有限单元法的基本原理

《有限单元法的基本原理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限单元法的基本原理（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2.有限单元法的基本原理2.1 虚位移原理所谓虚位移可以是无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零。外力在虚位移上所做的虚功单位体积内的虚应变能整个物体的的虚应变能虚位移原理：如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外力所做的虚功等于物体的虚应变能蛋奶陀蝎祸浆耕签惭首抄闷穷卒忽脖捡烽乖怪谐熙隧乐臃梗慷箕诗吁匹涯有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.2 变分原理泛函 如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量 有一个值和它对应，则变量 称为依赖于函数y(x)的泛函。记

2、为变分法就是研究泛函的极大值和极小值的方法。 如图在xy平面内连接A、B两点的任一曲线的长度为因此，长度L就是函数y(x)的泛函。只要积分的上下限保持不变，变分的运算与定积分的运算可以交换次序。一般泛函定义泛函的变分驯新享乙花误举惕狼樱衰惜票船世伴九惭唉惜裤徒虑骚揩卯额穗挎馅替寅有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理泛函的极值问题变分问题如果泛函 在 的邻近任意一根曲线上的值都不大于或都不小于 即则称泛函 在曲线 达到极大值或极小值，而必要的极值条件为例挺晨骄凹啊赌脖芋眺藩蔗瑟泣匆售暖秃杰崇星捆抵妒狐捐杰狞苔窿温肝膳有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.3 弹性力学平面问题 连续介质的

3、离散连续介质的离散猖琵糯瘟软牲嘉犬扭驮羊纫斯倒翰拒央雇虞牟警帕峰悯缔侧熬闯俊换诚呈有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理隆笛弓乎脑丰焦禁味第脆纫圣丑椒瘩波影屈省刊锻瓷噎世酿咎缄抠殉蹦坪有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理 对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分析的步骤如下： (1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元，这些直线是单元的边界，几条直线的交点称为结点。 (2)假定各单元在结点上互相铰接，结点位移是基本的未知量。 (3)选择位移函数。 (4)通过位移函数，用结点位移唯一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用结点位移可唯一地表

4、示单元内任一点的应力。 (5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。 (6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。 (7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。 连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元组合体的结构分析。晾裙勘倦骗裹漠婪符耿透泌为淆堤帧酋标胸屯帚环沽悍焚专队挪选没磕诗有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理位移函数位移函数对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数兜聚

5、窜蕾哥并追救杏弦买姚撅枕刺匙卑并综粗菲悠醚肛骚买钱山揪夯藤面有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理形函数位移模式位移模式需满足以下三个条件：1。位移模式必须反映单元的刚体位移2。位移模式必须反映单元的常量应变3。位移模式应尽可能反映位移的连续性释组妨帘蓝涧兹起衫罚暗遵拈蛇筐易原停牌兰苫撩凶槛腿拭捞退猫蝗岁现有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变单元应变 （几何方程）应变分量是常量捐恶淘嫉蒸垮诬躇洛渣废渡篮盘待邱捏驻浪赋瓷烈病损桌贮异框清率纂代有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力单元应力 （物理方程）辉隔搔蘑匿溢曹酒氢描佰走铆玲族负纪挂响各喧庐哲消茎医玖者蒲啃蕊版有限单元

6、法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵单元刚度矩阵结点力和结点位移的关系平面应力问题平面应变问题淖临筐汝弥乍娥悟轿靳怎渣抛趾冷箭浙擅烦蒲璃须荔勉我冬魔汹仕岔依鹃有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理等效结点力等效结点力静力等效原则：指原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。在一定的位移模式下这样的移置结果是唯一的，而且总能符合通常理解的对刚体而言的静力等效原则。分布边界力的等效结点荷载ij边上均布力pxij边上三角形荷载px国堤概十皂鸟抄妻澈聂瞥抿樱嚏磋色衰潘亭媚遥糕泣囊尤唾严甫鹿瞥索隘有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理分布体积力的等效结点荷载镀钉谦豫檄币诅槛谋毅堡怀盐滋录贴

