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1、第第3 3课时课时圆锥曲线的方程、性质圆锥曲线的方程、性质知识网络要点梳理知识网络要点梳理知识网络要点梳理圆锥曲线几何性质的异同:1.它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形.2.顶点个数不同:椭圆有四个顶点,所以由一个顶点坐标不能确定焦点的位置;双曲线有两个顶点,且顶点与焦点在同一个坐标轴上;抛物线有一个顶点.3.焦点个数不同:椭圆和双曲线有两个焦点,抛物线只有一个焦点.4.离心率的取值范围不同:椭圆的离心率0e1,抛物线的离心率e=1.5.椭圆是封闭曲线,双曲线和抛物线都是非封闭曲线,由于抛物线没有渐近线,因此在画抛物线时,切忌将其画成双曲线.知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法
2、是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)椭圆中过焦点的最短弦长为 . ()(2)抛物线的通径是焦点弦的最小值,为2p. ()(3)设AB为抛物线的焦点弦,A,B在准线上的射影分别是A1,B1,若P为A1B1的中点,则PAPB. ()专题归纳高考体验专题一圆锥曲线的统一定义与标准方程【例1】F1,F2是椭圆 (ab0)的两焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为()A.圆 B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,如图所示,则APF1是等腰三角形,|PF1|=|AP|,从而|AF2|=|AP|+|P
3、F2|=|PF1|+|PF2|=2a.O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ,|OQ|=|AF2|=a.Q点的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆.答案:A专题归纳高考体验【例2】已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为2,F1,F2为左、右焦点.P为双曲线上一点,且F1PF2=60, ,求双曲线的标准方程.思维点拨:要求双曲线的标准方程,可设出方程 .关键是求a,b的值,在PF1F2中,可由余弦定理和三角形面积公式列出方程组,从而求出a,b的值.专题归纳高考体验由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=c.在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|P
4、F1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|(1-cos 60),即4c2=c2+|PF1|PF2|.即|PF1|PF2|=48.由,得c2=16,所以c=4,则a=2.所以b2=c2-a2=12.专题归纳高考体验反思感悟对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如:(1)在求轨迹时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决.专题归纳高考体验思维点拨:要求 的值,可考虑利用椭圆的定义和PF
5、1F2为直角三角形的条件,求出|PF1|与|PF2|的值.但RtPF1F2的直角顶点不确定,故需要分类讨论.专题归纳高考体验(2)若F1PF2为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即20=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,专题归纳高考体验【例3】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,求 的最大值.思维点拨:弦AB的长度可在AFB中由余弦定理表示,而|MN|的长度须由抛物线的定义进行转化.专题归纳高考体验解:设|AF|=a,|BF|=b,
6、作AQ垂直于准线于点Q,作BP垂直于准线于点P,由抛物线定义知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在AFB中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 120=a2+b2+ab=(a+b)2-ab.专题归纳高考体验反思感悟在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决.专题归纳高考体验变式训练变式训练2已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()答案:C 专题归纳高考体验专题二圆锥曲线的几何性质【例4】已知椭圆的左焦点为F1,右焦点为
7、F2.若椭圆上存在一点P,满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF2的中点,则该椭圆的离心率为()专题归纳高考体验解析:如图,设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点,连接OM.M,O分别是PF2,F1F2的中点,MOPF1,且|PF1|=2|MO|=2b.OMPF2,PF1PF2.答案:D 专题归纳高考体验反思感悟圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质;已知圆锥曲线的性质求其方程.重在考查基础知识,其中对离心率的考查是重点.专题归纳高考体验变式训练变式训练3已知双曲线的渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为()答案:D 专题归纳高考体验思
8、维点拨:利用椭圆的定义及余弦定理,转化为有关a,c的不等式,即可求解.专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟求圆锥曲线离心率及其取值范围的方法:(1)定义法:寻求a,b,c之间的大小关系,代入可求.(2)方程法:依条件列出含a,c的齐次方程,再转化为关于e的方程求解.(3)求取值范围时,关键是得到不等关系,转化为关于e的不等式,求解常与基本不等式相结合.注意椭圆中0e1.专题归纳高考体验变式训练变式训练4已知过双曲线的一个焦点的直线垂直于双曲线的一条渐近线,且与双曲线的两支都相交,则该双曲线离心率的取值范围为.设直线与双曲线的交点为(x1,y1),(x2,y2), 专题归纳高考体验专题归纳高
9、考体验考点一:圆锥曲线的标准方程 答案:B 专题归纳高考体验专题归纳高考体验解析:设双曲线半焦距为c(c0), 答案:B 专题归纳高考体验解析:(定义、公式)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)0,解得-1n0),圆的方程为x2+y2=R2.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.答案:B 专题归纳高考体验6.(2017课标高考)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).答案:6 专题归纳高考体验考点三:圆
10、锥曲线的离心率问题 答案:A 专题归纳高考体验答案:A 专题归纳高考体验9.(2016课标乙高考)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为()解析:设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l答案:B 专题归纳高考体验A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b, 专题归纳高考体验专题归纳高考体验的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.解析:由双曲线和矩形的对称性可知ABx轴,不妨设A点的横坐标 答案:2
