.答案答案C抛物线的标准方程为x2=y,所以焦点坐标是.3.抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物
3、线方程是()A.y2=-8xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=4x答案答案C由抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,知p=4,且开口向右,故抛物线方程为y2=8x.4.若抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标是()A.B.C.D.0答案答案B抛物线的标准方程为x2=y,M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y=-,设M(x,y),则y+=1,y=.5.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点F的距离为3,则|OM|=.答案答案2解析解析由题意可设抛物线方程为y2=2px(p0).由|MF|=+2=3得p=
4、2,抛物线方程为y2=4x.点M的坐标为(2,2),|OM|=2.考点一抛物线的标准方程及几何性质考点一抛物线的标准方程及几何性质典例典例1(1)(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)(2)若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,则此抛物线的标准方程为.答案答案(1)B(2)x2=8y或x2=4y解析解析(1)抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,考点突破考点突破所
5、以焦点坐标为(1,0).故选B.(2)设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p0),A(x1,y1),则F,M,则p=4或p=2.故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=4y.方法技巧方法技巧(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式,要掌握焦点到准线的距离,顶点到准线、焦点的距离,通径长与标准方程中系数2p的关系.(2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).(3)焦点到准线的距离简称为焦准距,抛物线y2=2px(p0)上的点常设为.1-1已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上
6、一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案答案C不妨设抛物线方程为y2=2px(p0).当x=时,|y|=p,p=6.又P到直线AB的距离为p,SABP=126=36.1-2若抛物线的焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点,求抛物线的标准方程.解析解析对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=4,所以抛物线的焦点坐标为(0,-3)或(4,0).当焦点坐标为(0,-3)时,设方程为x2=-2py(p0),则=3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;当焦点坐标为(4,0)时,设方程为y2=2px(p0),则=4,所以p=8,此时
7、抛物线的标准方程为y2=16x.所以所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.考点二抛物线的定义及其应用考点二抛物线的定义及其应用典例典例2(1)(2016江西赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为()A.(0,0)B.C.(1,)D.(2,2)(2)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是.(3)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
8、.答案答案(1)D(2)5(3)2解析解析(1)过M点作准线的垂线,垂足是N,则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时M(2,2).(2)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.(3)易知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直
9、线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.方法指导方法指导与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.2-1(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案答案A由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设点A到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,
10、解得x0=1,故选A.2-2已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.3C.D.答案答案A易知抛物线y2=2x的焦点为F,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=,选A.2-3(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则
11、=.答案答案1+解析解析由题意知|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点,-2-1=0,又1,=1+.考点三焦点弦问题考点三焦点弦问题典例典例3已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+,求的值.解析解析(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是
12、y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,又x10)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.证明:直线AC经过原点O.证明证明设AB:x=my+,代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.由根与系数的关系,得yAyB=-p2,即yB=-.BCx轴,且C在准线x=-上,C,则kOC=kOA,直线AC经过原点O.考点四直线与抛物线的位置关系考点四直线与抛物线的位置关系典例典例4已知抛物线y2=2px(p0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A、B两点,坐标原点为O,=12.(1)求抛物线的方程;(2)当以|AB
13、|为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程.解析解析(1)显然直线l的斜率存在.设l:x=my-2,代入y2=2px中,得y2-2pmy+4p=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=4p,则x1x2=4.因为=12,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12,解得p=2,故抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)可得y1+y2=4m,y1y2=8,设AB的中点为M,则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,又|AB|=|y1-y2|=,由得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,解得m2=3,即m=,所以直线l的方程
14、为x+y+2=0或x-y+2=0.方法指导方法指导(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=|xA|+|xB|+p或|AB|=|yA|+|yB|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.4-1已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若=2,求直线AB的斜率;(
15、2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.解析解析(1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4,因为=2,所以y1=-2y2.联立和,消去y1,y2,得m=.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB=2|OF|y1-y2|=4,所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4.