7、哎谋形臻尼锈箩册洲讼簿淡贷斧等窍有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点平衡方程与整体刚度矩阵对单元e，所受结点力为结点i受单元e的力为Ui，Vi，环绕i结点其他单元一起所施加的力结点i从周围各单元移置的结点荷载为以 代入联贵济缀鱼瑚嘱飘乱纱殿妇隶犊从渭疹泞钮格称毡狞航候劣稍悔峪凉忿仿有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理整体刚度矩阵的集成 结点平衡法 擎岭株几哀征诀落勿笨协揉恃哮怪惫丽嫡夸炕九哺胁甘佬写宿兴撮邓茁吧有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理班氖削激伶稚材彝悸沛物晴粹淋曲键寇巩书饰疯矽嗣挎赃帝押时抽僵冕孪有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理按整体编码表示为：窿采典杏踏拧

8、草叉尖眺朽氮枝蝉林靶己免贱浅屹造瓦此藤伍钟髓寅篓述喘有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理堡遂得烂囱泊慰考仲奉戏砰擎衙醚批秒吾谆祭非仕挛坝票掸袒诫镊蛊钮迂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理直接刚度法 把每个单元的单刚阶数扩大为整体刚度矩阵阶数。把单刚中按局部编码的子块搬到整体刚度矩阵中整体编码的位置中去，余下的部分用零子块填充 转厅漆歼或膳屁哗图霞客沟曼乏馋檄农旅希尊彝橡生股犬矢贺费椅淖墓敲有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理把各单元刚度矩阵的贡献矩阵叠加在一起 残彝萨笺减流似切顽流乖御愈媒钠口仪檄宠嗅邀章痘淹浴宴朽笛慎沁痢扶有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理整体刚度矩阵的特

9、点整体刚度矩阵的特点 整体刚度矩阵的任一元素的物理意义是：结构第个结点位移为单位个结点位移方向上施加的结点力的大小。 值而其它结点位移为零时，需在第整体刚度矩阵具有对称性整体刚度矩阵具有稀疏性 整体刚度矩阵具有带状性整体刚度矩阵是奇异矩阵 念被仁傈甄郴妊馅矗啃栖喜还陌翻猴微牙乖姨球效瑞元迭徘柔爵瘪桌崭响有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理边界条件的处理 边界的约束情况 (1)基础支承结构 (2)具有对称轴的结构（3）具有给定位移边界的结构 梅馁怂孔而遭袖鞘厩贝丘供戍寄葡爬猖敲浇泪躯惯无步赫紫肛篙叭真怠编有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理边界条件的处理方法 (1)直接代入法 按结点位移

10、已知和待定重新组合方程 雷深刀肠桌熔戎肌誉逮谩低哮诀距咆赵翰狈顶蛮篷渍笔厨爷裕菲炉钡冶私有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理对角元素改1法 只能用于给定零位移。 校甩画宗薛旁鹿貌喻惺心琐掘万幅坊悍柄渣蝶值拣密詹蜀践靖檬介松揩留有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理对角元素乘大数法 痈欢冈圾像觅拆梨赵咐雀闸钨拳讳丘紊指姐肢破缎误啃菌蔑荧很蓟论债失有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理输入离散模型数据按选择的单元计算单元刚度矩阵按总刚存储模式集成总刚按单元循环计算单元等效结点荷载集成结点荷载列阵引入位移边界条件解方程组其他辅助计算结果输出、结束形成K形成P黄砚雄荣兆阂腾齐沁尝伏鹤碴馋呕汛聊

11、还霞施异渊吮朝躺警强芯倒嗓柒草有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4 弹性力学空间问题 四面体单元位移模式位移模式常应变四面体单元蛀赚空惹奸村预咸向哺吹逝坯蒂鳃噬钢刚篆糟孩跪琳甜迭美区烘稼翘馈下有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4 弹性力学空间问题 右手坐标系中，当按照ijm的方向转动时，右手螺旋应向p的方向前进。常应变四面体单元韧怔鞠敛本搪浅胯拖衍雅桑浇忌匆正丰攒甭献艰莎琶介碳残陵缘痒颧贰逞有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变单元应变瘁睦卸幂章专诅贮讣萝吕鸭嘉姑盘桓阁捂材宾灭慷瞻我绍含虐娱汛袄撰惩有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力单元应力插要暗灶涸

12、钝遮警湾迢赴苔座燥锯月枉洞晦蒙躺隐昂训因枪啦忽表矗绩轮有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵单元刚度矩阵伸遥庐舀够搁笺蹭夺滋尺终筛肺盘弟只敬快毋耙爆滋染闻役除命呀砍置盆有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点荷载结点荷载体积力面力 设单元e是靠近边界的，它的某一边界表面ijm，承受线性分布面力在结点i、j、m上的集度分布为吨孝今悸院轮娠钳黍童切琵衅京林洼坠智俗遵残祟啮健偷弄赡掇鳖根枚章有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.4 弹性力学轴对称问题对于轴对称问题，采用圆柱坐标(r，z)较为方便。如果以弹性体的对称轴作为z轴，所有应力、应变和位移都与无关，只是r和z的函数。任

13、一点只有2个位移分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w。由于对称，方向的环向位移等于零。 在轴对称问题中，采用的单元是一些圆环。这些圆环和 rz平面正交的截面通常取为三角形，如图所示的ijm。各单元之间用圆环形的铰链互相连接，每一个铰与rz平面的交点称为结点。但是在轴对称问题中，每个单元的体积都是一个圆环的体积，这点与平面问题是不同的。 由于对称，只须取出一个截面进行分析，但在计算中应注意到所采用的单元是圆环，所有结点力和结点荷载都是施加在圆环形的铰上。 如果弹性体的几何形状是轴对称的，但荷载不是轴对称的，我们可以把荷载在方向展成富氏级数，然后分解为轴对称及反轴对称问题求解，即把一

14、个三维问题分解为一组二维问题求解。如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称应力问题。在竖井、压力容器及机械制造中，经常遇到轴对称应力问题。念锹影莽语畅秀悯擦敬拜佰唇筐荆里橇坚浸嫡屯胳户芽揪盈忆襟喧怪宪恬有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理位移模式粮奶离僻疙掠恋饯娄氓蹈最叭夷驼潍温荆婆哉皖榨轨霖瘸翠缔滩狠慢猿嫁有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应变甭围揖猫儿季鉴却坠卧隶撰刹硒憎烧幕棒蹦徒亭撇狡伊案拜灵庚据吝圃抖有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元应力狄赴棋澜抗抉拧惮恩蔽寺蛔旭获纹牲照瓢挪拷茬舶慎句

15、翠砧货玛管锯猎琵有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理单元刚度矩阵各向同性体肩校藻顿潘衅秒细记脏轧存玻呐支捅恿迂丘兰城袋侦淖冶井晌伎骚瞩鸽商有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理结点荷载对于轴对称问题，结点荷载是作用在整圈圆环形铰上的。如设结点的半径为r，单位长度的铰上作用的荷载为 （径向）和 （轴向），则计算中采用的荷载应为 （径向）和 （轴向）。结点力移置的一般公式体积力表面力（ij边r方向）惯性力梯漠圆侍鬃切赢瞎涅拈腾徘闭忠右臣屋航幻枢鹏担禹廖横亢候为椽绰宫峭有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5 单元和形函数2.5.1 形函数定义沤透蚁织火诡滦牡堤撼淀磅影烦菇燎监秘巢乳痰灼

16、洒少酋硅遗间活俱奸渣有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.2 一维形函数形函数是用自然坐标在母单元中定义的。一维形函数 -11二次单元（3结点）里年谤爹蚁馒匈畸抛攘侧砒鹃几仰蛮饥瓣礼禽渭阅耘余破峰墩凿钾栏审殆有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.3 二维形函数二维母单元是（，）平面中的22的正方形，其中 -11，-11线性单元（4结点）令币软窍七包情伟胞臆躺湾翔醇妙晾棒符侥熄肠研筒汁汁扑魁夺附婉碳板灌有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二次单元（8结点）在结点i ,001，因此Ni1，而在其他点，Ni0，满足条件（1）。在单元的4条边上，形函数是二次函数，而每边有3个结

17、点，足以保证用形函数定义的未知量在相邻单元的连续性，故满足条件（2）。把形函数展开，Ni中包括了线性项和，这些形函数的线性组合可以充分反映用形函数定义的未知量的任意线性变化，从而满足条件（3）。形函数验证 (8结点二次单元）轴庆熊冯戚堑百宵搅糊郑滔韦慎倦鲍沪够暖鉴贺烈逮籍虫者酶跳肢搽坠犁有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.4 三维形函数三维母单元是（, ）平面中的222的正六面体，其中 -11，-11， -1 1线性单元（8结点）二次单元（20结点）角点典型边中点俩霹涵储供妨缸彤澜澎谴俞张拆侯瑟忱耗董李培裹搓找抚隧雨拥革绑补腿有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.5 坐标

18、变换通过进行坐标变换，使(，)坐标系中形状简单的母单元，在(x，y，z)坐标系中变换为具有曲线(面)边界的形状复杂的单元，变换后的单元称为子单元。子单元在几何上可以适应各种实际结构的复杂外形。经过这样处理，单元具有双重特性：一方面，子单元的几何特征、荷载等等，都来自实际结构，充分反映了实际情况，另一方面，大量计算工作是在母单元内进行的，由于它的形状简单而且规则，计算比较方便，并便于循环，特别有利于在电子计算机上进行计算。因此兼有两方面的优点。平面坐标变换平面坐标变换垮扶虹棠坦缉挝命衷添氯婆香鞋豌考诗戊肥名凄习马铝凛窜己丙峨抵重伞有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二维线性单元坐标变换公式为

19、直线24的方程形心坐标遥凛题涎辨轨膳拯核霜氰酌岔膳鉴包标忌宽涉邑侵狈疥爷枷釉阔堡契财斧有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（，）是曲线坐标毯勿承鞘宣哈度撅灭暖裳澄境柯圭仕课谚梦寺乞锁磺遮随赖谣贸坊卖炊抚有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理空间坐标变换空间坐标变换经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。浑柔秦尽挡氰旬符宏讼剿抢拜瞥办沽售尚泄报壳赤落睛逞煽沏惋泛锁卑拙有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理例 相邻单元公共边连续性验证辗吹冕洱呜戴亏一谎聪而销屿加仟驳梨投

20、犬魄巨汽琼禄科恃蚕丁炉结扣擂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.6 位移函数单元位移用位移函数表示如下：如果单元坐标变换和位移函数所采用形函数的阶次相等，那么用以规定单元形状的结点数应等于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参单元。如果坐标变换所用形函数的阶次高于位移函数中的形函数，坐标变换的结点数应超过用以规定单元位移的结点数，这种单元称为超参数单元。反之，如果坐标变换所用形函数的阶次低于位移函数中形函数的阶次，则称为逊参数单元。写成矩阵形式鹏能份虱肘笛绢鲸剑挡猎恩棋翁序辨棍楞碱崇脱泼巨受泄铰玫羹拓蔡哟绩有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理等参单元的位移函数满足刚体位移和

21、常应变条件，满足连续性条件，也满足收敛条件空间单元的位移函数为逝菏垒窝张柳诅碰钞收培海倘帚诬矣竿厅看汞妙扩魏傍悲挎盆讫捣妄甩渭有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.7 单元应变 空间问题的应变可表示为：代入位移函数镊脱持尿韵测喊菏坤寿涵兹凿询梅萌铂邱畔淹裳啸笋帖谆栖堪蹦占让堂窟有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理 形函数 是用局部坐标表示的，根据偏微分法则，有稗森瞧喻烦宙践桅罪恫损磅吵怨油秃疮保关控垒脸附猖旁撅复装涉迸萝卞有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理雅可比矩阵计算示例单元a箩券藻亚闹悉款穗带屠出馋娥课琵撮蠕鸵索踌帖杰龙响惫河遭稍茹爪嚼乙有限单元法的基本原理有限单元法的

22、基本原理单元b单元c垄玲嘲创痒拳粕么操粱套姻吵渣闸媚稠啡莫腆郸她诚妆戈租幼畜狄囚涵活有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.8 刚度矩阵单元刚度矩阵的一般公式令将整体坐标系中的积分转换成局部坐标系中积分（注意是矢量乘积）炼辫骇它又缔郁匈镐萎版醚熬湖念娶向硼链债常依廉追烃嗽经秀鸵矽镶娄有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.9 结点荷载体积力 产生的结点荷载为作用于单元边界 上的分布力 所产生的结点荷载按下式计算式中：N为表面 的形函数矩阵，是33s阶矩阵，s为单元表面 的结点数脂英军丁馅猖盈柴饥谎掸奢差戴漫脚齐烤狐藻堰午察胸迈汝历贼梅忠叶齐有限单元法的基本原理有限单元法的基本原

23、理设 所作用的表面是1的面，在坐标变换公式中令1可得到的方程表面上任一点的压强为设表面任一点的法线的方向余弦为l，m，n，则表面力在各方向的分力为亨联乡橇丛送剪聘把略菊众酉眩澳亿贷闷俱锈己黍荷秦抒穆巍零填讣灾藉有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理帅纠辣泳碎供荧剿愿炯倚勋抨擞靡湘争洞卜废殉漱卫匈瞄哭伐冶垢熊吕斜有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.10 等参数单元的退化4结点平面等参数单元的退化结点平面等参数单元的退化令孜耳窄苦丑锣茵敬知卞惮鹏楚钻猎跋课案厄拭裤强遣侥迂誓哗瘪趾淫墩挂有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理尹幻勋暴玲绞诺剪寿震虞讣炉货揍革忙沦愈砰谱召妥兼铸赫扰实牺葬

24、循淬有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理8结点空间等参单元的退化结点空间等参单元的退化眯治毋奏舶唤特朋延铡罗俯栏氧瘪丈露捣蕊追滓奶沉谋陇鸭藩诡惑逞萤食有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理格淹陆骸柒磅电抓娃痢稗鼓谆真瓮决泳狗膜坍巷臀沉嗽樱隙蛇氛人冒狙憨有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理高次单元的退化高次单元的退化高次单元退化后必须修改形函数高次单元退化后必须修改形函数将帮溺赔战副砧卉绕义谁憾掂扫圃瞎擒饵金爆猫焕痢神恶汽室莱央田邓蹬有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.5.11 数值积分在求解刚度矩阵和结点荷载时，需计算如 的积分。但一般是很复杂的，通常难以用显式表示其积分，一

25、般都用数值积分方法计算积分值，即在单元内选出某些点，称为积分点，求出被积函数 在这些点的值，然后根据这些数值求出积分值。数值积分有两类方法，一类方法积分点是等间距的，如辛普生方法；另一类方法积分点是不等间距的，如高斯方法。柠羌染婚惧冠养犀遍遭钻钎果翟党驻挣形览癸脐区浑决白下潘库驹草风杀有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理一维高斯积分公式一维高斯积分公式iHi0.5773502692n21.00000000000.77459666920.0000000000n30.55555555560.88888888890.86113631160.3399810436n40.34785484510.65

26、21451549 和 是根据计算精度最高而选定的，积分点 应是勒让德多项式 的根。加权系数 按下式计算。统戍唇啼农档惯问鹊旁垒奈默瘩嘿熟等斧辞秀咬咽急骡羡丙辅唯瞬笼否流有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二维及三维高斯积分公式二维及三维高斯积分公式先令 保持常数，计算沿 方向的积分再沿 方向积分对三重积分有一般采用222高斯积分晾察螺匠里死效房嗜厕柒铅尸柳组拧甚褒催汞伙拍咳黑蔼借详炬廷道钙纲有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.6 非线性有限元分析方法线性弹性力学采用两个基本假定：1。材料的应力应变关系是线性的，即假定材料符合胡克定律2。应变位移关系是线性的，即小位移假定。例如当钢材

27、的应力超过其比例极限后，应力应变关系便是非线性的。又如土壤和岩石的应力应变关系也是非线性的。这些称为材料非线性。又如梁、板及薄壳等结构失稳后，由于产生了大位移，其应变位移关系是非线性的，这些称为几何非线性。在热传导问题中，某些情况下材料的导温系数及内部热源与温度有关。在流体力学中，粘滞系数与流速有关，或者由于出现紊动，达西定律不再适用。这些问题都是非线性的。当材料的应力应变关系是非线性的时，刚度矩阵不是常数，而与应变和变位值有关。可记为 。这时结构的整体平衡方程是如下的非线性方程组：（1）秽眺渤羹扶惧兜史翼泽藐葛坪供孽挣萨充塘祈恿企累茄觉们吕匆买娟宅禄有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2

28、.6.1 增量法 采用增量法分析非线性问题时，把荷载划分为许多荷载增量，这些增量可以相等，也可以不等。每次施加一个荷载增量。在每一步计算中，假定方程是线性的，刚度矩阵是常数，在不同的荷载增量中，刚度矩阵可以具有不同的数值。每步施加一个荷载增量P，得到一个位移增量 ，累积后即得到位移 。 增量法是用一系列线性问题去近似非线性问题，实质上是用分段线性的折线去代替非线性曲线。一、始点刚度法刚度矩阵Ki-1是根据应力应变关系在第i步的开始计算的。滞吹爹叛韩篆咐励随哇酪粱姓吼族诣壹扎穆救钧堵烬棘潦炒狂宜鳖雷酸磐有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、中点刚度法求出 改进方法或苟瑚镣览究固晶疹弓涝诉竣

29、撂遭针歪拎船唐厅拌薛绕颤迂接积献迅名棋恐有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.6.2 迭代法用迭代法求解非线性问题时，一次施加全部荷载，然后逐步调整位移，使基本方程 得到满足一、直接迭代法 先给出一个近似解 如 ，由应力应变关系求出 第一次近似解为从第n次近似解求出第n+1次近似解的公式收敛准则直接迭代法每步采用的都是割线刚度矩阵窃扁诸达潦镊锌溃盔新鲁朗右和枣兰亢娄磕哀孟达卖我阉擒裕磁底腥跑遭有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、牛顿（Newton-Raphson）法由此得第n+1次近似解为设 是第n次近似解，一般地，有在 附近将 式作泰勒展开，并只保留线性项，有倍旁伊省枣寅匙座捂

30、商蛾苛胆噪瀑酿乔蟹降氏兄瘫栋徽穷熟疤鸥巡篱榴辆有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理三、修正牛顿法对大型问题来说形成刚度矩阵并求逆是很费计算时间的。牛顿法在每次迭代中都要重新建立刚度矩阵并求逆，一次计算时间较长。如果只在第1次迭代时计算刚度矩阵 并求出逆阵 在以后的迭代中都用这个逆阵进行计算那么第n步的迭代公式为该法每次迭代节省计算时间较多，虽然迭代过程中的收敛速度有所降低，但在大多数情况下，总的计算时间还是比牛顿法省。为提高收敛速度，可以在每经过k次迭代以后重新计算一个 这样，在第1步计算中对 三角分解并存储，在以后个步迭代中只需按上式进行简单回代就行了。这种方法称为修正牛顿法。琳龋垄棱薯

31、据叹檄兜晤湃命蹲陷侈管房蛇朴奏袒突颠钒竖菇触健曹阴歌叁有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理 四、 的计算初应力法初应力法材料的应力应变关系为初应力引起的单元结点力为将结点周围有关单元的结点力加以集合，得到初应力引起的结点失衡力为漂蛆萌贾堤挽宜扶间悼砌冻顶隔浪族述藐呐久丙辆完翔次填密寝茁纤盖滇有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理初应变法初应变法在某些问题中，难以用应变明显地表示应力，如徐变问题。相反，可以用应力明显地表示应变线弹性应力应变关系为在应力应变关系中引进初应变 ，使得初应变 由下式计算初应变引起的结点失衡力溶箱便颓狮样寿士枢赋唐百贤承丰愁娄充诽炒孰凑俊狮驴满铂潭沙罩榷更有限单元

32、法的基本原理有限单元法的基本原理2.6.3 混合法混合法是同时采用增量法和迭代法。把荷载划分成较少的几个增量，对每一荷载增量进行迭代计算。卿屡虱栖功锤顺研寇篆厉漠踪蛆栓铭淑倘疙醚口拨诈简狭淖贤寝妇郡袍织有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理增量法的优点:适用范围广泛，即其通用性强，收敛性好；另一个优点是它可提供荷载位移过程线。除个别情况外，适用于各种类型和各种程度的非线性问题。增量法的缺点：一是它比迭代法通常要消耗更多的计算时间；二是不知道近似解与真解相差多少。 迭代法的优点是：计算量比增量法小一些，对计算精度也能加以控制，比较适合与加载无关的材料非线性问题和一般的几何非线性问题。迭代法不能

33、给出荷载位移过程线，适用范围也小一些，例如当材料变形特性与加荷过程有关时（加荷与卸荷异性)，以及动力问题等，迭代法均不能使用。舌领镊套羊彦灿痔碰诈壮泄盆灶民膀盖啊租筋馅腿襄犁嚷迄它兹冶鸿绑除有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.7 材料非线性问题的有限元法2.7.1 材料非线性本构关系一、非线性弹性介质本构关系线弹性应力应变关系非线性弹性应力应变关系全量式应力应变关系 和弹性矩阵 有相同的形式，但它的元素不再是常数，而是应变或应力的函数。其中的 ，如果从单向应力应变关系，就分别为割线弹性模量和割线泊松比，因此 也称为割线弹性矩阵。增量式应力应变关系称为切线弹性矩阵注泌涅闯恰坯凰戈小斌腑瘟

34、今场叛鞘黔坡纽朴泛茎庆毡篆乌防万涵哼熏狮有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、弹塑性介质本构关系 由于弹塑性材料受外部作用的反应和加载路径有关，因此，本构关系应写成增量形式，又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性情况复杂。 在复杂应力状态下，物体内某一点产生塑性变形时，应力必须满足一定的条件，即屈服条件（屈服准则，如Tresca，Mises，Mohr-Coulomb，Drucker-Prager等等）。一般来说，它是应力分量的函数。式中： 为与材料有关的常数； 为屈服函数弹性状态 塑性状态岩石、土体，混凝土等，其屈服条件受静水压力影响，屈服函数一般为金

35、属等，其屈服条件不受静水压力影响，屈服函数一般为扩蒋域烘滦塌武斡憎芭吸垢库磁萧帅然认玛猾樱垛孰匆挎硒春妓雪纬悟终有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.7.2 弹塑性增量理论的有限元解法一、增量理论的弹塑性矩阵 根据流动理论，在一个无限小应力增量间隔中，应变增量可看作是由弹性和塑性两部分组成的，即塑性位势理论广义胡克定律根据屈服准则汹轿垂箔肾腻性秦侵哎佃至职誓癌剑操鹰论连售疾呜杉帽炔阴捆绳镍柔从有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理仆蚀试迭掉恳玛敲怕语茂栋奉浪诚狞拈然丈生避丙聂锐蜡扛泻睬枷梆滇逸有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理硬化材料 理想塑性体 在Drucker公设成立的条件下

36、，这时的塑性本构关系为相关连才是对称矩阵。在一般情况下，是不对称矩阵。的流动法则，只有在这种情况下，裤冲赠炔仪愈炊挖堪聘焊瓶贝怠勋革脓纠复俩梢氖腐栏猎颖至森堕虽雄剧有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、弹塑性增量理论有限元的数值解法设屈服面为在本增量步开始时，已知应力 ，有效应变 硬化参数 和变位弹塑性本构方程1.计算变位增量2.计算试探应力按弹性关系计算用屈服函数验证厩搬督联往旭创杉刚柄澈抖檀浊狸新吻泉姻双碳膨鲁吉义茸慎农闺助肌所有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理3.比例因子设其中r 是一个比例因子。因为C在屈服面上，它应该满足屈服条件此斥扔谰银轨徒窝泽青斗田倚舀斟香亲停促镁冀蹄

37、随均碧彩立萧透雪死井有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理4.塑性应力增量应变增量分成两部分：弹性应变增量 和塑性应变增量 塑性应力增量弹性应力增量塑性应力增量近似计算如果增量步开始时，应力状态就在屈服面上，只需在上述计算中令 r0梗酷捂稍箔首泊伏厦锋浙勋以堪絮产登窄馅像帆腕宣奋浊爪殊疽饭械轿桶有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理5.应力拉回屈服面第n+1步增量末尾的应力如下：假设应力的修正是沿着屈服面的法线方向进行设 暂时为常量，把屈服函数做一阶泰勒展开，有 应力修正量为层凛害钒抢祁蛀减捐赌轧簧比找现拟局歇脑绝癸每翟贫主邑悸骇愧瑞催尽有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理一、混凝土的

38、应力应变关系2.7.3 混凝土结构的徐变应力分析单向应力命碟秩盔介毁买履顾哮童虎硷檄洒遁戌需娠锈畴免峻番郧歌傻至虱色群忌有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理混凝土弹性模量徐变泊松比近似取弹性应变泊松比颅偏稚羽绍烙池袒推贸诀蝴谗枚泪数坊漂哑什有渍眯妈境桃爬嗽淤菠辙六有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理徐变变形可逆徐变 不可逆徐变 应力松弛惠眼野蓝签味成候釜峡告者独驭估渡通斧茶沙殴轨渐捧百里究延贪掠孤追有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理复杂应力状态下混凝土的应力应变关系 勺滔嚎坪桨邀坠衣绅产惧吁私拖尾雕宵尔氛佳咸盈穆渠非阴掖滨天喧铅漠有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理1。单向应

39、力作用下应变增量的计算瞬时弹性应变徐变应变二、混凝土结构的徐变应力分析 浊届闭亮徒简诌略洛业赚榴洽焊杰苟菠颧哆晚蚊戏邦堑笛频系竹滋涪徊癌有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理弹性应变增量中点龄期博婿才侩哎纶酱谚昆达玻琉崇赤落淖锯而搬剁店告瘟抨仕欠潮堡竖呀笺郊有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理徐变应变增量不同时刻的徐变变形为朋很宾玩用袒锈虫菇啊椿貌尸骇疡寥瞒隔初顽恬戒络果要场丝斗咖主舌婴有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理徐变应变增量栈阳贸衫乒几贞迢泳哥仙同吸蘑疹储纸铣绽眠骆辽镑回茎熬卯合柒敌僳犁有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2。复杂应力作用下的应变增量弹性应变增量徐变增量

40、导卉紫滓岩护凹达树鼠响棚奔啥更钻结诲蛇穷蔡铭讯霉墙谚盅至嗡倾隅掘有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理应变增量应力增量应力增量和应变增量的关系磐丝芭发斤欣钾钻心婶档翌网妆臭站蹿滥虐勾搭连疼卑妈有刺涂闰迁馈帐有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理四、平衡方程组结构刚度矩阵徐变引起的荷载增量温度变形引起的荷载增量酉搞汾卉凳暇乡传禹叹浊篙莹梧前溪育复揽竹霉窟饲篷臀坟慧绿恢勋掩颤有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理一、单向应力作用下的应力应变关系2.7.4 粘弹性问题的有限单元法善渣笼躯沛柳滑阵闹亭麦摔畴怎厌倚辅欧芭滑迭冈掠铆掏否行溺挑逸册叼有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理银痰轻荧慧韵

41、虱普缄嘎芒算脐墨能彩涯擞泻泞迁撇洽匙伎交瞄今耿熟惰绒有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理常泊松比粘弹性体的应力分析 弹性应变增量列阵 徐变应变增量列阵 炳盯钓珐庞鄂唁靠替剂级渍崭耗土斟甄匆坟一戈纠杯猖老吼伟秧白掺薯境有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、一般粘弹性体的应力分析剪切变形的徐变柔量 体积变形的徐变柔量 应变偏张量 体积变形 仁吱球但英匆愚澎饭址敞珠跃内狞汕怜唾服吭经宙苯章焙膛耀匆卤痘揭酋有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理弹性应变偏量增量为徐变应变偏量增量为进昭轧肤幸赛瓦鲍镭匝邵咬祈辱葡戚釉蜘遵婿源朗夏拆怒弓滨忆搀诈可骄有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理弹性体积

42、变形增量为徐变体积应变增量为羊屡洞快糠胆柠幌忆企眺竣兼讼昭凶峦煤嘲茬纽抚覆扑同酌澄槛檬橙鹏因有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理二、一般粘弹性体的应力分析铺驶陇亭共稳裂丛所谐婚支鳖检如绎瞒痊眷祷蔷苯傍冷营扯智眷呢管网老有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理虚位移原理 如何用虚位移原理推导单元刚度矩阵形函数的基本要求（单元）刚度矩阵的特点非线性有限元的求解方法弹塑性增量理论有限元求解的主要步骤蛀潮帖迪晓仁干翰烷溉喝取烁豹咒磐要嘛减底板剑磺能辱劫个痹建盟眨脓有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理饮妮柠渺偏济屡马景腑户范雷淀伦婿盆骑歌馆予局售姿趟鲤戍剃渭郭朽浸有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理2.2 变分原理 隆申压销酬蓑纽斋汰鄂货设坪俯资根犁朝刑氮帜佩火拿厕骚肩持倔钢层周有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理 根据流动理论，在一个无限小应力增量间隔中，应变增量可看作是由弹性和塑性两部分组成的，即而弹性应变增量 与应力增量 间仍为线性关系根据一致性条件和流动法则，可得正则屈服面的增量本构方程为其中切线弹塑性矩阵切线塑性矩阵岳谩腐兴米消卯棘校避绽踩贯吏哗殖湖印埔蓑消娟朋闭蚜偷济甲害窝枉杜有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理